CHAP. 11. DES SURFACES. DE RÉVOLUTION

lorsque l'arc parcouru par chacun de ses points était de n degrés, il ne s'agira que de prendre sur les cercles horizontaux (AKFV, A'V'), (BLGX,, B'X’), (CMHY, C'Y’), etc., des arcs (AKF, A'F'), (BLG, B'G’),

(CMH, CH), etc., de n degrés chacun, et les extrémités (F, K”), (G, G’),

(H, HW), etc., de ces arcs, détermineront la position cherchée (FGHIJ, F'GHTJ).

195. On pourra déterminer ainsi autant de positions de la génératrice qu'on en voudra, et l’ensemble de ces positions représentera la surface en question. On peut voir sur la figure r”*, pl. 12, l'effet de la représentation. La génératrice est sur cette figure, comme sur la pl. 11, une hélice à base circulaire (110); on a représenté cette hélice dans douze de ses positions; chaque position a pour projection horizontale un cercle, pour projection verticale une sinusoïde, et la disposition de ces lignes sur le dessin fait parfaitement sentir la forme de la surface.

Pour rendre la représentation plus intelligible , on a marqué, sur les plans de projection, les contours wxYy20, rst, abcdef, a'b'c'd'f", de cette surface; on voit clairement que la seule condition d’enfermer toutes les projections de la génératrice, les détermine complètement, et qu’elle fournit le moyen de les décrire (154).

196. Mais, comme il est difficile de menér avec exactitude des lignes uvxyzo, abcdef, définies par la seule condition d’être tangentes à plusieurs autres lignes, il est bon d’avoir un moyen de déterminer plus rigoureusement les contours des projections d’une surface de révolution.

Pour la projection horizontale, on remarquera que ces contours sont toujours circulaires. En effet, chaque point-de la ligne (ABC..., A'B'C'...), décrivant un cercle lorsque cette ligne engendre la surface, il est <lair que les cercles AKFVA"Q, EPJWeU, qui répondent aux points (A, A’), (E, E’), les plus rapprochés ou les plus éloignés de l'axe, enferment les projections de tous les autres cercles ; donc ils sont les contours en question.

Pour la projection verticale, voici comment ils s’obtiendront. On prendra sur la génératrice plusieurs points (A, A’), (B, B'), (C, C’), etc. ; on mènera par leurs projections horizontales À, B, C, etc., les cercles AVA"Q, BXB'R, CYC'S, etc., et par leurs srolentious LÉGER A} B!,:C, ete, les droites V'Q/, X'R’, Y'S’, etc., parallèles à la ligne de terre mn. Cela fait, à chacun de ces cercles on mènera les tangentes VV’ et QQ', XX’ et RR', YY'et SS/, etc., perpendiculaires à mn. Ces tangentes couperont les droites correspondantes V'Q', XR’, VS’, etc., suivant des points V', X’,

PL. 1Ys PI, 12.

Fig. 1.

PI: x1.

Y', etc., Q', R', S', etc., et ces points détermineront évidemment deux

courbes V'X'YZ'W', Q'R'S'TU’, symétriques par rapport à O0", et for-

mant les contours cherchés.

197. Il est évident que les cercles qui ont en O leur centre commun sont touchés par des droites perpendiculaires à la ligne de terre suivant des points de contact V, X, Y..., Q, R, $S, etc., situés sur une même droite WU parallèle à mn. Or , les points V, x. Y..., Q,R, S,etc., sont les projections d’une suite-de points (V, V”), (X, X'), (Y, Y’)...,(Q, Q, (R, R), (S, S’), etc., qui se projettent verticalement en V', X’, Y’..., Q', R',S', etc., c’est-à-dire sur le contour V'X'Y'Z'W", Q'R'S'T'U'; donc la ligne de la surface qui a ce contour pour projection verticale se projette horizontalement suivant WU : donc cette ligne cst dans le plan WU, mené par l'axe de révolution parallèlement au plan vertical.

Et comme le contour V'X'Y'Z'W', Q'R'S'T'U’, est composé de’ deux parties symétriques par rapport à 0'0", il s'ensuit que la ligne qui se projette suivant le contour de la projection verticale, ou, ce qui revient au mème, la section de la surface avec le plan WU , ‘est composée de deux branches (VW, V'X'Y'Z'W"), (QU, Q' B'S'TU") » Symétriques par rapport à l'axe (O0, O'0"),

Nous ferons remarquer que si l'on fait tourner cette section UW, autour de l’axe de révolution, chacun de ses points (V,V”) ou (Q,Q), (X,X’) ou (R,R), (Y,Y) ou (S,S), etc., décrira le cercle engendré par le point correspondant de la ligne donnée (ABC. .., A'B'C".,.); ainsi, la section WU produira dans son mouvement la surface dont nous nous occupons.

198. On peut donc considérer cette section comme une nouvelle genératrice de la surface donnée ; et comme toutes ses positions sont comprises dans des plans verticaux, dont les points se projettent horizontalement sur des droites passant par le point O , nous en conclurons que les sections faites sur une surface de révolution , par les plans qu’on peut mener par son axe, sont toutes égales entre elles. 2.

On donne à ces sections le nom de méridiens ou celui de méridiennes, On affecte plus particulièrement le premier aux plans des sections, et le deruier aux lignes d’intersection des plans et de la surface; mais souvent on les confond tout-a-fait.

199. Si l’on imagine qu’une des deux branches (WV,W'!V, (QU, QU ; F la méridienne WU, la première , par exemple, se meuve autour de

l'axe (0,0/0"); il est clair qu'après une demi-révolution, elle coïncidera