CHAP. II. DES PL, TANG. MENÉS PAR UN POINT DONNÉE

cercle, aussi, dans le cas pris pour exemple, le problème proposé a-t-il deux solutions, dont une seulement a été construite.

546. Exécution de l’'épure. Lie cylindre donné est représenté par ses traces et par les élémens qui servent de contours à l’une et à l’autre de ses deux projections. Ce cylindre est entièrement caché par le plan tangent demandé (aB, C'#); donc toutes les lignes qui lui appartiennent, hors l'élément de contact (ai, di), qui est dans le plan tangent, doivent être indiquées par des points. Quant aux droites aB, C7, ai, a'ï', elles sont évidemment vues, ainsi que MN et M'N'; elles sont par conséquent indiquées en lignes pleines.

547. PROBLÈME 2. Par un point (A, A) donné au-dehors d'un cône dont le sommet est (S, S"), et dont la trace horizontale est la courbe abc, mener un plan tangent à ce cône.

Tout plan tangent à une surface conique devant passer par un des élémens de cette surface (279), il contient nécessairement son sommet; donc le plan demandé passera par la droite (AS, A'S”) : donc la trace horizontale de ce plan passera par le point B, et sa trace verticale par le point C’.

Menons par le point B la tangente aB à la trace abc; je dis que le plan que déterminera le point (A, À) et la droite aB sera le plan demandé. En effet, ce plan contiendra l'élément (aS, a'S'), correspondant au point de contact (a, a’) de la trace abc et de la tangente aB ; donc il sera tangent en (a, a’), et par conséquent (287) tout le long de l'élément (ad, ad’), à la surface du cône donné : donc il sera le plan tangent cherché.

La trace verticale de ce plan passera évidemment par les points C'et d’, où les droites (AS, A'S'), (aS , a'S'), percent le plan vertical ; ainsi les traces du plan demandé seront les droites 4aBD et DAC’. On sait d’ailleurs , par ce qui a été dit précédemment (290), que la trace DAC’ sera tangente en d'à la trace verticale du cône.

Il est clair que si l’on mène par le point B une seconde tangente à la trace abc, elle déterminera une deuxième solution du problème proposé.

548. Exécution de l'épure. Le cylindre donné est représenté par ses traces ; par les élémens qui servent de contours à ses deux projections, par son sommet, et par l'élément de contact (aSd, a'S'd"). La nappe inférieure est, par rapport aux deux plans de projection, derrière ou sous le plan tangent; donc les lignes qui lui appartiennent, hors la droite (aS, 4'S) qui est dans ce plan, doivent être ponctuées. Quant à la nappe supérieure, elle est

Fig. 1.

Fig. 2:

au-dessus et en avant du plan tangent, par rapport aux deux plans de projection; ainsi la détermination des parties pleines et ponctuées de cette nappe se fera de la même manière que si elle-était isolée dans l’espace

549. PROBLÈME 3. Par un point donné au-dehors d'une surface sphérique , mener un plan tangent à cette surface.

Concevons qu'on ait trouvé le plan demandé, supposons-le solide, ainsi que la sphère donnée, et imaginons qu'on le fasse rouler sur cette sphère, sans qu’il cesse de passer par le point donné; il est évident que le plan mobile satisfera dans toutes ses positions au problème proposé : donc le nombre ce solutions de ce problème est infini.

Considérons deux positions consécutives du plan mobile; elles se couperont suivant une droite qui sera la caractéristique d'un cône ayant pour sommet le point donné, circonscrit à la sphère donnée, et touchant cette sphère suivant une ligne particulière, qui est le lieu des points de contact des diverses positions du plan mobile, et qu’on appelle la ligne de contact ou courbe de contact du cône circonscrit et de la sphère donnée. Or, il est clair que tout plan tangent à la sphère, en un des points de cette ligne, saüsfait au problème proposé; d'où l’on voit que la courbe de contact en question est une espèce de lien qui réunit les solutions de ce problème, et qui fournit le moyen d’en avoir une quelconque à volonté. D'après cela, il conviendra de savoir construire cette courbe.

550. Pour la déterminer , on menera par le point M une suite de plans veiticaux ; ; chacun de ces plans coupera la spheé donnée suivant un cercle; on ménera par le point M deux tangentes à ce cercle; on déterminera les points de contact de ces tangentes, et par ces points on menera une courbe qui sera évidemment la courbe de contact cherchée.

Il est facile de prouver que cette courbe sera circulaire ; en effet , les données qui la déterminent consistent en un point M, et en une sphère connue : or, concevons par le centre C de la 7 3 et par ce même POI M, une ligne droite MC; les données se trouveront disposées de la même manière tout autour de cette droite : donc la courbe de contact aura tous ses points disposés aussi de la même manière autour de la droite MC. Mais il n’y a qu'un cercle qui puisse satisfaire à cette condition; donc le lieu des points de contact de la sphère et des plans qui

MERE le problème proposé est une ligne circulaire,