AB : BC :: AB! PC

223. Réciproquement, si les élémens AA’, BB', CC’, etc., d'une surface gauche, divisent deux droites directrices A'C, A'C', en parties proportion-

(*) Si l’on imagine que le sommet d’un cône soit étendu sur une-droîte, les élémens qui se croisaient par ce sommel s’appuieront sur cette droite, et, sils sont parallèles à un même plan, la surface conique sera un conoïde.

(**). Ce nom vient de ce que la directrice rectiligne renferme les plus courtes distances de tous les élémens, de manière que c’est suivant cette ligne que la surface est le plus resserrée, ou en quelque sorte le plus étranglée.

(**) Ces surfaces ne peuvent être coupées par un plan que suivant une parabole ou suivant une hyperbole; c'est ce qui les a fait nommer paraboloïdes hyperboliques. }

nelles , ils seront parallèles à un même plan-et appartiendront à un parabo- Pt 9.

loïde hyperbolique. Fis-@ Pour démontrer cette propriété, menons encore AD parallèle à CC’, et

abaissons les mêmes perpendiculaires Ce, Bb, C'c’, B'6’, sur le plan A’AD.

On aura, en formant les triangles ACc, A’C'c 2 à

AB£SAC :: Bb: Cc; et A'B' : A’C' :: B'b'!: C'e': et comme on a par hypothèse, AB : BC :: A'B': BC’, ou AB : AC :: A'B': AC’, on en conclura que | Bb Gc:24B'b" 2 Ceci mais la droite CC’ étant parallèle à AD , elle est aussi parallèle au plan A'AD, ainsi on a Cc— C'c'; donc

Bb — B".

Donc tous les élémens tels que BB’ sont parallèles au plan A'AD, mené par un élément AA’, parallèlement à un autre élément CC’ : donc, etc.

224. Les paraboloïdes hyperboliques jouissent d’une autre propriété bien

remarquable : c’est que AA’ et CC’ étant deux positions de la génératrice Fiz. 5, d'une de ces surfaces, une droite , mobile sur les élémens A A’ et CC de manière qu’elle soit constamment parallèle à un plan parallèle aux deux premières directrices AC, A'C' , engendrera le même paraboloïde hyperbolique.

Nous allons démontrer cette belle propriété en faisant voir que chaque point d’un élément de la seconde génération est sur un élément de la pre- miére, et réciproquement : c'est-à-dire que le paraboloïde engendré selon la seconde génération, n’a pas de point qui ne soit sur le paraboloïde engendré selon la première, et qu'il en est de même de ce dernier par rap port au premier, ou que ces deux paraboloïdes ne font qu'une même surface. \

Soit 717 une position de la droite mobile le long de AA! et CC’. Menons par les points C et C’ des parallèles Ce, C'c' à mn; et soïent c et c' les points où elles rencontrent le plan AA'D parallèle à CC’. Enfin, menons Ac et A'c’ et joignons les points c et c’ par une droite cc’; cette droite sera O tion du plan AA'D avec le plan de l’élément CC et des parallèles Cc, mn et C'c' : donc elle passera par le point 7 où mn coupe AA’.

PL g.

ae m1 Fig 5.

Cela posé, prenons sur mr un point quelconque O, et concevons par ce point un plan parallèle au plan AAD; il coupera les directrices AC, AC, de la première génération , en deux points B et B’; et comme le plan AA'D peut être pris pour le plan directeur de cette génération, les points B et B’ détermineront l'élément BB', de cette même première génération. Or, le point O appartient à cet-élément : en effet, si l’on mène les droites Bb, B'?', parallèles à mn, elles détermineront les triangles ABb , A’B'D', semblables. à ACc, A'C'c'; donc on aura |

AB : AC :: Ab: Ac,æet A'B’ : .A'C' 2: AB" : Ac":

Mais (222) AB : AC :: A'B’ : AC’; donc

Ab AG AND AE Maintenant remarquons que la droïte mn étant mobile parallèlement a un plan parallèle aux deux premières directrices AG, A"C', les plans ACc, A'C'c!, sont nécessairement parallèles. Donc les Enteb Ac, Ac’, de: ces plans avec AA'D sont aussi parallèles. Et, puisque ces intersections sont divisées par les points D et D’ en parties AU ARE , il S’ensuit que les trois points b, net b', sont en ligne drôite ; donc le plan des lignes Bb, B'h', contient les droites BB’ et 17; donc enfin le point O, de élément #»# de la seconde génération, est sur un élément BB’ de la première.

On prouverait de même que chaque point d’un élément BB’ de la première génération, appartient à un élément de la seconde : ainsi tout paraboloïde hyperbolique est APRES d'être engendré de deux FRS une droite.

225. Il est clair, d’après ce qui précède, que les deux directrices et le plan directeur d’une génération étant donnés, deux élémens de cette génération, et un plan parallèle aux deux directrices données, seront les directrices et le plan directeur de l'autre génération. Et si de la seconde génération on voulait déduire la première, on prendrait deux élémens de celle-là, et un plan parallèle aux deux directrices correspondantes, et l’on aurait le plan directeur et les droites directrices de celle-ci. D'où l’on voit que les deux générations se déduisent Tune de l'autre absolument de la mème manière.

226. DES SURFACES GAUCHES qui ont trois directrices PR à Si lon impose à la génératrice la condition de toucher constamment une troisième ligne directrice , ‘au lieu de celle de rester toujours parallèle à un plan

directeur , il est clair que les surfaces engendrées seront encore des surfaces gauches, à moms que les trois directrices n'aient entre elles des relations convenables pour que deux élémens consécutifs soient en général dans le même plan (214).

227. Soit donc (AB, AB"), (CD, CD’), (EF, E’F'), les trois directrices d’une surface gauche, et cherchons la position de la génératrice qui correspond à un point (M, M’) de lune de ces directrices, de la première, par exemple. Pour cela nous prendrons la

deuxième directrice (CD , G/D'} pour base d’un cône dont le point (M , M”) soit le sommet ;

nous construirons le point (N , N°) , où la troisième directrice (EF , ET”) percera ce cône ; nous menerons la droite (MN , M’N’); elle touchera évidemment les trois directrices données, et sera par conséquent la position cherchée de la génératrice ,ou , ce qui revientau même, un.élément de la surface. s

Pour exécuter ces constructions, nous prendrons’sur la deuxième directrice une suite de points (D, D”), (a, «),(b, L”), etc. ; par ces points et par le sommet (M, M'}, nous menerons les droites (MD, M'D'), (Ma, M'«), (Mb, M'6’),etc.; nous construirons les points (F, H}), (ë, #),(j,1), etc., où ces droites pereeut le cylindre verticai FE; nous menerons, par les projections verticales H, 7’, j', 4’, etc., de ces points, la courbe Hiÿk'#T.…; elle rencontrera FE’ en un point N'; on AÉtactainera le point N corresponph N’,et (N, N°) sera l’intersection de la troisième directrice avec le cône dont la base est (CD , CD) et le sommet (M, M”). En effet, le cylindre vertical FE est coupé

par le cône auxiliaire suivant la ligne (F##2..., Hiÿ'#l'...); mais ce cylindre contient

la troisième directrice; donc il contient le point (N, N')) où elle perce le cône; donc ce point, situé tout à la fois sur le côneet sur le cylindre, ou, ce qui revient au même sur leur intersection, est commun aux deux lignes (F5;&/..., H:'7'#7...), (EF, E'F”): donc enfin, ila pour projection verticale le point N’. Ce point une fois connu, le point N s'ensuit , puis les projections MN , MN’, de l'élément cherché.

On construira, par ce procédé, Hate de positions de la génératrice qu’on en voudra, ainsi la représentation de la surface donnée sera facile à obtenir.

228. Si les trois directrices (AB, A’B’), (CD, CD’), (EF, EF”), deviennent à la fois des lignes droites, la surface correspondante sk sera ce quon appelle un kyperboloïde à une nappe (*).

.(°} Ce nom vient, de ce. qu’une telle surface peut toujours être produite par le moyen d’une hyperbole. En général , le nom d’Ayperboloïde se donne à toute surface engendrée par une hyperbole, mobile autour de l’un de ses axes, de façon que les sections perpencticulaires à, cet axe spient elliptiques. Si le mouvement se fait autour de l'axe réel, la surface a deux nappes isolées; s’il se fait autour de l’axe imaginaire; elle n’en a qu'une : c'est le cas du n° 296. Si les sections perpendiculaires à l'axe immobile sont; des cercles, lhypre génératrice est constante de forme; et Phyperboloïde est/ de révolation à une ou à deux nappes (209 et 236),

CS