V'LN'L
206. PROBLÈME 4. Étant donnés l'axe (1, V1') d'une surface de révolution , et une ligne quelconque (OMN, O'M'N’) qui en soit la génératrice, mener un plan tangent à cette surface par un de ses points dont la projec-
tion horizontale P soit connue.
Déterminons d’abord la seconde projection de ce point. Pour de nous /
CH. I. DES PL. TANG. DONT LE POINT DE CONT. EST DONNÉ. 10q
décrirons du point Ï comme centre, avec le rayon IP, un cercle PM; il rencontrera la courbe OMN en des points M et m; et il est clair que dans la génération de la surface, les points (M, M), (m, m'), de (OMN, O'M'N'), décriront des cercles horizontaux (MmP, M'P"), (MmP, m1"), qui auront des points (P, P’), (P, P”), situés dans la verticale P : d’où il suit que le point de contact donné sera l’un de ces points.
Contentons-nous d'opérer sur le premier (P, P”).
297. Ce point, ramené sur la génératrice, étant en (M, M'), nous menerons, par les points M et M”, les tangentes MT, M'T’, aux lignes OMN, O'M'N’, et nous aurons la tangente (MT, M'T”) à la courbe (OMN, O'M'N'). Cette tangente percera le plan horizontal en un point (T, T'); et si nous imaginons qu’elle se meuve en même temps que la courbe (OMN, O'M'N') autour de l’axe (L, l'1”), on verra que dafis ce mouvement le point (T, T’) décrit un cercle TKR#k, et qu'il est toujours en arrière du méridien IK, correspondant au point (M, M”), d'une portion TK de la circonférence TKRzk. Donc, lorsque le point (M, M sera en (P, P’), le point T sera au point #, éloigné du méridien I4, mené par le point P, d’une grandeur circulaire 44 mesurée sur le cercle TKR££ et égale à TK.
Donc la tangente analogue à (MT, M'T’), menée par le point (P, P”) à la position de la génératrice qui passe par ce point, perce le plan horizontal en £. Mais cette tangente est située dans le plan tangent demandé; donc la trace horizontale de ce plan passe par le point £. Et comme le plan tangent
est perpendiculaire au plan méridien (294), cette trace sera la droite tr
menée par le point £ perpendiculairement à I4.
Maintenant, menons par le point (P, P'\une horizontale (Ps, P's'), paralièle à tr : cette horizontale sera dans le plan tangent; or elle percera le plan vertical en s’; donc la droite rs’ sera la trace verticale du plan cherché. Donc enfin (ér, rs) sera ce plan.
298. Dans le problème précédent, nous avons déduit le plan tangent de la tangente à la méridienne : celui-ci nous donne le moyen de déduire cette tangente du plan tangent, car elle est l'intersection de ce plan et du plan méridien (152). Si donc on veut avoir la tangente au point (P, P’) de la méridienne IP, on menera le plan (ér, rs'), tangent en (P, P’) à la surface donnée; ce plan coupera le plan méridien EP suivant la droite qui passe par les points w et (P, P'), et cette droite sera la tangente cherchée. Il est clair que si l’on amène la méridienne IP dans le plan Iz, parallèle au plan vertical, le point w venant se placer en (7, z'), etle point (P, P’) en (n, n°), la
Fig. 2.
PI, r9.
110 LIVRE IIT. PLANS 'TANGENS.
tangente à la méridienne principale (Iz, xn!y), au point (n, n!) correspondant à (P, P”), sera la droite (I, z'n°).
209. Exécution de l'épure. Pour ne pas nous jeter dans des difficultés étrangères à l'obj et principal, difficultés qui seront traitées avec détail dans les problèmes suivans, nous nous sommes abstenus de représenter la surface donnée, et nous avons supposé que le plan demandé (tr, rs) n’existait pas dans l’espace. Il suit de là que les traces de ce plan doivent être indiquées en lignes mixtes (56), et que la figure ne doit pas présenter d’autres lignes pleines que les projections LI", OMN, O'M'N’, de l’axe et de la
génératrice.
300. ProsLEëws 5. Mener un plan tangent à la surface de révolution dont la génératrice est le cercle vertical (AC, A'B'C'B"), ec dont l’axe de révolution est la verticale (I, LT") située dans le plan AC.
Le point de contact (i, &’) ayant été choisi arbitrairement sur un cercle quelconque (DEFK,, D'F') de la surface donnée, le plan tangent demandé s’obtiendra absolument comme dans le problème du n° 292. Ainsi, on amenera le point (z, :’) en (D, D”) dans le méridien principal; on menera la tangente D'G'; on construira le point G où elle perce le plan horizontal; on ramenera ce point en H dans le méridien IH du point de contact, et la trace horizontale du plan cherché sera la droite HK, menée par le point H perpendiculairement à IH. Pour avoir sa trace verticale, en menera par le point (i, 7’) la droite (ir, ir) parallèle à HK,; elle percera le plan vertical en (r,r'); on menera la droite Kr', et le plan (HK, K7') sera le plan tangent demandé.
3o1. Notre objet, en construisant ce plan, était de donner un exemple des plans tangens aux surfaces non convexes. La surface donnée, qui est ce qu’on nomme ume surface annullaire , ou en forme d’anneau, est évidemment non convexe dans toute la ‘partie interne engendrée par le demi-cercle (AB, B'A’B")); et il est manifeste que le plan obtenu, ainsi que tous les plans tangens aux points de cette partie, est dans le cas du plan iangent G'D', qui est tout-à-la-fois plan tangent et plan coupant. Ce qui va suivre, où Jon trouvera des détails utiles sur le dessin d’une épure complète, achevera de donner une idée bien claire des plans tangens aux surfaces non convexes.
302. Exécution de l’épure. Nous supposerons que le plan tangent (HK, K7’) soit terminé, d’une part, au plan horizontal Z'Y", et, d'autre part, au plan vertical 'WZ. Il s'ensuit qu'il sera projeté horizontalement entre les droites HK, YZ,; et verticalement entre KY' et Z'W". ;
Cela posé, on remarquera que la droite (YZ, Y’Z) étant au-dessus de la surface donnée, tandis que la droite (HK , KG) est au-dessous, cette surface passe, entre ces deux droites, du dessus au-dessous du plan tangent. De même en projection verticale, la droite (WZ, W'Z') étant en avant de la même surface, et la droite KY’ en arrière , cette surface, entre ces deux droites, se trouve d’un côté en avant, et de Pautre côté en arrière, du plan (HK , Kyr’). Pour connaître les parties vues et cachées des grandeurs à représenter,
savoir le plan demandé et la surface annullaire donnée, il faut donc déterminer leur intersection commune.
303. Ramenons le plan méridien IH en 1G ; et supposons qu’il emmène avec lui le plan tangent (HK, K) : ce dernier plan viendra prendre la position GD”", et l’intersection cherchée se trouvera projetée en yz. Il ne s'agira donc plus que de ramener cette interséction dans la position correspondante au plan méridien IH, ce qui sera très facile. Considérons les points qui sont situés dans le plan LL’: l'intersection étant en yz, ces points sont sur la droite (mm, M'), intersection des plans G'D’, LL’. Or, lorsque le plan IG se meut pour venir en IH, le point M vient en n, et la droite (r#m', M"), sans sortir du plan LE, vient prendre la position (on, LL’). Mais les points dont nous nous occupons sont situés sur les cercles (lol'#, LL"), (cec'u, NN’); ramenés dans leur position primitive ils sont sur la droite (ons, LE") : donc ce sont les points (0,0), (e,e),(u, uw) et (», »’). |
De nouvelles constructions, faites sur d’autres plans, tels que LL”, donneront de nouveaux points, et en joignant par une courbe ceux qui se feront suite sur une même projection , on obtiendra l'intersection cherchée (4RoPeiT:; Qu, Ro P'e T's Qu).
Au moyen de cette intersection, il sera aisé d’avoir les parties vues et cachées de lépure.
304. Examinons d’abord la projection horizontale. Il est clair que intersection (iRoP..., iR'o'P'...) sera vue dans toutes ses parties supérieures au plan 4'C", et cachée dans toutes les autres; d'où l’on voit que les arcs SPs, VQU, correspondans aux courbes (SPs, S'P's), (VQU, V'Q'U”), situées sur le dessus de la surface, devront être pleins,
et que les projections horizontales SRIU, VTis, des courbes (SRiU , S'R'T'U"), (VTis, V'T'a's") , situées sur le dessous de la surface, devront être ponctuées.
Maintenant, on remarquera qu'un cercle quelconque (0/1, LL”), qui serait vu sur la surface annullaire, si elle était isolée dans Pespace, ne sera pas caché à droite de la ligne ZY ; qu’il passera sous le plan tangent à partir de cette ligne, et qu’il sortira de dessous le même plan aux points (0, 0°), (#,#'), où il rencontrera l’intersection (:RoP..., “R'o'P’,..), en sorte qu'il ne devra avoir de ponctués que les seuls ares og et va. I en sera de même dé tout autre cercle (cec’u, NN’).
Quant au plan tangent, sa trace horizontale ne devra être ponctuée que dans la traverse du cercle SCV.
305. En projection verticale, la seule portion de surface vue sera celle qu'engendre Pare (BC, B'C'B") de la génératrice, lorsqu'il se meut en avant du plan AC. La courbe (GRoP..., Ro P'...) aura donc l'arc R'?w'Q'#"T're P', de sa projection verticale, entièrement ponctué, et son arc P'o’S'R" sera plein, parce qu’il correspond à la portion de cétte courbe située sur la partie externe et antérieure de l'anneau.
Un demiscercle (o/', LL’), situé sur cette même partie de surface, sera vu à gauche de la ligne W'Z'; il passera sous le plan tangent à partir de cette ligne; il en sortira au point 0’, pour être vu jusqu’en L’, de sorte qu’il ne devra être ponctué que de d en 0’. Les cercles (RPBT, R'B'), (RPBT, R'B'), étant, le premier, le plus élevé de la surface, et le second, le moins élevé, les droites R'B”’, R’B”, appartiendront au contour de la projection verticale de cette surface; et l'intervalle compris entre ces droites sera
PI. 19. fermé par les deux demi-cercles R’A'R", B'C'B". Depuis la courbe P'o’S'R' jusqu’à la ligne W'Z', ces contours se trouveront cachés par le plan (HK, Kr'). Nous ferons observer que si la partie interne de la surface annullaire existait seule dans l’espace, les deux droites R’B”, R’B", et les deux demi-cercles R’2R", B'A'B", for- . meraient le contour de sa projection verticale. Ces deux demi-cercles appartiennent en conséquence au contour, considéré d’une manière générale (387) : comme ils ne sont pas
vus, ils sont indiqués par des points.
Enfin, il est évident que la trace verticale Kr° du plan tangent sera cachée dans tout
l’espace compris entre les lignes R'B", R"B”. )
PIX 20: 306. PROBLÈME 6. Mener, par un point donné d'un hyperboloide de PS" évolution à une nappe , un plan tangent à cette surface.
Soit (I, IT”) l'axe de révolution, (GH, G'H') une position quelconque de la génératrice , et prenons arbitrairement pour point de contact un point (s,s') de (GH, GH').
Le plan tangent en ce point passera par l'élément (GH, G'H'), et sera perpendiculaire au méridien IS; d’où l’on voit qu'il aura pour trace horizontale la droite GK, menée par le point G perpendiculairement à IS. Quant à sa trace verticale , il serait facile de la construire; mais comme elle est hors de l’épure nous ne nous en occuperons pas.
307. Supposons qu'au lieu du point (s, s’) on ait choisi, sur (GH, GK), le point (£, 4’) pour point de contact : le plan tangent aurait été perpendiculaire au plan méridien IT, et il aurait eu pour trace horizontale la droite GL perpendiculaire à ÎT et passant par le point G. Il suit de-là que si l’on fait mouvoir le point de contact sur un élément quelconque {GH, G'H'), le plan méridien du point mobile changeant à chaque instant , il y aura, pour chaque position de ce point, un plan tangent particulier.
308. Ce résultat est fort simple et fort exact; cependant 1l paraît d'ordinaire paradoxal aux commencçans. Ils s'imaginent que parce qu’une surface gauche a pour génératrice une droite, comme les surfaces coniques et cylindriques, le plan tangent en un point d'un élément d’une surface gauche, doit jouir de la propriété de toucher cette surface tout le long de cet élément. Mais cette propriété générale appartient exclusivement aux surfaces développables, et c'est une erreur que de l'appliquer aux surfaces gauches.
Cette erreur provient de ce qu’on ne se rend pas toujours bien compte de la définition de ces dernières surfaces (214) : effectivement il est évi-
dent que puisque deux positions consécutives de leur génératrice ne sont pas en général dans un même plan , les facettes qui joignent ces positions sont des élémens plans dont l’inclinaison varie d’une facette à sa voisine, en sorte que les plans tangens, suivant les points d’une même position de la génératrice, ont cette position pour intersection commune, mais different d’ailleurs les uns des autres.
309. Avant de terminer cette digression, menons par le point s la droite Ksr, tangente en n au cercle (nac, n'a'c'), qui correspond au point (a, a!) de l'élément (GH, GH'), et qui forme la gorge de l’hyperboloïde ( 238 ); rapportons les points K et des cercles décrits par les points (G, G’}), (a , a), de (GH, GH'), en K’et 7’ sur la projection verticale, et menons K’s'7’. On sait que la droite (Ksz, K's'n) sera un élément de la seconde génération de la surface (239) : or, cet élément et l'élément (GH, G'H') seront symétriques entre eux par rapport au plan méridien IS; d’où il suit que le plan tangent en (s,s’) les contiendra tous deux. Ces élémens sont effectivement deux sections de l’hyperboloïde ; elles sont elles-mêmes leurs tangentes : donc elles doivent être toutes deux contenues dans le plan tangent ( 147).
310. Ce qui précède confirme, pour le cas des hyperboloïdes de révolution à une nappe,
le théorème du n° 243; car si l’on fait mouvoir un plan autour d’un élément quelconque
(GH, G'H’), sa trace horizontale GK étant toujours perpendiculaire à un certain plan
méridien IsS, il coupera toujours le cercle (GKF, G'F') en un second point (K, K’}, au-
quel correspondra un élément (Ks, K’s°) de la seconde génération contenu dans le plan mobile , et, conséquemment, ce plan touchera toujours l’hyperboloïde.
En suivant ce même plan dans son mouvement, on verra que le point de contact (s, 5°) parcourt l'élément (GH, G'H”) tout entier, depuis Pinfini au-dessous du plan horizontal jusqu'a l'infini au-dessus.
311. Enfin, on remarqüera que tout plan tangent aux surfaces qui nous occupent passant par deux élémers (Gs,G's"), (Ks, K's”),ce plan a nécessairement pour trace horizontale une corde GK du cercle GKFM ; d’où il suit que le plan tangent coupe l’hyperboloïde, et que cette surface, comme on le savait ss (247), est dans toutes ses parties une surface non convexe. À
312. Exécution de l'épure. Nous avons supposé que le plan demandé était terminé par le plan horizontal B'C’, et par les plans verticaux AB, CD, parallèles à IS ; d'après cela il a pour projections, d’une part, le rectangle ABCD , d'autre part, le parallélogramme A'B'CD’.
La surface donnée est terminée aussi au plan horizontal B'C’, et pour
Fig. 1.
Fig. 1.
114 à LIVRE: HI. PLANS TANGENS.
qu’elle soit représentée complètement, nous avons construit ( 200 } les deux branches (evx, ex"), (Fco, F'c'o'), de la méridienne principale.
A la simple inspection, on voit que le plan tangent (ABCD, BCD ) passe au-dessous et au-delà de toute la portion de surface située entre les élémens (GH, GH'), (KP, KP); aimsi cette portion de surface ‘doit être vue, sauf les parties où elle se cache elle-même.
313. En projection horizontale, la zône comprise entre les cereles (xQHoR, x'0'), (vach, v'c' ), laquelle se projette sur le plan vertical en æx/v'c'o", cache celle qui est immédiatement au-dessous , en sorte que les parties (pQgs, p'q's"), (snas, s'n'a"), des triangles ( GsK , G's'K’}, (sPH, s PH"), se trouvent cachées : les élémens (GH, G'H'}, (KP, K!P'), quoique situés dans le plan tangent, sont en conséquence ponctués dep en a et de q en n. Au-dehors du rectangle ABCD , le plan tangent ne cache plus aucune ‘partie de l’hyperboloïde ; il est donc vu, sauf la partie cachée par la zône supérieure au cercle (vach, FE de la gorge.
D’après cela, une section horizontale (yégd, x'g"), si elle est au-dessus de ce cercle, ne devra être ponctuée que suivant les petits arcs qui traversent le triangle sPH. Et si cette section est au-dessous du cercle (vach, wc), comme frs (rkmb, r'n), elle sera vue dans l'angle GsK et audehors du rectangle ABCD.
Pour le plan tangent, la partie GK de sa trace. étant dans lintériean de l'hyperboloïde , elle doit être ponctuée. |
314. La projection verticale présentera moins de difficulté. P’abord toutes les parties de l’hyperboloïde situées au-dehors du par allélogramme A'B'CD', ne seront pas cachées par le plan tangent, et parmi celles qui se trouvent projetées dans ce parallélogramme, les portions comprises entre les élémens (GH, G'H'), (KP, K'P’) devront être considérées. abstraction faite de ce plan, puisqu'elles sont en avant de sa surface (158). . Sil s'agit donc du cercle rm’, il sera vu dans l'angle G's'K’; et sil s'agit du cercle (y1gd, y'g'), il ne sera caché par le plan tangent (en projection verticale ) que suivant l'arc zdgw ; donc il sera vu de y’ en #”.
315. ProBLÈME 7. Soient (AB, AB‘), (CD, C'D’) Les deux droites directrices d'un paraboloïde Experboliques, FRE que le plan vertical serve de plan directeur, et le point (o, 0’) ayant été prie arbitrairement
CH. I. DES PL. TANG, DONT LE POLNT DE CONT. EST DONNÉ, 11b
sur un élément quelconque (MN, M'N') (*), proposons-nous de mener un plan tangent par ce point.
On remarquera que la paraboloïde hyperbolique étant susceptible d'être engendrée de deux manières par une droite (224), la surface donnée à un second élément indéfini qui passe par le point (0; 0’), et que cet élément et l'élément (MN, M'N'}), étant eux-mêmes out tangentes (278), ils sont lun et l'autre compris dans le plan tangent : d'où il suit que le plan demandé est celui que ces élémens déterminent.
Construisons donc l'élément de la seconde génération cotréspondant au point (0, 0’). Pour cela nous menerons d’abord un plan PQ parallèle au plan directeur : il coupera les directrices (AB, AB’), (CD, C'D') en deux points (P, P’), (Q, Q'), et la droite (PQ, P'Q') sera un second élément de la première génération. Prenons lés élémens (MN, MN’), (PQ, PQ), pour diriger la seconde génératrice. Nous savons (225) que le plan directeur de cette génération sera parallèle aux deux premières directrices. Si donc nous menons par le point (o , 0°) les droites (ob, ob"), (oc, a'c'), respectivement parallèles à (AB, A'B°), (CD, CD’), ces droites déter- : mireront un plan parallèle au plan directeur de la seconde génération ; * doxic il contiendra l'élément cherché. Mais le plan PQ contient un point de cet élément, puisque ce mème élément s'appuie sur (PQ, P'Q'}; donc ce point est sur l'intersection du plan PQ et du plan que déterminent les droites ( ob, 0‘b'), (oc, o’c'). De plus, il est évidemment le point où se rencontrent cette intersection et l’élément ( PQ, PQ).
Or, les droites (ob, ob"), (oc, oc’) percent le plan horizontal en b et c; donc be est la trace du plan, parallèle aux deux premières directrices, mené par le point (0, 0’). Menons par ce point la droite (of, 0'£'); parallèle à bc; elle percera le plan PQ en (£, #’) : bc le perce en (r, r°); donc la droite (rt, r'£) sera l'intersection du plan PQ et du plan mené par (0, 0’) parallèlement aux deux premières directrices. Cette intersection coupe en (v, »') Vélément (PQ, PQ); donc le point (», »’) est celui où l'élément cherché touche la droite (PQ, P'Q'): donc'enfin cet élément est la droite (ov ,0‘4'), menée par les points (0, 0°) et (v, w').
Si par les droites (MN, M'N’), (6v, 0/v') on mène un plan, il sera donc
6) L'élément (MN, M'N') a été préalablement constrüit cotimie on vx construiré tout à l'heure l’élément (PQ, PQ.
