LE PS

PI, 20% Fig. à.

Fig.

le plan demandé. Pour ne pas compliquer la figure, nous nous abstien-

drons de faire les constructions nécessaires pour obtenir ses traces.

316. Exécution de l'épure. On a représenté la portion de surface comprise dans le trapèze ABDC. Il est clair qu’elle est entièrement vue en projection horizontale. Quant à la projection verticale, il est évident que ‘élément (AC, A'C) étant en decà de tous les autres, il est vu dans toute son étendue; et que tout autre élément P'Q' doit être ponctué depuis le point où il rencontre A'C/, jusqu’à celui où il touche le contour mxn de la

projection du paraboloïde.

Le problème suivant, où la même question est traitée d’une manière plus générale, contient des détails que nous avons cru devoir épargner aux commençans.

317. Proszimr 8. Soient (BH, bh), (B'H', d'X") Les deux droites directrices d’un paraboloïde hyperboloïde (*), et GG”, gg’, les traces de son plan directeur 5 imaginons qu'on ait coupé les directrices par un.plan parallèle au plan (GG, gg');.que par Les points d’intersection (A, a), (C, c), on ait mené l’élément (AC, ac) du paraboloïde , et soit (K, #) un point de cet élément : on demande le plan tangent en ce point.

D’après ce qu’on vient de voir dans le problème précédent, le plan demandé sera celui des deux élémens qui appartiennent aux deux générations de la surface donnée, et qui se croisent au point (K, &). AL

316. Cherchons donc l'élément de la seconde génération qui passe par ce point. Pour cela , il faudra d’abord avoir deux élémens de la première génération que l’on puisse employer comme directrices de la seconde; mais nous avons déjà lPélément donné (AC, ac); ainsi il ne nous en restera qu’un à construire. Déterminons celui qui passe par le point (S, s) de la directrice donnée (BH, 2). Cet élément sera dans le plan mené par le point (S, s), parallèlement au plan directeur; il s'appuiera sur la seconde directrice (B'H', 0%"); donc il passera par le point où cette seconde directrice est coupée par le plan mené par le point (S, s) parallèlement au plan directeur. D’après cela, on va voir qu'il sera facile de le trouver. En effet, on coupera le plan directeur (GG', gg’) par deux plans verticaux quelconques DE, DF; on construira les droites d’intersection (DE, de), (DF, df) ; on menera par le point (S,s) des parallèles (SU, su) , (ST, st) à ces droites, et ces parallèles détermineront un plan parallèle au plan directeur. La première (SU, su) percera Je plan projetant B'H' de la seconde directrice au point (U, x); la deuxième (ST, sé) percera ce même plan en (T, #) : on menera par les points z et £ la droite ué; elle rencontrera la projection verticale 4'b', de la deuxième directrice, au point #; on mettra ce point en projection horizontale en V, et la droite (SV, ss) sera l’élément cherché : car il est clair que la ligne (TU, #x) sera l'intersection du plan B'H' et du plan

(*) Les lettres B, b, B', b' et H, À, H', k', sont placées sur l’épure, de manière que les premières répondent aux extrémités inférieures des directrices , et les dernières, aux extrémités supérieures : ce sont

les initiales des mots basse et haute.

parallèle au plan directeur; d’où lon voit que le point (V, ») sera dans ce plan parallèle, et comme il est sur la seconde directrice , il s'ensuit qu’il appartient à l’élément cherché. Donc, etc.

Connaissant maintenant deux élémens (AC, ac), (SV, sv) de la première génération, il faudra les prendre pour directrices de la seconde, et chercher l’élément de cette seconde génération qui passe par le point (K, #).

Nous nous Aeppelerse d’abord que le plan directeur de la seconde génération est parallèle aux deux premières directrices (225), et nous en conclurons que si l’on mène parle point (K , #) les droites (KL, £2), (KM, £m), respectivement parallèles aux directrices données (BH, 22), (B'H', b'X"), le plan de ces droites sera parallèle au plan directeur de la seconde génération; donc il contiendra l'élément à construire. Or, les droites (KL, #7), (KM, km) percent le plan projetant SV, de la directrice (SV, sr), suivant les points (L, /), (M, m), qui appartiennent à l'intersection (ML, m1!) du plan projetant SV et du plan parallèle au plan directeur; donc la droite (ML, ml) contient le point où l'élément à construire s’appuie sur (SV, ss); donc ce point a pour projection verticale Le point 7; donc, si on détermine sa projection horizontale N et que lon mène (KN, #n), cette droite sera l'élément de la seconde génération correspon- * dant au point donné (K, &).

319. L’élément donné de la première génération perce en P le plan horizontal; l’élé-

ment construit (KN, £n) perce le plan vertical en X et le plan horizontal en Q : donc les

droites PQR, XRY, sont les traces du plan tangent demandé.

320. Exécution de l’épure. On s’est proposé de représenter la surface donnée, et Pon a pour cela déterminé un assez grand nombre de ses élémens. Ils sont tous tangens en projection horizontale à une courbe «6, qu’ils déterminent et qui est le contour de la projection de la surface. En projection verticale, ils touchent et déterminent une autre courbe dkê , qui est le contour de la projection verticale.

Pour que la figure ne présente pas trop de confusion, on a supposé que le paräboloïde était terminé, premièrement, au plan horizontal de projection; secondement, au plan horizontal ZZ”; troisièmement enfin , au plan vertical ZZ”", mené perpendiculairement à la ligne de terre WW”. Chaque élément perce le plan horizontal en un point, et la suite des points d’intersection de tous les élémens forme une courbe à, qui est la trace horizontale de la surface donnée, et que l’on a représentée soigneusement, ainsi que l’intersection go de la même surface et du plan ZZ’. Il est évident que cette dernière ligne gŸ« s'obtient de la même manière que la trace 8x, et qu’il est aisé de les décrire lune et Pautre, dès qu'on connait un nombre suffisant d’élémens du paraboloïde. Ceux de ces élémens qu’on a représentés, et qui ne servent pas à la solution du problème proposé, sont disposés d’une manière régulière sur les deux projections de la surface donnée. Ce qui a été dit précédemment (318) suffit pour qu’on puisse les construire.

321. Pour avoir une épure qui serve en même temps à la construction du plan tangent demandé et à la représentation facile et claire d’un paraboloïde hyperbolique, nous avons fait un choix particulier de données, et nous avons employé un mode de génération dans lequel on peut sè passer de plan directeur.

Voici ce mode: soient M et N deux droites quelconques, et imaginons qu’on fasse mou-

PI. ar.

Fig. 2.

voir une troisieme droite D sur M et N, de manière que la droite mobile avance sur ia droite M d’une distance #7, lorsqu'elle avance sur la droite N d’une distance » : il est clair que toutes les positions de la droite D diviseront les directrices M et N en parties proportionnelles; donc la surface décrite sera de l'espèce des paraboloïdes hyperboliques (223).

322. Ceci entendu, soient MV et MP deux plans verticaux perpendiculaires entre eux; et soit AA” la projection horizontale d’une droite perpendiculaire au plan MN, et conséquemment parallèle au plan MP. Prenons sur cette droite, que nous nommerons (AA', A”, aa”), deux points quelconques (A, A”, a), (A, A”, a’); par ces points menons deux droites (BH, b4, af), (BH, d'A", ta’) , dont les projections horizontales BH, BH" fassent.des angles égaux avec les lignes de terre MN, MP, et dont les projections verticales af", ta’, soient parallèles : il s’ensuivra que les projections bA, L'h", des mêmes droites, seront également inclinées sur MN. Enfin, menons perpendiculairement à MN une suite indéfinie de plans équidistans A’A", OC’, KE’, F/', DE’, TT", etc., dont l’un passe par le point A" et l’autre par le point T ; il est évident que les droites (BH, 04, af), (BH, d'A, ta’), seront divisées par ces plans en une infinité de parties égales (AC, A"C, ac), (CE,C'E’, ce), (EH, ET',ei), etc., (TD, T'D’, 4d), (DF, D'F", df), (EK, F'K', f#), etc. Cela posé, joignons les points (A, A", a), (T, T", £), par la droite (AT, A°T", at); puis le point (C, C', c) vois de (A, A", a), avec le point (D , D’, d) voisin de (T, T’£), par la ‘droite (CD, C'D', cd); puis les points correspondans (E,E’, e) et (F,E", f), (1, l', i) et (K, K’, #), ete: : les droites obtenues (AT, A"T", as), (CD, CD’, cd), (EF, EE", ef), (K, V'K’, :#), etc., seront les élémens d’un paraboloïde hyperbolique. Et comme elles se-projettent sur MP suivant des droites af, cd, ef, etc. , qui divisent les parallèles at, ta’, en parties égales; il s’ensuit que ces élémens seront parallèles. aw plan (GG”, GR, gg’), dont les traces GG, gg, sont perpendiculaires à MP, et la trace G'R parallèle à at. | LE)

323. On voit d’après cela que les élémens de la première génération s’obtiennent avec une extrême facilité. On va montrer qu'ilen est de même de ceux de la seconde,

D’abord le plan directeur de la seconde génération devant être parallèle aux deux premières directrices (BH, bz, at), (B'H', d'A’, ta’), il aura pour trace verticale sur le plan MP, une droite G'Q parallèle à af et à a'£ ; et pour trace horizontale une droite GG‘ perpendiculaire à MP. D'un autre côté, deux élémens quelconques de la première génération peuvent servir de directrices à la seconde:(225); donc on peut prendre pour ces directrices les élémens (AT, A'T", at) et (AT, A'T", at’). Or, il suit de là que la seconde génération est symétrique de la première; car les grandeurs qui les déterminent l’une et Pautre, et dont voici le tableau:

à eme D éme Lames ire Done de md rare 2 cree ion a cogne mr sg arm

1°° GÉNÉRATION. © 2% GÉNÉRATION. b fl Plans directeurs. ......... (GRR usine re (GG GO) | . À (PERS Ab) 1e te ds (AE, AL, ae) Directrices. ..... CAN ETS

BE Had des crainte AT AT 6

DRE ets EDR

sont symétriques par rapport au plau vertical GG”; donc les élémens de l’une de ces géné-

rations s’obtiennent par les mêmes constructions que ceux de l’autre. Ainsi, en menant un plan ge, parallèle au plan G’Q, ce plan coupera les directrices (AT, at), (A'T, a't') en deux points (1;,4),(K,e), et la droite (IK,, FT", ge) sera un élément de la seconde génération.

324. Nous ferons remarquer en passant que si la droite ge est menéé par le point *, où la projection ef d’un élément de la première génération rencontre la ligne G#’, l’élément obténu (EK ,T'E’, ge), et Pélément (EF, ET”, ef), seront symétriques par rapport au plan GG". De même deux éléméns (IK, L'K’, c£) , (IK, F'E”, @e) des deux générations seront symétriques par rapport au plan AS. D'où Pon voit que les élémens des deux générations sont placés deux à deux symétriquement par rapport aux plans GG, AS, et que chacun de ces plans divise par conséquent le paraboloïde en deux parties symétriques (*). À

Or, les données dont on vient d’exposer la construction, sont celles qui ont servi pour la figüre r. Ellés ont, comme on voit, layantage de représenter un paraboloïde hyper-

bolique placé régulièrement par rapport aux deux plans de projéction, ainsi que celui de se prêter; avec beaucoup de facilité, à la détermination des élémens des deux générations.

Nous.emploierons ( Science du dessin, lip. I, ch. 1‘) de semblables données dans une épure des ombres.

325. Pour distinguer facilement les lignes vues des lignes cachées de Pépure, nous concévrons que la surface donnée soit divisée en parties supérieure, inférieure, antérieure , et postérieure. La partie supérieure sera comprise entre les courbes de Ja surface dont les projections horizontales sont «67 et gd a. La partie inférieure séra comprise entré «67 et 6m: Enfin, les parties antérieure et postérieure se trouveront séparées par la ligne qui se projette. verticalement en d:£. Cela posé, toutes les lignes de là partie supérieure du paraboloïde seront vues en projection horizontale; toutes celles de la partie inférieure étant. au-dessous dela partie supérieure, ne seront vues en projection horizontale qu’en dehors de l’espace enfermé par les lignes «67, gd. Enfin, en projection verticale’, toutes les lignes de la partie antérieure seront vues, et celles de la partie postérieure seront cachées. Il sera facile de faire à chaque ligne application de ces principes.

Le plan directeur donné (GG',8g") coupe le paraboloïde suivant l'élément (OH, oi), à partir duquel cette surface cesse d’être vue en projection horizontale; parce q'au-delà de cet élément elle se trouve au-dessous du plan directeur. C'est par cette raison que la trace horizontale far de la surface donnée n’est pleine que jusqu’en I.

La trace horizontale GG’ du plan directeur est ponctuée depuis le: point T jusqu’à la droite 22; parce qu’elle se trouve, dans cette partie , au-dessous du paraboloïde. La trace

(*) Les lecteurs qui ont étndié l’Analyse appliquée à la Géométrie des trois dimensions reconnätront que les plans GG, AS, sont les plans diimétraux principaux dé la surface donnée; que leur intersection (GG, AS, 2) est l'axe de cette surface. e& que: les particularités que présente la fig. 2 tieunent uniquement à ce que le plan horizontal est parallèle à l’un des plans diamétraux principaux; le plan vertical MN parallèle, à Pautre plan diamétral principal; le plan MP perpendiculaire à l’axe (GG, A'S, =); et enfin, à ce que les élémens des deux générations (BH, bh, at) et (BH, d'h', at), (AT, AT”, at) et (AT, AT, at), qui

ont été choisis pour directrices, sont tels que leurs projections sur MP forment un parallélograrime ata’ if dont le centre est en z.

PI. 2r.

Fig. 2.

Fig. 1.

Fig. 2.

PL, ar

Fig, 7.

120 LIVRE JTII. PLANS TANGENS.

verticale go" ,du même plan, n’est évidemment vue qu’au-dehors de la projection de la sur-

face donnée.

Quant au plan demandé (PQR , RY), on a supposé qu’il n'existait pas dans l’espace, et on a indiqué ses traces en lignes mixtes (55). Tout autre hypothèse conduirait à des par-

ties vues et cachées que nous avons, voulu éviter. (l

326. PROBLÈME 9. On donne les trois droites (AB, A'B'), (CD, CD’), (EF, EF”), directrices d'un hyperboloide à une nappe, et lon demande , 1°. l'élément (mn, m'n!) qui passe par un point (m, m') de l'une des directrices données ; 2°. le plan (QR, ST) tangent à l'hyperboloïde en un point (P, P') de l'élément (mn, m'n').

Pour avoir l'élément demandé, nous appliquerons le procédé exposé n° 227; et si nous remarquons, d’une part, que la surface conique auxiliaire qui a pour sommet le point (m, m'), et pour base la deuxième directrice (CD, CD”), est une surface plane ; d'autre part, que la surface projetante de la troisième directrice n’est autre chose qu’un plan vertical AB, les constructions à faire se réduiront aux suivantes. On prendra, sur la droite (CD, CD”), deux points quelconques (a, a’), (c, c'); on menera par ces points, ét par le point (m, m"), les droites (ma, m'a’), (mc, m'c'); elles perceront le plan vertical AB en deux points (e, e’), (ë, à’), et ces points suffiront pour déterminer l'intersection (ei, ei’) du plan projetant AB avec le plan mené par la directrice (CD , CD’) et par le point (m, m'). La projection verticale e', de cette intersection, coupera la projection verticale A'B', de la directrice (AB, A'B'), en un point »’, dont on déduira le point #, et ensuite l’élément cherché (mn, m'n'). |

327. Soit donc (P, P’) le point de cet élément par lequel il s’agit de mener un plan tangent à l’hyperboloïde. La surface donnée étant susceptible d’être engendrée de deux manières par le mouvement d’une ligne droite (228), il passera par le point (P; P’) deux élémens de cette surface compris dans le plan tangent demandé (279). Or, (mn, m'n”) est l’un de ces élémens; donc, si nous construisons l'élément de la seconde génération correspondant au point (P, P'), nous aurons deux droites qui détermineront le plan tangent cherche. |

Mais pour construire un élément de la seconde génération, il faut d’abord connaître trois élémens de la première; prenons donc sur la directrice (EF, EF’), deux points quelconques (p, p'), (r, r'), et menons par ces points, au moyen du procédé employé plus haut, les élémens (pq; pq); (rs, r's'), qui avec l'élément (mn, m'n') pourront servir de directrices à Ja

seconde génération. En menant par le point (P, P') une droite (PL, PL"), qui les touche toutes les trois, cette droïte sera l'élément de la seconde génération qu'il s'agissait dobténte , et le plan cherché sera celui des deux lignes (mn, m'n'), (PL, PL").

328. Si l’on veut avoir ses traces, on remarquera que l'élément (mn, n'n') perce le plan horizontal en Q et le plan vertical en T; on prendra sur (PL, P'L') un point quelconque (N, N’); on menera par ce point la droite auxiliaire (NR, N'R), parallele à (mn, m'n'); elle sera dans le plan demandé , ainsi les traces R et S de (NR, N’R') appartiendront à celles de ce plan : donc enfin, (QR, ST) sera le plan cherché.

Si l'élément (PL, P'L") ne percait pas les plans de projection en dehors du cadre, on n’aurait pas recours à la droite auxiliaire (NR, N'R’), parce qu'on obtiendrait immédiatement les traces de (PL, P'L'), et qu'on en déduirait les traces OR, ST.

Cette droite auxiliaire (NR, N'R') a été choisie de manière à percer les plans de projection suivant deux points R et S, situés tous les deux dans l'intérieur du cadre; mais il résulte de la que les deux points R et Q sont trop voisins l’un de l’autre pour que le tracé de la ligne RQ soit bien exact. Pour obvier à cet inconvénient, on a mené par le point (U, U”), de (PL, PL) , une droite (UV, U’V") parallele à (mn, m'n'); on a détermine le point V où elle perce le plan horizontal, et comme ce point doit être sur la droite RQ, on a pu mener cette droite avec exactitude.

529. Exécution de l'épure. Nous n'avons pas représenté en lignes pleines les traces du plan demandé, parce qu'il aurait fallu, pour connaitre les partes vues et cachées des directrices, entrer dans quelques détails que le lecteur suppléera aisément. Pour éviter aussi des recherches étrangères à notre

‘objet, nous nous sommes dispensé de représenter la surface donnée.

Nous verrons plus loin (336) que si l’on donnait le point de contact par sa projection horizontale P , il serait aisé de déduire, des trois directrices données, la projection verticale P’ de ce point, et l'élément correspondant (mn, mn) UE

330. ProBLÈME 10. Une surface Haiche dont la génératric ice'est constamment parallèle à un même plan, étant donnée avec la projection horizontale dun de ses points, on de= mande le plan tangent à cette surface en ce point.

Prenons pour plan vertical de proiection le plan parallèlement auquel se meut la droite génératrice de la surface donnée et soient (acfsa'c'f"); (gim ; g'im'), les deux courbes directrices de cette: surface, et M la projection horizontale du point par lequel il s’agit de mener le plan tangent demandé,

Pia.

Nous menerons une suite de plans ag, bh\ci...., parallèles au plan vertical de pro=. jection; ils couperont les directrices suivant les points (a, a‘) et (g,g/), (b,8"} et (4, XY,

.(e,c’) et (à, i’) elc.; nous menerons par ces points des droites (ag, as), (bh, &'X),

(ei,e 1), etc., et ces droites seront évidemment des élémens de la surface gauche.

Ces élémens obtenus, on menera par le point M une droite quelconque »Ms; on concevra par cette droite un plan vertical , et l’on déterminera les points (7, n'), (0, 0°), (p,p'), ete., suivant lesquels il coupera és élémens représentés. Par ces points, on fera passer une ébritbe (aMs, n'o'p'g'r's"), qui sera évidemment Pintersection de la surface gauche et du plan vertical »Ms. Mais le point de contact cherché est à la fois sur la surface donnée et dans le plan #Ms ; donc il a sa projection verticale sur n’o‘p'q'r's' : donc si lon mène Vs le po M une dite MM >perpendiculaire à à la ligne de terre, elle coupera la. courbe »’0'p'q'r's" en un point M’ qui sera la projection verticale correspondante au point donné M.

331. Connaïssant le point de contact (M , M”), nous menerons par ce point un plan parallèle au plan vertical de projection; il coupera les directrices suivant deux points (A,A’),(B,B’), etilest clair qu'en menant par ces points la droite (AB, AB’), cette droite, sera un élément entierement contenu dans le plan tangent demandé, car cet élément PASeut par le point de contact (M, M} (279). -

332. Il s'agira donc maintenant de construire parmi tous les plans qui passent par la droite (AB, A’B”), celui qui est tangent en (M, M”) à la surface donnée. Or, nous aurons pour cela recours à un paraboloïde ;'ORTAVATTE auxiliaire. !

Nous menerons par les points (A, A}; (B, B’), des droites (AC, A’C"), (BD, B'D"), tangentes aux directrices données (acf,, u'c'f"), (gim', #1 m'), et nous imaginerons qu’une droite , toujours parallèle au plan vertical de projection, se meuve sur ces tangentes : il est clair qu’elle engendrera dans son mouvement un paraboloïde PR RAC. passant par, l'élément (AB, AB); et je dis que ce paraboloïde et la surface gauche générale se toucheront tout le long de cet élément. En effet, la courbe (acf, a'c'f') et la droite (AC, A'C') ont un élément linéaire commun entre elles; la courbe (gim, g'im) et la droîte (BD, B'D') ont aussi un élément linéaire commun entre elles; donc, pendant que la génératrice se meut sur les élémens linéaires infiniment petits (A, A’), (B, B°), la petite zone qu’elle engendre appartient aussi bien à la surface gauche générale qu’au paraboloïde; donc ces ‘ deux surfaces se touchent suivant cette petite zone : donc enfin tout plan tangent à Pune de ces surfaces , suivant un point de l'élément (AB, A'B), est aussi tangent à l’autre.

Il suit dela que pour avoir le plan tangent demandé, il suffira de mener par le point (M, M") un plan tangent au paraboloïde hyperbolique : ce qui est un problème que nous savons résoudre (315) et auquel il serait superflu de nous arrêter ici.

333, Le plan directeur. étant choisi, comme nous l’avons supposé, pour plan vertical de projection ,on pourrait se dispenser de construire la ligne n'0’p'q'r's", pour trouver la projection verticale M” du point (M ,M'); car le point M étant donné, le plan AB, qui contient l’élément de la surface sur lequel'est (M, M”), sensuit nécessairement, cet élément s'ensuit aussi , et l’on en déduit aisément lé point (M; M’).

Il n’en serait pas ainsi dans le cas où le plan directeur he'serait pas paralièle à ue des plans de projection. On serait alors obligé de suivre la marche que nous venons d'indiquer;

la construction des élémens serait un peu pénible : mais la solution serait d’ailleurs abso= PI. 23. lument telle que nous l’avons exposée.

334. I1se pourrait quelles deux tangentes obtenues (AC, A’C"), (BD, B'D”), fussent dans le même plan; dans ce cas, le paraboloïde hyperbolique auxiliaire qui servirait à résoudre la question proposée, serait une surface plane, et cette surface présenterait la propriété de toucher le paraboloïde tout le long de l’élément (AB, A'B'). D’après cela, en faisant tourner un plan autour de cet élément, il ne serait tangent à la surface gauche que dans une seule de ses positions, mais tout le lorg de (AB, A’B'), ce qui fait exception aux propositions générales des n°° 243 et 308. Pour s'expliquer cette particularité, 1l sufhra de remarquer qu’en supposant que les droites (AC, A'C’), (BD, B'D) soient dans un mème plan, on admet nécessairement que la petite zone commune au paraboloïde et à la surface gauche générale soit composée d’élémens consécutifs situés dans ce même plan , ou , ce qui revient au même, que la surface donnée ne présente pas, suivant l’élément singulier (AB, AP] ; la propriété qui sért à définir les surfaces gauches, et qui est, comme on sait (214), qu'en général ; deux élémens consécutifs de ces surfaces ne sont pas dans un même plan.

335. Exécution de l’épure. Pour que la figure soit bien inteiligible, on s’est borné à représenter la partie de la surface donnée comprise entre les directrices et les élémens (ag, ag), (fm, f'm'). On a décrit sur le plan vertical le contour wsxy de la projection de cette surface, et l’on a marque en lignes ponctuées les parties des élémens comprises entre ce contour et la projection a'g', de l'élément antérieur (ag, ag"), parce que ces parties sont cachées par la portion de la surface à laquelle appartient le point (a, a’).

.… ILest facile de se rendre raison de la ponctuation des autres lignes de l’épure.

336. Pnroszème 11. Les trois directrices d’une surface gauche étant données , avec la projection d’un des points de cette surface , on demande le plan tangent en ce point à la surface donnée.

Soient (abcd, a''c'd”), (efgh,ef'g h") ,(iklm, à’ #l'm’), les trois directrices de la sur- pt, . face gauche, et M la projection roule du point de contact,

Nous commencerons par chercher la projection verticale de ce point. Pour cela , nous construirons, par le procédé qui a été indiqué n° 227, plusieurs élémens (aei,a'ei), (Bfk, b f, &”), (egl, c'g 1") , etc. ; ensuite nous. menerons par le POUR M un plan vertical quelconque 7M : il coupera la surface suivant une courbe (70pg, n'o'p'q"), facile à déterminer, et sur laquelle sera nécessairement le point de contact dont la projection horizontale est en M. Mais la RAIenieE verticale de ce point est la droite MM”, menée par le point M perpendiculairement à à la ligne de terre; donc elle est à linioteiio M' des lignes nvpgq et MM': donc le point de Las du plan tangent demandé est le point (M, M). |

L'élément correspondant à ce point sera facile à construire; car si l’on imagine un cône dont (M , M") soit le sommet, et qui ait pour base la directrice (e/2h, ‘ef gh"), ce cône coupera nécessairement les directrices (abcd, a'b'c'd'), (iklm, ik‘ T'm'), en deux points (A, A’), Ge a, , de l Get cherché (ABMC, A'B'M'C'), lesquels le détermineront. | |

Plat.

337 On pourrait encore obtenir le point M, et l'élément corréspondant au point de contact, en substituant les constructions suivantes à celles que l’on vient d'exposer. Imaginons qu’une surface gauche ait pour directrices la verticale M et deux des droites directrices de la surface donnée, par exemple (eh, eh"), (im, i'm"); cette surface coupera le cylindre abcd suivant une courbe qu’il sera aisé de construire, et qui donnera le point d’intersection de la surface auxiliaire et de la directrice (ad, ad”). Or ,en menant par ce point un élément de cette dernière surface, cet élément touchera tout: à-la-fois les quatre lignes (ad, a’ d'),(eh,e'h'), (M, MM) et (im, i'm); il sera par conséquent l'élément cherché (AC, A’C”), et le point de contact (M, M") s’'ensuivra.

338. Connaissant le point (M, M”) et l'élément (AC, A’C”), on menera par les points (A, A’),(B B’),(C, C’), les droites (AD, A’D'), (BE, BE’), (CF, CF”), tangentes aux trois directrices données ; on imaginera qu’une nouvelle droite se meuve sur cés trois droites , elle engendrera un hyperboloïde à une nappe, et je dis que cet hyperboloïde sera tangent à la surface donnée tout le long de l'élément (AC, A’C). En effet, les directrices droites, et les directrices courbes correspondantes, ont de petits élémens linéaires communs entre elles; donc , pendant que la génératrice se meut sur ces petits élémens, la portion de surface infiniment étroite qu’elle engendre est commune à lhperboloïde et à la surface donnée : donc tout plan tangent à lune de ces surfaces, suivant un point de l’élément (AC, A'C), est aussi tangent à l’autre.

I suit de là que pour avoir le plan tangent demandé, il ne s’agira que de mener par le point (M, M”) un plan tangent à l’hyperboloïde. Nous renverrons pour cela au problème g qui précède (326).

339. Si les trois tangentes (AD , A’D”), (BE, B'E”), (CF, C’F”), se trouvaient dans un même plan, l’hyperboloïde auxiliaire ne serait autre chose qu’une surface plane, tangente à la surface donnée tout le long de l'élément (AC, A’C'), et cet élément serait une ligne singulière, analogue à celle dont il a été question n° 334.

340. ProBzÈèmE GÉNÉRAL. Étant donnée une surface quelconque et un de ses points , trouver le plan tangent à cette surface en ce point.

Par le point donné on menera deux plans qui coupent la surface donnée, on déterminera leurs intersections avec cette surface, on menera par le même point, et par le procédé que nous verrons n° 766 , des tangentes à ces sections, et le plan déterminé par ces tangentes sera le plan cherché (148).

Si le point donné était un point multiple, les deux plans auxiliaires donneraient, pour chaque nappe de surface passant par ce point, deux sections et deux tangentes, et ces tangentes détermineraient le plan tangent à cette nappe. Il faudrait seulement avoir soin de ne pas confondre les tangentes à une nappe avec celles d’une autre nappe.

341. La longueur des constructions qu’exige cette solution la rend à peu près impraticable : mais elle peut être simplifiée toutes les fois qu’on peut mener sur la surface donnée, et par le point donné , une ou deux courbes dont on sache construire facilement les tangentes ; parce qu'on substitue ces courbes aux sections auxiliaires dont il vient : d'être parlé. En voici des exemples.

Ordinairement, on sait mener des tangentes à la génératrice d’une surface; en menant

donc par le point donné la position correspondante de cette génératrice, on n’aura plus besoin que d’une seule section plane auxiliaire.

Or, lorsqu'une génération est donnée par une seule directrice, la surface a presque toujours une seconde génération simple, dans laquelle la directrice primitive devient une génératrice constante ou variable de forme, et mobile par rapport à une ou plusieurs positions de la première génératrice devenues des directrices. On peut donc, au moyen de cette double génération , obtenir deux courbes passant par un point connu de la surface; et le plan tangent en ce point devant passer par les tangentes à ces courbes(147), ilse trouve déterminé sans le secours des sections planes auxiliaires.

342. Ces simplifications de la solution générale s'appliquent aux cylindres, aux cônes et aux surfaces de révolution. En effet, une surface cylindrique peut également être engendrée par sa génératrice , mobile parallèlement à elle-même sur la directrice, ou par cette directrice, constante de forme, et en mouvement le long d’une position de la première génératrice, de manière que ses différens points parcourent dans le même temps des espaces égaux , c’est-à-dire parallèlement à elle-même. Un cône peut de même être produit par le mouvement de sa directrice, mobile sans tourner sur un de ses élémens, pourvu qu’elle varie de grandeur, en restant semblable à elle-même, proportionnellement à espace parcouru. ( Voyez la Note 5.) Enfin, une surface de révolution, qu’on peut considérer comme produite par une courbe mobile sur un cercle et assujettie à rester toujours placée de la même façon par rapport à ce cercle, est aussi susceptible d’une autre génération , dans laquelle le cercle directeur se meut parallèlement à luimême , en variant de rayon, et en s'appuyant sur trois positions de la première génératrice. Or, dans tous ces cas, on peut merer par le point de contact donné, 1° une position de la génératrice de la première génération; 2° une des positions qu’occupe la directrice dans Ja seconde génération, et le plan tangent s'ensuit, par un procédé qui ne diffère pas, au fond , de ceux que nous avons précédemment exposés.

343. Le même procédé sert à mener des plans tangens à beaucoup d’autres genres de surfaces; mais on ne peut l’appliquer ni aux surfaces gauches, ni aux enveloppes. On verra , dans le Complément (697), une résolution graphique très générale du problème du plan tangent aux premières de ces surfaces ; et quant aux dernières, il est visible que puisqu'elles sont touchées en tous leurs points par leurs enveïoppées, la recherche du plan tangent, en-un point d’une enveloppe , se ramène à celle du plan tangent au mêmie point à Penveloppée correspondante. /

D’après cela, une surface donnée étant cylindrique, conique, de révolution , gauche ou enveloppe, c’est-à-dire une des sur faces examinées Livre 11, le problème général proposé pourra toujours être résolu par des moyens directs.

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