CH. IUT. DES PL. TA, MENÉS PARAL. À UNE DROITE DONNÉE

rallèle à la droite (EF, EF’), pour avoir un point G de la trace horizontale de ce plan. Par ce point, on menera la droite GE tangente à la courbe ABC ; cette droite sera la trace horizontale dont il s’agit, et en menant, par le point (D, D”), la droite (DK, D'K”), parallèle à GH, elle percera le plan vertical en un point K”, qui déterminera la trace verticale LK’ du plan demandé (LH, LK’).

Il est clair que dans le cas de la surface prise pour exemple, le problème a deux solutions; car on peut mener par le point G deux tangentes à la courbe ABC. On n’a marqué sur l’épure qu’une de ces solutions.

572. Exécution de l'épure. Nous ferons remarquer seulement que la nappe inférieure du cône est au-dessous et en-deca du plan tangent construit, et que la nappe supérieure est au-dessus et au-delà. C’est pour cette raison que l'élément de contact (D, CD’), est ponctué dans la partie qui appartient à la nappe inférieure, et plein dans celle qui appartient à la nappe supérieure. | Hi

515. PROBLÈME 3. Étant données une surface de révolution et une droite, on demande un plan parallèle à cette droite et tangent à la surface donnée.

Ce problème, comme on va le voir, a la plus grande analogie avec le problème 4 du chapitre précédent (351).

Imaginons qu’un plan, parallèle à la droite donnée, se meuve parallèlement à lui-même jusqu'a ce qu'il touche la surface de révolution, et figurons-nous qu'ensuite ce plan tourne autour de cette surface, sans cesser de Ja toucher et sans cesser d'être parallèle à la droite donnée; il est clair qu'il engendrera dans son mouvement une surface cylindrique qui enveloppera la surface donnée, et qui aura ses élémens parallèles à la droite donnée.

Or, cette surface cylindrique et la surface de révolution se toucheront suivant une courbe particulière; et comme le plan générateur occupe successivement toutes les positions parallèles à la droite donnée dans lesquelles il touche la surface donnée, il s'ensuit que cette courbe est le lieu des points de contact de tous les plans tangens qui résolvent le problème proposé. Si donc on construit cette courbe, c’est-à-dire la ligne de contact de la surface de révolution et du cylindre circonscrit parallèle à la droite donnée, on pourra aisément déterminer autant de solutions de ce problème qu’on en voudra ; puisqu'il ne s'agira pour cela que de mener, par des points pris arbitraire ment sur la courbe de contact, des plans tangens à la surface donnée.

La construction de cette courbe étant une opération importante qui sera souvent utile par la suite, nous allons en faire l’objet d’un problème sé-

. paré (574).

S'il ne s'agissait que d’avoir l’une quelconque des solutions gle la question proposée, il faudrait employer le procédé général du n° 385.

374. ProBLÈèME 4. Soient (1, V1") l'axe d'une surface de révolution, (Az, AB'HZ7U" la méridienne principale de cette surface; et soit (MN, M'N') une droite menée d'une manière quelconque par un point (1, C) de l'axe de révolution : on demande la courbe de contact d'une surface cylindrique dont les élémens soient parallèles à la droite donnée , et qui soit circonscrite à la surface de révolution.

Nous ferons remarquer d’abord que ce problème n est qu'un cas particulier du problème 5 du chapitre précédent (553). En effet, l'inconnue de ce dernier problème est la courbe de contact d'un-cône qui touche et enveloppe la surface de révolution; or, si l'on suppose que le sommet de ce cône s'éloigne à l'infini, ce même cône se changera en un cylindre, et le problème à résoudre sera celui dont il s’agit. Pour en obtenir la solution, nous allons employer des procédés qui découlent, au moyen de modifications simples, de ceux qui ont servi à la résolution du problème 5 du chapitre IT, et qui supposent que la surface donnée soit produite par le mouvement d’une enveloppée, conique, sphérique ou cylindrique (voyez les n°® 354—3562).

575. 1* Procédé, dans lequel l’enveloppée est une surface conique. Nous nous demanderons les points de la courbe cherchée qui sont sur une caractéristique (oxhy, 0'k'), correspondante à lenveloppée conique dont la génératrice est la tangente L'a. Concevons qu'on mène, par ces points, des plans tangens à la surface de révolution; ils seront tout-à-la-fois parallèles à la droite donnée, et tangens à l’enveloppée conique dont le centre est(T, a). Or, menons par ce centre une droite (Id, ad”) parallèle à (MN, M'N'); cette droîte percera le plan 0'k' de la caractéristique en un point (d, d'); et si par ce point on mène à cette caractéristique les tangentes dx, dy; qu'on détermine les points de contact x et y, ‘et qu'on les mette en projection verticale en x’ et y’, les points (x, x’), (x, >’), seront les points cherchés : car les plans tangens à l’enveloppée suivant ces points seront parallèles à la droite (MN, MN’), et tangens à l'enveloppe.

En répétant ces constructions sur un nombre suffisant de caractéristiques,