CHAP. II. DES PL. TANG. MENÉS PAR UN POINT DONNÉE

Nous n’appliquerons à aucun exemple les constructions que nous venons d'indiquer; les problèmes ci-après les feront suffisamment connaître.

551. PROBLÈME 4. Par un point donné hors d'une surface de révolution , mener un plan tangent à cette surface.

Par le point donné, que nous nommerons M, menons un plan auxihaire P, coupant la surface donnée, et construisons son intersection @ avec cette surface. On pourra mener des tangentes à cette courbe; car ces tangentes ne seront autre chose (152) que Îles intersections du plan P et des plans tangens à la surface de révolution, menés par des points donnés de cette surface, plans tangens que l’on sait construire (202). Donc on pourra, par le procédé exposé n° 121, mener par le point M, situé au dehors de la section @, une tangente à cette section, ét obtenir le point de contact C de cette tangente. Concevons qu'on mène par ce point C un plan tangent à la surface de révolution, ce plan contiendra la tangente MC; donc il contiendra le point M : donc il satisfera au problème proposé. Or, comme il y a une infinité de plans comme le plan P, le problème aura en général un nombre infini de solutions.

352. Si l'on suppose qu’un des plans qui résolvent ce problème tourne autour de la surface de révolution , sans cesser de la toucher et sans cesser de passer par le point M, il engendrera une enveloppe conique, ayant pour sommet le point M, circonscrite à la surface donnée, et touchant cette surface suivant une ligne, qui est le lieu de toutes les positions -que le point de contact C aura occupées dans le mouvement du plan tangent, et qu'on appelle ligne ou courbe de contact de la surface donnée et du cône circonscrit. Et comme tout plan tangent en un des points de cette courbe , à la surface de révolution, résout le problème proposé, on voit qu’elle sert de lien aux solutions dece problème, et que, pour le résoudre le plus complètement possible, il convient de la construiré.

‘Comme les opérations à faire pour cela sont d’une grande importance, nous allons en faire l'objet d'un problème séparé. :

555. PROBLÈME 5: Étant donnée la surface de révolution {CL ET), (XY, l'GP'EH)} et un point (M, N), on demande la courbe de contact de cette surface et du cône circonscrit qui aurait pour sommet le point (M, N).

Pour résoudre ce problème, nous rappellerons qu’on peut considérer Ja surface donnée, quelle qu’elle soit, comme l'enveloppe d’un cône mo-

bile, d'une sphère mobile où d’un cylindre mobile (269— 27 1), et nous. nous demanderons les points de la courbe cherchée situés sur une caractéristique donnée. A cette caractéristique 1l correspondra une enveloppée; cette enveloppée sera touchée. par un cône circonscrit, ayant pour sommet le point (M, N), suivant des lignes particulières ; il sera facile.de déterminer les points de la caractéristique qui appartiendront à ces lignes, et ces points seront évidemment les points demandés; car les plans tangens à l'enyeloppée, qui leur correspondront, seront tangens suivant ces mêmes points à la surface donnée (261).

Sachant trouver les points de la courbe cherchée situés sur une caracz. téristique quelconque , on pourra déterminer autant de ces points qu’on en voudra , et il sera par conséquent aisé de décrire les projections de. cette courbe.

Mais, comme l'enveloppe a. trois sortes d'enveloppées. fort simples; il y a trois procédés remarquables qui conduisent aux points de la courbe demandée. Nous allons exposer ces procédés avec détail , ainsi que, la construction des points singuliers de cette courbe.

354. 1 Procédé ,. ss lequel l'enveloppée est une surface conique. C Ra he les points de la courbe demandée qui sont sur la caracténis-tique (oxhy", 0'K"). On cônstruira d’abord la droite: 04, tangente en 0’ à. la méridienne l'GPEH; cette droite sera la:génératrice de l'enveloppéeconique correspondante à la caractéristique donnée. et le sommet de. cette enveloppée sera le point (I, a). Ensuite, on. menera par le point (M, N), et par le point (I, à), la droite (MId, Nad'); elle percera le plan. de la caractéristique en. (d, d');: par ce point on ,menera les tangentes (dx, d'x'), (dy', d'y). à cette mème: caractéristique ;: on détemminera les. points de contact (x, x‘), (7',.»),.et ces points seront les points cherchés, En effet, car si l’on mène par ces points des plans. tangens à l’enveloppée, ces plans passeront par les tangentes, (dx, d'x’), (dy', d'y); 311s passeront par conséquent par le point: (d, d ).:, mais, ils. passeront: aussi par le sommet (E, a); donc ils passeront par la dr oite (fa, a'd”); donc ils contiendront le point (M, N) : or, ilsseront tangens en même temps à l’enveloppée et à l’en-. veloppe; donc enfin, ces points seront les points de contact de deux plans tangens à là surface does passant par le point (M, N); donc, etc.

Si la courbe demandée n'avait aucun point sur la Caracté ii cir—culaire (oxhy', o'K), le point (4, d') se trouverait dans l'intérieur de cette. caractéristique, et ce procédé ne conduirait à aucun résultat,