CHAP, II. DES PL. 'TANG. MENÉS PAR UN POINT DONNÉ

355. 2° Procédé , dans lequel l’enveloppée est une surface sphérique. Cherchons les points de la courbe demandée qui sont sur la caractéristique (peqc, p'q"). On commencera par mener la droite p'h, normale en p' à la méridienne 1'Gp'E'H; elle rencontrera l'Î" en un point b; et de ce point comme centre, avec le rayon bp", on décrira le cercle p'sq'g , qui sera la méridienne principale de l'enveloppée Sphérique correspondante à la caractéristique donnée. On imaginera ensuite un cône circonserit à l'enveloppée, et dont le sommet soit en (M, N); on déterminera le cercle de contact de ce cône et de la sphère ; ce cercle coupera la caractéristique en deux points, et ces deux points seront évidemment les points cherchés.

Pour trouver leurs projections, nous ferons tourner le méridien MI avec l'enveloppée et le cône circonscrit, autour de l'axe de révolution, jusqu'a ce que ce méridien soit arrivé en M'I. Dans ce mouvement, le centre (I, 4) de la sphère ne bougera pas, le sommet (M, N) viendra en (M, N'), et l’axe du cône circonscrit se trouvera par conséquent dans le plan MT: Par le point N' ‘on menera les droites N's, N'g, tangentes au cercle gp'sq' ; elles le toucheront en deux points s et g; on joindra ces points par une droite sg, et il est facile de voir que cette droite sera la projection du cerclé de contact de l'enveloppée et du cône circonscrit. Le cercle sg et le cercle p'q', situés sur une même sphère, se couperont en deux points, et ces points ne seront autre chose qué les positions qu'occupent les points cherchés lorsque le point (M, N) est en (M’, N'. Or, nous remarquerons que ces points sont sur une droite (//l', !), perpendiculaire en (x, L) au plan méridien M'T; nous ramenerons ce plan en MI; le point & décrira autour du point [ un arc de cercle wy, il s'arrêtera en #, et la droite [‘/", perpendiculaire en & sur M'T, prendra la position ce, perpendiculaire en + à la droite MI. D’après cela, la droite ce contiendra les projections horizontales des points cherchés : mais le cercle pege contiendra ces mêmes projections; donc elles séront en e et c. Il sera facile d’en déduire les RAR verticales e' et c’, et l’on aura les points cherchés (e, is {oh

Si les lignes sg et p'q' ne se rencontraient pas dans l’intérieur du cercle p'sg'&, les cercles sg et p'q! n’auraïent pas de points communs, et il en résulterait que la courbe demandée n'aurait aucun point sur la caractéristique donnée pq’.

356. 3° Procédé, dans lequel l'enveloppée est une surface cylindri ique.

PE

Cherchons les points de la courbe demandée qui sont sur la caractéristique nlsw. Nous ferons d'abord remarquer que l’enveloppée correspondante à cette caractéristique est le cylindre horizontal auquel elle sert de base, et dont les élémens sont perpendieulaires au plan méridien rw. Nous menerons ensuite la droite (Mn, Nn') perpendiculaire à ce plan ; elle le percera en un point (n, n°); par ce point nous menerons des tangentes à la caractéristique rw, et les points de contact de ces tangentes seront les points cherchés. En effet, les plans qui passeront par ces tangentes et par la droite (Mn, Nr'), contiendront le point (M, N), et seront tangentes à l’enveloppée suivant les points dont 1l s’agit : or, ces points sont sur Ja caractéristique; donc les mêmes plans seront tangens à l'enveloppe suivant les: mêmes points. Donc, etc.

Pour construire ces points, nous rabattrons le méridien du en IP ; le point (n, n') viendra en (P, Q), et la méridienne z7# viendra en (XY,l'G'EH); par le point Q on menera les droites Qr et QÆ, tangentes en r et À’ à la courbe l'GP'EH ; on mettra les points de contact r et A’ en projection horizontale en 7 et Æ; on les ramenera ensuite dans le méridien 7 en (4 t) et (m, m’), et ces derniers points seront les points cherchés. |

El est clair que ce troisième procédé donnera autant de points de la co demandée qu'il sera possible de mener par le point. Q de tangentes à la. courbe l'Gp'E'H.

357. Construction des points singuliers de la courbe demandée. Aw moyen des trois procédés précédens, ou même d'un seul de ces procédés ,. on peut trouver autant de points de la courbe demandée qu’on en peut désirer ; mais, parmi ces points , il en est de remarquables qu'il est bon de construire de préférence à d'autres.

Menons par le point M les droites MU, MT, tangentes au contour (UTX, U'T') de la projection horizontale de la surface donnée; ces droites seront les traces de deux plans verticaux tangens à cette surface :: en mettant donc les points Ü et T en projection verticale en U’ et T', les points de contact (U, U”), (T, Var , ainsi déterminés, seront deux points de la courbe demandée.

Par le point N menons les droitesNE! NF”, tangentes a la méridienne principale ; il est évident qu’elles seront les traces de deux plans NE’, NF’, qui seront perpendiculaires au plan vertical, et qui toucheront la surface donnée suivant les points (E, E”), (F, F’), de la courhe cherchée.