CHAPITRE LEE

Des surfaces gauclhes.

214. Os appelle surfaces. gauches les surfaces qui sont engendrées par le mouvement d'une drokte dont deux positions consécutives ne sont pas en général dans un même plan.

215. Il résulte de cette définition que les surfaces coniques et cylindriques, quoiqu’elles soient produites par le mouvement d’une droite, sont cependant tout-à-fait distinctes des surfaces gauches. En effet, deux élémens consécutifs d’une surface conique, se rencontrent au sommet de cette surface; donc ils sont dans un même plan. Deux élémens consécutifs d’un cylindre sont parallèles ; donc ils sont aussi dans un même plan. Donc les surfaces coniques et cylindriques ne peuvent appartenir dans aucun cas à la famille des surfaces gauches. |

Cette famille de surfaces est peut-être celle qui présente le plus de genres. Nous nous contenterons d'examiner les plus usuels, et nous allons com mencer par Celui qui comprend les surfaces les plus simples.

216. DES SURFACES GAUCHES QUI ONT UN PLAN DIRECTEUR. Concevons deux courbes quelconques dans l’espace, et imaginons qu’une droite se meuve, en. les touchant constäimment, de manière à être toujours parallèle à un plan connu de position, qui sera ce que nous nommons un plan directeur (138). I est évident qu’à moins qu'il n'existe de relations particuhières entre le plan directeur et.les deux courbes directrices, deux posi-

tions consécutives de la génératrice ne seront pas dans un même plan ; donc,

en général, la surface que décrit une droite qui se meut:sur deux courbes données , sans cesser d’être parallèle à à un p Flan! appartient à la famille des surfacés gauches, on 29E. sde be foie, taie

217. Soit (AB, A'B'), (CD, CD”), les. ‘denx lignes directrices d u ne telle surface 9 et (MO, ON) son plan directeur. Il s'agira d’abord de savoir construire une position quelconque de la génératrice. Supposons qu’on demande celle qui correspond au point (A , A) de la première directrice ; il est clair qu'en menant par ce point un plan parallèle au plan

directéur, il coupera la deuxième directrice en un point (C, C’}, et que la droite (AC A'C'), qui passera par les points (A, A”), (C, C’), sera la position cherchée. :

D’après cela, on pourra construire autant d’élémens de la surface qu’on'en voudra ; mais comme la méthode générale que l’on vient d'indiquer est d’un emploi pénible, il sera bon dy substituer le procédé suivant.

218: On mènera dans le plan directeur (MO, ON), une droite quelconque (Mr, MN): on coupera le plan (MO, ON) par des plans verticaux PM, P«, Pb » Etc. , menés par un même point P de la trace MO; ces plans couperont la droite (Mn, M’N), en des points (M, M), (a, a’), (6, à”), etc. , et en menant par ces points, et par le point P, les droites (PM, PM"), Pa, Pa), (Pb, Pb"); etc., on aura les sections du plan directeur avec les plans verticaux PM, Pa, Pb, etc. Par le point (A, A’), on mènera les droites (Ap, A'p'}, (Ag, Ag’), etc., parallèles à ces sections; ces droites formeront un système de lignes

arallèles au plan (MO, ON); elles perceront le cylindre vertical CD suirant des points

À (p; p'); (q, g'), ete., qu’il sera facile de construire, et par les projections p’, g', ete.

J desquels on tracera la ligne p'g'r's". Cette ligne et la ligne CD seront les deux projections d’une courbe , intersection du cylindre vertical CD et dés droites menées par le point (À, A”), parallèlement au plan (MO, ON). Or, l'élément cherché fait partie de ces droites;