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à donc il perce le cylindre CD en un point de (CD, p'g'r's’). Mais ce point est celui où = cet élément coupe la deuxième directrice ; donc il est situésur (CD, C'D') : donc enfin , il ë a pour projection verticale le point C’, intersection de CD’ et dela courbe auxiliaire p'g'7's". = Connaïssant le point C’, on en déduira le point C , et l'élément cherché (AC, AC’) sera > déterminé.
4à En pr enant sur (AB, A’B’) de nouveaux points comme (A, A’), on déterminera de nou-
velles positions de la génératrice, et l’on parviendra bientôt à repr gauche donnée.
219. Si, au lieu de demander l’élément (AC, A'C), qui passe par un point donné (A; A") de Fune des directrices, on demandait l'élément (BD, BD’), qui est parallèle à < une droite (Pa, P'a') située dans le plau directeur , les constructions à faire seraient encore plus simples. En effet, il ne s'agirait que de mener par divers points (d,d”),(e,e),
(F, F7), (g, g') etc., de l’une des directrices., des parallèles (A, d'K"), (ei, 1), etc,
à la droite donnée (Pa, P'«’); ces parallèles formeraient un cylindre qui couperait le —. cylindre vertical CD suivant une courbe (Aijk, R'iJK), facile à déterminer; et comme = le cylindre composé des parallèles à (Pa, P'a) contiendrait nécessairement Pélément “ cherché, il s'ensuit qu’il contiendrait aussi le point de cet élément situé sur (CD, CD’) Or,'ce point ayant sa projection horizontale sur CD, il est à la fois sur le cylindre parallèle à (Pa, Pa’), et sur leur cylindre CD donc il est sur leur intersection Qhiÿk, ki k); maïs il a sa projection verticale sur C'D’, donc cette projection est le point D’, intersec- u sion de C'D' et de X'5ÿ'#". - |
: Ayant le point D’, on en dédüirait le point D, puis l'élément cherché (BD, BD”).
ésenter la surface
Le
220. Lorsqu'une des deux directrices (AB, A'B'), (CD, C'D'), d’une des +") surfaces du genre dont nous nous occupons, est une ligne droite, l'individu Ë qu’elles déterminent appartient à une espèce particulière de surfaces gau-
HR Bis: % | Jèles à un même plan, il s'ensuit qu'ils divisent les directrices en parties
ches qu’on appelle conoïdes , parce que les surfaces qu'elle comprend ont quelque analogie avec les cônes (*).
Si la directrice rectiligne est perpendiculaire au plan directeur, le conoïde prendra le nom de conoide droit, et cette directrice celui de ligne de striction (**).
221. Parmi les conoïdes il y a une variété bien remarquable , c'est Éolle où la droite génératrice, constamment parallèle à un même plan , suit pour directrices deux lignes droites. On donne aux surfaces de cette variété (PF?) le nom de paraboloïdes hyperboliques , ou de conoïdes du second degré (169 note). |
222. De ce que les élémens d’un paraboloïde hyperbolique sont paral-
proportionnelles. En effet, soit AC, A'C', les deux directrices d’un paraboloïde hyperbolique ; et soit AA’, BB’, CC’, trois de ses élémens. Par le point A, menons AD parallèle à CC/; le plan A'AD sera parallèle aux deux élémens AA’, CC’: donc il pourra être pris pour le plan directeur du paraboloïde.
Cela posé, abaissons des points B, B', C, C’, les nn Het Bb, Ce, B'b', C'c’, sur le plan A'AD ; on aura s (4 — C'c', Bb — B'b'. Menons les droites Abc, A'b'c'; elles formeront des triangles semblables qui donneront
| Ce : Bb :: AC : AB, et C'c’ : B'b° :: A’C' : AP”. D'où l’on tirera, à cause de légalité des termes des premiers rapports;
