CAP. II. DES PL. TANG. MENÉS PAR UN POINT FONNÉ

558. Enfin, construisons les points de cette même courbe situés dans le méridien Mid. Pour cela, nous rabatirons le méridien IM sur le méridien IR, en le faisant tourner sur l’axe (I, 1”); le point (M, N) viendra en (R, S), et si par le point S on mène à la méridienne (XY, l'GpE'H):les tangentes Si, Sz, ces tangentes détermineront deux points de contact (i, &), (& z'}, qui, ramenés en (D, D’) et (B, B’), dans le méridien Mid, seront évidemment les points cherchés.

359. Ces points (D, D”), (B, B’), jouissent d’une propriété remarquable , c’est que leurs hauteurs au-dessus du plan: horizontal sont des maximum ou des minimum (*). En effet, comparons les hauteurs de ces points à celles des points (#, t), (m, m!}, obtenus n° 356, et situés dans le méridien quelconque 71. Le triangle MnE est rectangle en 7; donc on a MI > nl ; mais M—IR— VS, 721 — IP —1"Q ; donc, quel que soit le plan méridien #1, le point Q-sera toujours tel qu'on-ait LS ©>-1"Q. I suit de là que les tangentes S7’,. Sz', limitent les positions de celles, comme

Qr et QX, qui partent des diverses positions que peut avoir le point Q,.

et, par conséquent, que les hauteurs des points ÿ et z’ sont des maximum ou des minimum par rapport à celles des points de contact r et k’ des tangentes Qr et Q£'. Or, les hauteurs des points ?’ et z/ sont celles des points (D, D‘), (B, B”) ; les hauteurs des points r et k' sont celles des

points (4°, #), (m, m'); donc les hauteurs des points (D, D') et (B, B’),

au-dessus du plan horizontal, sont des maximum ou des minimum par rapport à celles des points d'intersection (#, £), (m m'), de la courbe cherchée et d’un méridien quelconque z1w..

560. De ce que la hauteur d’un point d'une coùurbe est un maximum ou un minimum par rapport aux hauteurs des autres points de la même courbe, 1l s'ensuit que l'élément: infiniment petit qui correspond à ce point est horizontal ; car,. sans cela, cet élément contiendrait des points plus hauts que le point en question ,. et d’autres points plus bas, ce qui

est impossible. Donc les tangentes à la courbe demandée en (D, D') et.

(B, B') sont des horizontales. Et comme ces tangentes sont dans les

(*) Dans une suite de grandeurs soumises à la loi de continuité (135 note), on appelle maximum et minimum les grandeurs plus grandes et les grandeurs moindres que celles

qui les précèdent et qui les suivent immédiatement. Ainsi les tangentes à l’ellipse V'LN'L", Pr. 15. en Let L', étant parallèles à la droite Tm, prise pour axe des abscisses (881), les ordon- Fig. 1.

nées L'L”, l’L, seront, la première un meximum, et la dernière un minimum, ) ? j 72 1

134 LIVRE JT. PLANS 'TANGENS.

plans tangens menés par le point (M, N) à la surface donnée, il est clair que leurs projections horizontales sont des parallèles aux traces horizontales de ces plans. Mais on sait que ces traces sont perpendiculaires à la trace MI du plan méridien (294); donc les tangentes de la courbe cherchée en (D, D’) et (B, B') ont pour projections horizontales des perpendiculaires à ML, et pour projections verticales des parallèles à la ligne de terre : donc ces tangentes sont ‘parfaitement connues.

361. il n’en est pas de même des tangentes aux points singuliers (U, U), (T, T”), (E, E”), (F, F), précédemment déterminés : mais, comme elles sont nécessairement contenues dans les plans tangens MU, MT, NE’, NF’, il s'ensuit que les droites MU, MT, NE’, NF”, en sont une projection.

562. Il résulte de ce qui précède qu'on peut ditissl les points singuliers que nous venons d'obtenir en trois espèces ; la première est celle des points (D, D”), (B, B’), qui satisfont à la condition d’être les plus hauts ou les plus bas du petit arc de courbe auquel ils appartiennent: On connaît les tangentes qui leur correspondent. La deuxième est celle des points (U, U”), (T, T’), qui sont sur le contour de la projection horizontale de la surface donnée. On connaît les projections horizontales MU, MT, des tangentes correspondantes. Enfin, la troisième est celle des points (E, E’), (F, F”), qui sont situés sur le contour de la projection verticale de la surface. Hk connaît les projections verticales. NE’, NF’, des tangentes correspondantes de la courbe cherchée.

Ces points singuliers et ces tangentes indiquent pour orditiatié La forme générale de cette courbe; et comme on les obtient par des opérations très faciles, c’est toujours par ces opérations quil convient de commencer la DR LC du problème proposé.

563. Exécution de l’épure. Dans la figure prise pour exemple, la sr

demandée doit passer Hi les points. CU; DD, TS} TE, np 4 F),

(D, D'), (B, B'), (x, x’), (y, 7°), (oc, c'), (e, e), (£, €) et (im, m'); ainsi, le tracé de ses Arr) pourra se faire aisément. L'axe de révolution (1, l'I") étant compris, de (I, [')en({[, 1”), dans l'intérieur de la surface donnée, il est marqué entre ces points par une ligne ponctuée. Au-delà , il est tracé par des lignes pleines. La surface donnée est indiquée simplement au moyen des contours de ses projections , lesquels sont aussi marqués en lignes pleines.

CHAP, If. DES PL. TANG. MÊNÉS PAR UN POINT DONNE... 135

Quant à la courbe demandée , il est évident que l'arc (TBU, T'B'U’) est sur la moitié inférieure de la surface, et que Parc (TDU, T'D'U”), au contraire, est sur la moitié supérieure ; donc la ligne TBU doit être ponctuée, et la ligne TDU pleme. En projection verticale, l'arc (FUE, FU”), situé sur la partie postérieure de la surface , est nécessairement caché , tandis que l'arc (FTE, F'T'E'), situé sur la partie antérieure , est nécessairement vu; donc F'U'E! doit être ponctué, et F'B'E’ doit être formé par une ligne pleine (56).

Les autres lignes de l’épure sont des lignes de construction.

364. Pnosrèmz 6. Par un point donné, au dehors d’une surface gauche , mener un plan tangent à cette surfuce.

Par le pomt donné. et par un élément quelconque de la surface gauche, on menera un plan, el ce plan-(245)-sera le plan demandé. D’où lon voit quele problème proposé aura une infinité de solations.

365. Si l’on en construit un nombre suffisant , que l’on détermine les points de con-

tact correspondans à chacune , et que l’on mène une ligne par ces points, cette ligne sera:

la courbe de contact de la surface donnée et du cône circonscrit ayant pour sommet le point donné.

366. ProgrèmEe GÉNÉRAL. Par un point donné aw dehors d’une surface connue, mener vunplan: tangent à cette surface.

Pour résoudre ce problème , on emploicra le procédé-expusé n° 351, On menera donc par le point donné un plan quelconque, assujetti seulement à couper la surface donnée ; on déterminera leur.courbe d’intersection (144); on cherchera le point de contact de la tangente

menée à cette courbe par le point donné (121) , eten menant par ce point un plan tangent-

à la surface donnée , ce plan’ satisfera au problème proposé.

367. Il suit de là que la surface donnée aura en général une infinité de plans tangens passant par le point:donné. Il sera aisé d'en construire autant qu'on en voudra, et si l’on détermine les-points de contact de chacun &eux, et qu'on mèneune ligne par cespoints, cette ligne sera.la courbe de contact du.cêne qui cnvelopperait la surface et qui aurait pour. sommet le point donné.

868. Si la surface donnée est une surface développable, la courbe de contact sera remplacée par une ou piusieurs droites, et le problème proposé n’aura qu’un nombre fini de solutions; car tous les plans tangens suiyant les divers points d’une de ces droites ne

feront quuniseul et même plan. Les problèmes 1 et 2 de ce chapitre en fournissent des exemples

Fig. 1.

Fig. 2.

156 LIVRE IIf, PLANS TANGENS. mn

RAA RE PA AAA AAA AAA AAA AA AAA AAA RAS AA AAA AAA RAA AA VAN AAA AAA AAA