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Fig. 2.

Cette surface jouit d’une propriété analogue à celle que nous avons démontrée pour le paraboloïde hyperbolique (224) : c’est qu'elle peut être engendrée par une seconde droite, mobile sur trois élémens quelconques de la première génération.

2209. Pour démontrer cette propriété, soient AC, A/C’, AC”, trois droites directrices d’un hyperboloïde à une nappe, et AA", B BB", CC!, trois élémens de cet hyperboloïde. Il s'agira de faire voir que toutes les droites qui touchent les trois élémens AA", BB", CC”, ont tous leurs points sur la surface donnée , ou, ce qui revient au même, qu’une génératrice mm", en se mouvant sur les trois directrices données AC, A’C', AC", touche un élément quelconque ab, de la seconde génération, successivement suivant tous ses points, ce qui exige seulement qu’un élément quelconque mm", de la première génération, rencontre chaque élément ab de la seconde.

Voyons d'abord comment on pourra construire les élémens des deux générations.

230. La directrice A'C’ et l'élément BB" devant se rencontrer, Ve droites A'B, B"C', sont dans un même plan, et se coupent en un point D. Mais la Ft: oite AB est dans le plan AA"C; la droite B"C’ est dans le plan A”C"C : donc le point D est un point de AMEURS A"C des plans AAC, A"C'C. On prouverait de même que les deux droites A! B", BC, se coupent en un point E de AC”. On voit donc par là que deux droites AC’, BB”, se rencontrant et s'appuyant sur les côtés opposés d’un quadrilatère AA"C"C, qu'on nomme quadrilatère gauche , parce que tous ses points ne sont pas. dans un même plan, les quatre points d'appui A'etB, B'etC!, for ment un quadrilatère plan, dont les côtés opposés A'B et B'C’, A'B" et BC’, se coupent respectivement en des pouls D ctÆ des diagonales A"C, AC”, du quadrilatère gauche.

Réciproquement, si quatre points A/, B', C!, B, du quadrilatère gauche, sont tels, que les droites A'B et B’C’, À B' et BC’, se coupent en des points Det E des diagonales AC, AC", les quatre points A’, B’, C'et B, sont dans un même plan, et ils forment par CORSEAUER un quadrilatère plan dont les diagonales A'C’, BB", se coupent et s ’appuient sur les côtés opposés du quadrilatère gauche,

231. D'après cela, étant données les trois directrices AC, A!C', AC; étant donnés deux élémens AA", CC’, et enfin étant donné un point B de la droite indéfinie AC, on déterminera facilement l'élément. BB! correspondant au point B. En effet, si l'on mène la droite AB, qui coupe A!C

en un point D, puis, par le point D et par le point connu C”, la droite DC, cette droite ira couper AC" en un point B", par lequel passera l'élément cherché BB". On aurait le même résultat en menant par les points B et C’ la droite BC/, qui couperait la diagonale AC” en un point E, puis par ce point et le point connu A, la droite EA’, qui couperait AC" au point B” qu'il fallait trouver (*).

L'élément mm" se construira.comme BB”. |

Et si l’on veut avoir une droite ab , passant par un point «4 de AA” et touchant les droites BB” et CC”, il n’y aura qu'à déterminer le point b de cette droite, au moyen des points B, B", et de l’une des diagonales A"C, AC", comme on vient de construire B", au moyen de A’, C', et d’une des mêmes diagonales.

232. Maintenant on remarquera que le point B”, d’un élément BB", se deduisant de la position du point B, il faut nécessairement qu'il y ait entre les diverses parties du quadrilatère gauche une relation qui détermine la position du point B”. Pour obtenir cette relation, nous menerons dans le plan AAC, la droite Cx parallèle à A’A’. Les triangles AA'B et BCx , A'A'D et CxD , étant semblables, nous aurons

A'A : AB :: Cx : BC, et DA’ : A'A! :: DC : Cx. D'où nous tirerons en multipliant terme à terme et réduisant,

| A'A x DA’: AB X AA! :: DC : BC,

ou

A'A x BC x DA”=— A’A' X AB x DC...(a),

égalité qui exprime que lorsqu'une sécante DA’ coupe les côtés d’un triangle A’AC, ou les prolongemens de ces côtés, les six segmens A'A et A'A’, ‘ "” E E4 BC et AB, DA’ et DC, sont tels que le produit de trois d’entre eux AA, n 0 r . » e .

BC, DA”, qui n'ont pas d’extrémités communes, ou, ce qui revient au

méme, qui sont discontinus, est le même que celui des trois autres seg-

mens AA", AB, DC, qui aussi sont discontinus (**)

OT TT TT TT T TRS RTE TER DDRM DEEE PEN ARE Are manne De SU EUS SPSRNE SR SR EP SRRSR RENE, (*) Ces constructions s'appliquent évidemment au paraboloïde hyperbolique , tout

comme à l’hyperboloïde à une nappe. Il en est de même (235) des démonstrations qui suivent.