CHAPITRE PREMIER
Des plans tangens dont le point de contact est donné.
277. Nous nous donnerons ordinairement le point de contact par l’une de ses projections, et nous déterminerons l’autre projection de manière que ce point soit sur la surface donnée;
278. On a vu, n° 147, qu'un plan tangent en un point d’une surface passait. par toutes les droites tangentes en ce point aux lignes quelconques situées sur la surface. Or, si parmi ces lignes il y a une droite, cette droite sera elle-même sa tangente ; donc elle aura tous ses points compris dans le plan tangent.
279.. Nous conclurons de là que lorsqu'une surface est engendrée par
ae
le mouvement d’une droite , comme les surfaces cylindriques , les surfaces coniques , les surfaces gauches et Les surfaces développables, le plan tangent en un point de cette surface passe toujours par la position de la génératrice qui correspond à ce point. Cette propriété est d'un usage fréquent, et l'on en va voir l'application dans plusieurs des problèmes qui suivent. |
280. PROBLÈME 1*. On donne une surface cylindrique, on donne la projection horizontale d'un point de cette surface , et l’on demande le plan tangent qui correspond à ce point.
Soit (mnpq, m'n'p') la directrice de la surface donnée , (ad, a'd”) sa génératrice, et g la projection horizontale du point de contact par lequel il faut mener le UT tangent demandé. |
IL s'agira d’abord de construire ce point : or, 1l sera situé sur un élément de la surface , et cet élément aura nécessairement pour projection horizontale la droite gk parallèle à ad. Ce même élément sera donc dans le plan vertical gk, mais ce plan coupe la directrice en (m, m') et (n, n'); done, si lon mène par ces points les droites (ng, n'g"), (mg, mg”), parallèles à (ad, a'd”), l'élément qui contient le point cherché sera l’une de ces droites :
= a < n J : ! (4 L s donc le point cherché sera l’un des deux points (g, g'), (g, g°).
Ces deux points satisferont également aux données du problème propose, et ce problème aura conséquemment deux solutions. Comme elles s’obtiennent de la même maniere , il nous suflira d'en construire une, celle par exemple qui correspond au point de contact (g, 8”).
On sait déja (279) que le plan tangent cherché passe par l'élément (ang, n'g') mené par le point (n, n°), et l'oÙ en conclura que la trace horizontale FA ce plan passe par le point Æ, et sa trace verticale par le point D.
281. Maintenant, je dis que tout plan tangent en un point d'une surface cylindrique est tangent à cette surface tout le long de l'élément qui passe par ce point; c'est-à-dire que le plan tangent d’une surface cylindrique a une infinité de points de contact qui sont tous les points de l'élément qu 1 contient. ;
En effet, soit S une surface cylindrique quelconque ; soit D sa directrice ; soit K un point quelconque de la directrice ; © la tangente à cette directrice suivant le point K ; E l’élément indéfini le la surface S, mené par le point K ; et soit enfin P le plan qui passe ‘par l'élément E et par la tangente T. 1 plan P sera tangent en K à la surface S (148 et 270); la directrice D et sa tangente T auront un élément linéaire infiniment petit
commun entre elles (89); donc toutes les positions de la génératrice, qui s'appuieront sur cet élément , seront communes à la surface S et au plan P : donc cette surface et ce plan se toucheront suivant une zone infiniment étroite , située le long de l'élément E, et ayant comme cet élément une JTongueur indéfinie. Mais cette zone ne sera autre chose qu’une suite de facettes de la surface S, situées le long de l’élément E ; donc le plan P sera tangent à cette surface suivant tous les points de l'élément E (145) : ce qu'il fallait démontrer.
282. Ilsuit de cette propriété que pour avoir le plan tangent demandé, ilne s'agira que de mener par la droite (ng, n'g'), un plan tangent en (n, n') à la surface donnée; or ce plan passera par la tangente (ns, n's'), menée en (7, z) à la directrice (mnpq, m'n'p'); cette tangente perce le plan horizontal en s : donc la trace horizontale du plan cherché est la . droite ks.
En menant par le point (g, 8’) une parallele (gr, g'r') à la trace ks, cette parallèle sera dans le plan demandé, elle percera le plan vertical en un point (r, r'), et la droite r'l', menée par ce point et par le point /', sera la trace verticale du plan tangent cherché (ks, r‘1°).
283. Nous ferons ici une remarque importante, c’est que les traces ks, rl, du plan tangent, sont tangentes en # et l’ aux traces akcb, d'l'tu, de la surface donnée. En effet, ce plan est tangent en (k, #) et (/, !), à cette surface (281); donc il passe par les tangentes menées par ces points aux courbes planes akcb, d'l'tu (147) : maïs ces tangentes sont situées dans les plans de projection ; donc elles coïncident avec les traces respectives ks et rt. | |
Nous conclurons de là que lorsqu'on sait mener une droite tangente
en un point (7, n’) de la directrice d’un cylindre, on sait aussi mener
des tangentes ks, l'r', aux traces de ce cylindre, par les points (#, #), (L, l), où l'élément qui passe Lie le point (n, n') perce les plans de projection.
284. Si la direbtrice de la ARE donnée était db le plan horizontal, cé Le arrive très communément, cette directrice et la trace abc ne feraient qu’une seule ét même courbe, et le plan tangent se construirait avec beaucoup dé facilité ; car ayant déterminé l'élément (9%, g'#), qui contient le point de contact , il ne s’agirait que de menér par le point k, où cet élément rencontre la directrice, une tangente X$ à cette délice, pour avoir la tracé horizontale du SU cherché, et par suite ce plan. |
285. Exécution de l’épure. Le cylindre donné est représenté par ses traces abc, d'l'tu; par les élémens qui, en projection horizontale et en projection verticale, enferment les projections du cylindre, et par sa directrice (166). On a supposé que cette directrice était une droite en projection verticale et un cercle en projection horizontale, et la projection g du point de contact a été choisie de facon que le plan demandé (ks, r'l'), soit au-dessous et en
arrière du cylindre; en sorte que ce cylindre doit être représenté cornes ail était seul dans PARA
D'après cela, tous les points de la droite vx correspondant chacun à deux points de la courbe (mnpq, m'n'p'), dont l’un est nécessairement vu en projection verticale, la ligne vx doit être pleine. La projection horizontale mnpq de la même courbe est formée de deux parties, l’une pleine, parce qu’elle correspond à la partie supérieure de la surface, et l’autre ponctuée, parce qu’elle correspond à sa Pas inférieure. Quant aux traces et aux éléméns, il est facile, d'après ce qu'on à vu (1 "Rien 75), de déterminer leurs parties pleines et ponctuées.
Le plan (ks, r'{') étant situé au-dessous et'en arrière du cylindre donné, les traces ks, rl’, doivent être ponctuées dans les partiés où elles traversent les projections de ce cylindre, et plemes dans les autres parties.
286. PROBLÈME 2. Mener par un point donné d'une surface conique un plan tangent à cette surface.
Supposons que l'on mène une ligne droite par le point Gba et par le sommet du cône; cette droite sera l’un des élémens de la surface, êt d après ce qu'on a vu n° 279, Cet élément tout entier sera compris sat le plan tangent demandé.
287. Or, je dis que ce plan sera tangent au cône tout le long de cet élément ; en effet, désignons ce même élément par la lettre E, % directrice par la lettreD, ct le plan tangent demandé par la lettre P. L'élément E et la directrice D se coupent en un point K, et si l’on imagine par ce point une droite T, tangente à la directrice D, Fe lignes T et D auront un élément linéaire HAS petit À commun entre elles. Cela posé, concevons que la génératrice se meuve pour engendrer le cône ; il est clair que toutes les positions de cette génératrice, qui s ’appuieront sur l'élément k, seront à la fois dans la surface donnée et dans le plan tangent P : mais toutes ces positions formeront évidemment une petite zone du plan P, laquelle comprendra l'élément E, et qui sera composée de toutes les facettes de la surface traver-
sées par cet élément ; donc le plan P (145) sera tangent au cône suivant tous les points de l’élément E.
288. Soit donc (s, s') le sommet du cône donné, (mrnt, m'r'n') sa directrice, (2, n!) un point de cette directrice, et (sn, s'n’) l'élément de la surface mené par le point de contact donné.
Par le point (7, n'), où l'élément (sn, sn") s'appuie sur la directrice, on menera la droite (nu, nu’), tangente à la courbe (mrnt, m'r'n'); cette droite sera dans le plan tangent en (7, n') à la surface donnée (147), ou, ce qui revient au même, elle sera dans le plan tangent à cette surface tout le long de (s2, s'n!), c'est-à-dire dans le plan tangent demandé : donc ce plan passera par les droites (ns, n's'), (nu, n'u).
Ces droites étant connues, il sera facile d’en déduire les traces Ag, gv’, de ce plan. Parmi les différens moyens que l’on pourra employer pour les obtenir, voici celui qui est indiqué sur l’épure. On a mené par le sommet (s, s’), la droite (sv, s's”) parallèle à la tangente (nu, nu‘); on a déterminé les points #’ et s’ où ces deux droites (sy, sv’), (nu, n'u’), percent le plan vertical, et comme elles sont dans le plan demandé, on en a déduit la trace w'v! de ce plan : on a prolongé cette trace jusqu’au point g où elle coupe la ligne de terre; par ce point et par le point o, où l'élément (sn, s'n') perce le plan horizontal, on a mené la droite gk, et l'on a eu le plan cherché (2h, gv').
289. Si l’on donnait la projection horizontale d’un point du cône, et qu'on demandät le plan tangent en ce point, il faudrait d’abord chercher l'élément passant par le point donné, et le problème se trouverait ramené à celui que nous venons de résoudre. Or, dans le cas de l'épure, le cône a deux points qui ont mème projection horizontale p; donc il y a deux élémens qui correspondent à ce point. Pour trouver ces élémens , on menera la droite sp; on imaginera par cette droite un plan vertical; il coupera la directrice (mrnt, m'r'n') en deux points; on construira ces points; on mencra par le sommet (s, s') et par ces mêmes points deux lignes droites, et ces lignes seront les élémens cherchés.
290. Le plan (2h, gv') touchant la surface donnée tout le long de l’élément indéfini (sn, s'n'), il en résulte que si l’on mène un plan quelconque dans l'espace, ce plan coupera la droite (sn, s’n') en un point, la surface conique suivant une courbe passant par ce point, et le plan (2h, gv’) suivant une droite tangente à cette courbe en ce même point : car la tangente
té
Pl: 19.
devant être à la fois dans le plan tangent et dans le plan de la courbe, elle est nécessairement l'intersection de ces plans.
Si l'on PreE les plans de projection pour exemples, on verra que les droites gh, gw°, sont tangentes aux traces de la surface donnée, et que le point de contact de la première de ces droites est la trace horizontale © de (sn, s’n!). Quant au point de contact de la seconde, il est visible qu'il est situé hors du cadre, ainsi que la trace verticale de la surface donnée.
201. Exécution de, l’épure. Lé cône est représenté par les projections s et s’ de son sommet, par sa trace horizontale, par plusieurs positions de sa génératrice, parmi lesquelles on doit remarquer celles qui servent de contours aux deux projections du cône, et enfin par les projections de la directrice (185). -
On suppose la nappe inférieure terminée au plan horizontal : elle est évidemment au-dessus du plan tangent et en arrière de ce plan: La nappe supérieure est prolongée indéfiniment; elle est évidemment au-dessus du plan tangent et en avant de ce plan. D’après cela, la nappe supérieure du côné n’est pas vue en projection horizontale; donc toutes les lignes qui ka représentent doivent être ponctuées, hors l’elément de contact sx, qui est. dans le plan HAE et qui par conséquent ne peut être caché par ce plan. I] en est de même de la nappe inférieure en projection verticale;
toutes Îes lignes qui lui sir des sont conséquemment ponctuées, hors l’élément de contact s'o
Quant aux nappes situées dois ou en avant du plan tangent, voyez les n° 170 et 190.
Il ne reste à parler que des traces gh, gv', de ce plerie or, il est clair que la première est cachée par la nappe inféridtuté du cône, et la dernière par sa nappe supérieure ; donc les parties de ces traces comprises dans les angles csd, gs'q', doivent être ponctuées, et le surplus des mêmes traces, jusqu'à la ligne de terre, doit être marqué par des lignes pleines.
202. PROBLÈME 3. Étant donnés l'axe (1, VI") et la méridienne principale (VN, VLM'N'M'L/) d'une surface de révolution , mener un plar tangent à cette surface par un de ses points dont la projection horizontale P soit connue.
Il s'agira d’abord de déterminer la projection verticale du ‘point de côontact. Et comme la méridienne est composée de deux parties (VN, V'EN'), {VN, V'L'N’), qui ont même projection horizontale, et qui sont situées
l'une au-dessus de l’autre, il est évident que la surface donnée est aussi composée de deux parties qui ont même projeclion, et qui contiennent chacune un point projeté en P; d’où il suit qu'il y a deux points de contact correspondans aux données du problème.
Pour les déterminer, on remarquera qu'ils sont situés sur la verticale (P, pp’), laquelle est tout entière comprise dans le plan méridien OY, Or, amenons ce plan sur VN, en le faisant tourner autour de l'axe (1, ['1"); le pied P de la verticale (P, pp') décrira l'arc de cercle PM, dont le centre est en IL, et cette verticale viendra par conséquent en (M , mm’). Mais la méridienne OY viendra coïncider avec (VN, V'LN’L’); d’où l’on yoit que les points (M, M"), (M, M"), seront communs à la verticale et à la méridienne amenées dans le plan VN. Faisons donc tourner ces points autour de l’axe (I, l'1") pour les ramener dans le plan OY : ils ne sortiront pas des plans horizontaux qui les contiennent; donc, à leur retour dans leurs positions primitives, ils auront leurs projections verticales sur les droites M'P', M"P", menées par les points M” et M’ parallèlement à la ligne de terre; donc ces projections seront en P'et P”, car elles doivent être sur la ligne Pp’ : donc enfin les points (P, P'), (P, P"), seront les points cherchés.
295. Supposons que ce soit par le premier (P, P”) de ces points qu'il s'agisse de mener le plan tangent demandé.
Ce plan passera, premièrement, par la tangente en (P, P') à la méridienne OY ; secondement, par la tangente au mème point au cercle horizontal (UXMP, UM).
Menons cette dernière tangente. Il est clair qu’elle sera horizontale; donc elle aura pour projection verticale la droite UP'M' parallèle à la ligne de terre. Quant à sa projection horizontale, ce sera évidemment la tangente PS au cercle UXMP. La tangente cherchée sera donc la droite horizontale (PS, PU’), laquelle perce le plan vertical au point S'; et puisque cette tangente est dans le plan demandé, la trace verticale de ce plan passera par Je point S’. De plus il coupera le plan horizontal suivant une parallèle a la droite (PS, PU’), suivant laquelle il coupe le plan horizontal U'M'; donc sa trace horizontale sera une droite parallele à PS.
Pour construire cette droite , il nous suffira d’en avoir un point : ce point va nous être fourni par la tangente en (P, P’) à la méridienne OY. Amenons cêtte méridienne dans le plan VN, en la faisant tourner sur l'axe (E, TT”); elle viendra se placeren (VN, V'LN'L’),et le point (P, P')en (M,M'). La tangente en (P , P'), amenée dans le plan VN, sera donc la droite (MQ,
Fig. r:
Fig. r.
M'Q'), tangente en (M, M) à la méridienne principale VN. Cette iangente perce le plan horizontal au point (Q, Q'), qui, ramené dans le plan OY, vient se placer en R, sur l'arc de cercle QR, décrit du point I comme centre avec le rayon IQ. Le point R est donc celui où la tangente en (P, P") à la méridienne perce le plan horizontal : cette tangente est dans le plan demandé ; donc le point R appartient à la trace horizontale de ce plan.
Donc si nous menons par le point R la droite RT, parallèle à PS, puis par le point T, où RT coupe la ligne de terre, la droite TS”, passant par. le point S’, le GER (RT, TS’) sera le plan tangent cherché.
204. Né ferons faire en passant une remarque importante : c’est que le plan tangent en un point (P, P') d’une surface quelconque de révoluton, est toujours perpendiculaire au ne méridien [IP correspondant à ce point. En effet, le plan tangent contient la droite (PS, PU”), tangente en (P, P’) au cercle (UXMP, U'M') de la surface; or, cette droite est perpendiculaire au plan IP; donc, etc. Cette propriété s’énonce ordinairement ainsi : Le plar tangent est perpendiculaire au plan méridien correspondant.
Elle conduit aisément à la détermination du plan tangent, car ayant le point de contact et connaissant la tangente en ce point à la génératrice ou à la méridienne, le plan mené par cette tangente, perpendiculairement au plan méridien, sera le plan tangent cherché.
On voit aussi que l’axe de révolution étant supposé vertical, la trace horizontale du plan tangent sera toujours perpendiculaire à celle du Pis méridien.
Enfin, il est évident que si.par une tangente quelconque à une surface de révolution, on mène un plan perpendiculaire au plan méridien passant par le point de contact de cette tangente, le plan mené sera tangent à la surface.
205. Exécution de l’épure. Le plan demandé (RT, TS’) étant situé audessous et en arrière de la surface donnée , il en résulte que les contours des projections de cette surface sont vus. Quant aux traces RT, TS’, elles
* sont vues aussi, sauf les parties comprises dans l’intérieur des lignes VONY,
