CHAP. II. DES SURFACES. DE RÉVOLUTION

avec la dernière branche ; qu'après une révolution entière, elle sera dans sa position primitive, et qu’elle aura engendré à elle seule, la même surface que si les deux branches se fussent mues à la fois d’une demi-révolution, ou que si la génératrice donnée (ABC... .A’B'C'...), se füt mue d’une révolution enticre. |

I! suit de là qu'une des deux branches de la méridienne suflit pour engendrer une surface de révolution, et que la seconde est surabondante. C'est par cette raison qu'on donne souvent à une branche , considérée isolément, le même nom de méridien ou de méridienne, qui appartient à l'ensemble des deux branches. |

200. La construction d’une méridienne quelconque est extrêmement aisée. En effet, supposons qu'on demande celle que contient le plan médien OP : on remarquera que ce plan coupe les cercles (AVQ, V'Q"), (BXR, X'R'),(CYS, Y'S’), etc., suivant des points qui se projettent horizontalement en K, L, M, etc.; on construira les projections verticales K', L', M’, etc., de ces points ; on décrira la courbe K'L'M'NP’, et l’on aura la méridienne cherchée (KP, K'L'M'N'P').

201. Nous donnerons au plan WU, qui passe par l'axe de révolution, et qui est parallèle au plan vertical, le nom de plan méridien principal , ou simplement celui de méridien principal. La méridienne qu'il contient, et qui a pour projection verticale le contour de la surface , recevra ordinairement le même nom de méridien principal , ou celui de méridienne principale.

202. Il résulte de ce qui précède qu'une surface quelconque de révolution est susceptible de trois générations remarquables,

Premièrement , elle peut être engendrée par le mouvement d’une courbe (ABC..., A’B'C'...), donnée dans l’espace, ou déterminée comme on voudra sur la surface, et assujettie à tourner circulairement autour de l'axe (0, 0'0”).

Secondement , par le mouvement circulaire, autour du même axe, d’une méridienne (KLMNP, K'L'M'N'P').

Troisièmement, par le mouvement d’un cercle horizontal dont le centre sutyrait l'axe (0,0/0"), et dont le rayon varierait de manière que la circonférences’appuyättoujours sur une méridienne (WV, W'V'), ou sur la courbe donnée (ABC..., A'B'C'...).

On remarquera qu’il y a dans cette dernière génération deux directrices ,

la droite (0, 0'0") d’une part, et d'autre part la méridienne (WV, W'V',

Plérr:

Fig.

2 el 3.

ou la courbe (ABC. .., A'B'C’...); et que la génératrice est une lighe variable de grandeur.

203. Il correspond à ces trois sortes de générations, trois systèmes de représentation dessinés sur la planche 12. La figure 1 , comme nous l'avons déjà vu, est faite dans la supposition que la génératrice soit une hélice donnée. La figure 2 représente la surface, en la supposant produité par le mouvement de la méridienne. Enfin, la figure 3 est la représentation dans laquelle on prend le cercle horizontal, variable de rayon, pour ligne génératrice, l'axe de révolution pour directrice du céntre de ce cerele, et la méridienne principale pour directrice de sa circonférence.

Chacune de ces représentations est formée par les projections d’un certain nombre de positions de la génératrice et par les contours des projections de la surface. |

La disposition des données est telle, que les traces de cette surface ne peuvent rien ajouter à ses représentations ; car elle n’a pas de trace verticale, et sa trace horizontale est déjà marquée comme contour.

Sur la figure 2, on a eu soin d'indiquer les projections verticales M0”, m'o', des lignes (MNOP, M0"), (mnop, m'o'), qui se projettent horizontalement suivant les contours MNOP, mnop.

204. Nous emploierons communément le système de représentation de la figure 2, parce qu'une surface de révolution est presque toujours donnée au moyen de sa méridienne ; mais nous nous dispenserons, pour l'ordinaire, de représenter aucune autre méridienne que la méridienne principale. Cette convention, en réduisant le dessin aux contours des projections de la surface, économisera souvent beaucoup de travail.

205. Lorsque la génératrice sera une courbe à double courbure, 1l nous arrivera, comme dans la planche 11, de représenter des méridiennes, des cercles et des positions de la génératrice. Toutes ces lignes concourent au même but, qui est de donner l’idée de la surface.

Si la RAA de terre mn est réncontrée par les projections horizontales EWeU, DZEAT, etc., du cercle générateur, on en Conclura qu'il existe une trace verticale ; on déterminera lès points (e, e'), J, k,i, etc., où les cercles (EWeU, W'U'), (DZAT,Z!T"), ete. , perceront le plan vertical ; par cés points on mènera uné ligne e'fghi, et cette ligne sera ni trace verticale dé la surface.

206. Pour désigner une surface de révolution , nous indiquerons, entre deux accolades , son axe et sa génératrice ; ainsi, par exemple, nous appélle-

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rons celle que produit lhélice (ABC. .., A'B'C'...), la surface de révolution {(0, 0'0"), (ABC..., A/B'C'...)}.

207. Quelquefois la famille des surfaces de révolution rentre dans les deux familles de surfaces précédemment examinées; nous allons exposer dans quels cas, et faire connaître les genres et les espèces de surfaces de révolution qui présentent de l’intérèt.

Lorsque la méridienne d’une de ces surfaces est une droite, cette surface devient un cône ou un cylindre. En effet, toutes les méridiennes étant placées de la même manière par rapport à l'axe, il arrivera que si elles rencontrent cet axe, elles le rencontreront en un même point: alors elles formeront un cône; et si elles ne les rencontrent pas, elles lui seront toutes parallèles, et formeront un cylindre.

Et comme il n’y a pas de point de la méridienne auquetil ne corresponde, sur la surface, un cercle dont le centre soit sur l'axe, et dont le plan soit perpendiculaire à cet axe, 1l s'ensuit que les cônes et les cylindres de révo- Jlution sont des cônes et des cylindres à bases circulaires.

208. On remarquera que ces cylindres ont leurs élémens perpendiculaires au plan du cercle qui leur sert de base. On lesnomme, par cette raison, cylindres droits ; et soit qu’on les considère comme des surfaces de révolution, ou comme des surfaces cylindriques , on donne toujours le nom d’axe à la droite élevée par le centre de la base, perpendiculairement au plan de cette base, c'est-à-dire parallèlement aux élémens de la surface.

Dans un cône de révolution, la droite menée par le sommet et par le centre de la base, n’est autre chose que l’axe de révolution. On donne à cette droite le nom d’axe du cône; et comme elle est perpendiculaire au plan de la base, 1l s'ensuit que la surface est symétrique par rapport à cet axe, en sorte que le cône s'élève verticalement lorsqu'il a pour base un cercle horizOnial. On appelle, par cette raison, cônes droits , les cônes de révolution.

: 209. Les cônes droits, les cylindres droits, et toutes les surfaces de révolution engendrées par des ellipses, des hyperboles ou des paraboles, en mouvement autour d’un de leurs axes principaux, forment un genre de surfaces de révolution qu'on appelle surfaces de révolution du second degré (169 note).

Les espèces que comprend ce genre, sont : les ellipsoides de révolution , au les surfaces engendrées par une ellipse, mobile autour de son grand axe ou autour deson petit axe; les kyperboloides de révolution à une nappe, ou les surfaces engendrées par une hyperbole mobile autour de son axe imagi-

PItrr.

CE EN: dd

naire ; les kyperboloides de révolution à deux nappes, qui sont ceux où lhyperbole génératrice tourne autour de son axe réel ; les paraboloïdes de révolution , ou les surfaces engendrées par une parabole mobile autour de son axe; FE cônes droits, et cb les cylindres droits.

210. Parmi les M cidee , il y a une variété que nous connaissons : Cest la sphère. Quelque diamètre, d'un quelconque de ses grands cercles , que l'on prenne pour axe, ce grand cercle la produit en tournant sur cet axe ; en sorte qu'elle est de révolution par rapport à tous les axes qui se croisent par son centre, ou bien qu’elle est circulaire en tous sens. On emploie très fréquemment cette surface, et on la représente tout simplement au moyen des cercles MNP, QRS, qui forment les contours de ses deux projections:

Si le centre de la sphère était sur la ligne de terre, les mêmes cercles se confondraient en un seul, qui serait tout à la fois la trace horizontale et la trace verticale de la sphère , et qui suflirait pour que l'on exécutät sur cette surface toutes sortes de constructions.

211. Exécution de la planche 11. Les arcs AB, BC, CD, etc. , ayant été pris de même grandeur, les points A’, B', C’, etc., ont été déterminés de manière que chacun d’eux se trouve au-dessus de celui qui le précède d’une hauteur constante pq ; donc la génératrice (ABC. .., AB C'...) est une hélice (110).

Pour que la figure soit peu compliquée, on n’a représenté que l'arc de cette hélice compris entre les points (A, A"), (E, E”); maïs, pour indiquer que cet arc ne s'arrête pas à ces points, on a un peu prolongé ses projections en élémens interrompus tels que ceux qu’on emploie pour figurer les lignes de construction.

de surface engendrée par l'arc (ABC..., A'B'C'...) est composée de deux parties, l’une située en avant du plan vertical, et l’autre, dont nous avons fait abstraction, située derrière ce plan. La méridienne (WU, W'V'...Q'U”), montre qu’en projection horizontale , la partie située en avant du plan vertical est entièrement vue. Il suit de là que les cercles (AVA"Q, V'Q'), (BXB'R, X'R°), (CYC"S, V'S’), etc., qui forment la surface donnée, les positions (ABC. .., A'B'C’...), (FGH..., F'G'H'...), de la génératrice, et les méridiennes (QU, Q'U’), (KP, KP’), (VW, VW, doivent avoir leurs projections horizontales marquées en lignes pleines.

212. Par rapport à la projection verticale, le méridien principal WU divise la surface donnée en deux parties ; l’une située en avant de ce méridien et nécessairement vue, ainsi que tout ce qu’elle contient; l’autre si-

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tuée en'arrière du même méridien et cachée par la première. Or, les po- PI: 11.

sitions (ABC..., A'B'C'...), (FGH..., F'G'H'...), de la génératrice, et la méridienne (KP, K'P'), sont en avant du méridien WU ; donc les projections verticales de ces lignes sont vues.

Quant aux cercles de la surface, chacun d’eux se trouve composé de deux moitiés qui ont même projection, et dont l’une est vue et l’autre cachée : il s'ensuit qu’elles doivent être indiquées par des lignes pleines V'Q, AR etc. | ;

Il nous reste à parler de la trace e’fghi; il est évident qu’elle est sur la partie cachée de la surface : donc elle doit être ponctuée.

D'après ce qu'on a vu précédemment (159), 1l est sans doute surabondant de faire observer que les contours eJEU, VAQA", W'V', UQ’, doivent être formés par des traits pleins.

213. Exécution de la planche 12. On voit par la figure 2, que la surface donnée est composée de zones m'M"0"0", M'm'0'0", m'M'O'o', qui sont toutes cachées par celle qui couronne la portion de surface représentée , et dont chacune est comprise entre deux cercles projetés horizontalement en mnop et MNOP.

Les demi-révolutions d’hélice, telles que (rmy, r'm'n), qui forment la zone supérieure dans la figure 1 , sont nécessairement vues en projection horizontale , en sorte que chaque cercle rmykhr, doit être marqué, dans sa partie rmy, par un trait plein. La partie rLy du même cercle, répondant à des zones cachées, doit évidemment être ponctuée.

Pour la projection verticale, on sait que toutes les hélices ou parties d’hélices, qui sont en avant du méridien principal, sont vues (212). D’après cela, les projections verticales des hélices qui s'élèvent des points (x, x’), (r, 71), (, 7), du plan horizontal , doivent être indiquées en lignés pleines ; celles qui s'élèvent des points (4, #’), (u, u'), (v, #"), (ww, w'), (i, à), (o, ww), ayant des arcs en avant du méridien principal et d’autres en arrière, seront composées de lignes pleines et de lignes ponctuées; enfin, celles qui partent des points de l'arc x"z" seront entièrement ponctuées.

IL est facile devoir d’ailleurs que les points où la projection verticale d’une position de la génératrice touche les contours abcdef, f'e‘d'c'b'a!, sépare sur cette projection les ares pleins des arcs ponctués.

L’exécution des figures 2 et 3 ne présentera aucune difficulté.

Fig. 1.

Fig. 2 et 3.

AAA AAA AAA AA AA AAA AS AAA RAA AAA ANA NAN AAA AAA NA RAA AAA AA AAA A à AAA AAA