CH. 111. DES PL. TA. MENÉS PARAL, A UNE DROITE DONNÉE

cédés que l’on viéntd’éxposer, suffisent ; chacun en particulier , pour déterminer la courbe demandée ; mais, parmi les points de cette courbe, il yen a de remarquables qu’il est bon de construire de préférence à tous les autres.

Menons, parallèlement à la droite MN, les tangentes FE, GD, au contour AEzD.de la projection horizontale de la surface donnée; les droites FE, GD, seront les projections horizontales des deux plans verticaux tangens à la surface donnée : donc les points de contact (E,:E"), (D, D’), qu 1 détermineront sur le contour (AEzD , Az’), appartiendront à la courbe cherchée.

- Si nous menons pareillement les droites TB, ft, tangentes au contour A'BT'q'U' de la projection verticale de Ja surface donnée, et parallèles à la droite M'N', ces tangentes détermineront deux points de contact Bet 7, qui, étant rapportés en projection horizontale en Bet t, AREFOE deux points (B, B'), (, ”), de la courbe cherchée.

579. Enfin, construisons les points de cette-mème courbe qui sont situés dans le REF MIN. Ces points seront ceux où la méridienne MN sera touchée par deux droites parallèles à (MN, MN); amsi, les constructions à faire seront toutes dans le plan MIN. Ramenons ce plan en SIR ; le point (N, N') viendra en (R, R’); la droite donnée viendra en (IR, CR’); et en menant par cette droite les tangentes XI, LU, elles détermineront deux points de contact (H, I), (U, U’), qui, ramenés en (K, K')et (V, V”), dans le méridien MIN, seront les points cherchés.

580. Ces points (K,K”),(V, V'), seront élevés au-dessus du plan horizontal de hauteurs qui, par rapport à celles des autres points de la courbe demandée, seront dés maximum ou des minimum (359 note). Pour le démontrer, comparons les hauteurs des points (£, 4”), (m, m'), situés dans le méridien quelconque #7, à celles des points en question (K, K”), (V, V'). Les uns et les autres. sont donnés par le contact de la méridienne avec de certaines tangentes XH, LU’, Q'4', Qr'. Or, parmi ces tangentes, les deux. premières font avec le plan horizontal l'angle de la droite donnée et de ce mème plan, et l'angle des dernières est celui du plan horizontal et de la projection de la droite donnée sur le plan méridien wn : mais, quel que soit le méridien sv, le premier de ces angles sera plus grand que le dernier; donc toutes les tangentes, telles que Q'#, ont pour limite XH'; toutes les tangentes, telles que Qr’, ont pour limite LU": donc les hauteurs des points de contact H' et U’ sont des maximum ou des minimum par rapport à celles des points £'et r’. Donc, etc. | |

581. Il suit de là (360) que les tangentes de la courbe cherchée, en

(V, Viet (K, K”), sont des droites dont les projections horizontales sont pérpendiculaires à MN, et dont les projections verticales sont parallèles à la ligne de terre. |

Il est évident que les droites FE, GD, sont tangentes à la projection horizontale de la courbé cherchée (361), et que les droites TB, /t!, sont tangentes à $a projection verticale (361); donc les six points singuliers (*) (K, K°), (V, V'), (B, B'), G, à), (E, E’), (D, D’), sont tels qu'on connaît, pour les deux premiers , les tangentes de la courbe cherchée; pour lé 3°et le 4°, les projections verticales de ces tangentes; enfin, pour le 5*etle 6°, les projections horizontales des mêmes tangentes.

Ces six points et les points (x, x"), (r,7"), (ce, c'), (e, e),(£, 41), (m, n°), déjà déterminés, pourront suffire aux personnes habituées aux opérations de la Géométrie descriptive pour décrire la courbe demandée (EVDK, E'VD'K).

382. Exécution de l'épure. On voit clairement que l'arc (EKD, E'KD') de la courbe demandée, auquel appartient le point superieur (K, K’), situé sur le dessus de la surface, est vu en projection horizontale; et que l'arc (EVD, E‘VD”), auquel appartient le point inférieur (V, V”), n’est pas vu. En projection verticale, l'arc vu (BEï, B'E/7) contient le point singulier (E, E’), qui est sur la partie antérieure de la surface; et l'arc non vu (BOL, , B'D’7) contient le point caché (D, D”).

383. On remarquera que les arcs vus et cachés sont toujours séparés par des points singuliers (E, E”), (B, B°), (D, D), (, à); ainsi, c'est une nouvelle raison de déterminer ces points,

384. Prosrèmr 5. Étant données une surface gauche et une droite , mener un plan tangent à cette surface parallèlement à la droite donnée.

Si par un élément quelconque de la surface gauche on mène un plan parallèle à la droite donnée , ce plan sera tangent en un point de cette surface (245).

Il suit de là que le DAT proposé aura une infinité de solutions. IL sera facile d’en trouver autant qu’on en voudra, et de déterminer les points de contact de celles quon aura construites (245); et si l’on mène une ligne par ces points, cette ligne sera là courbe de contact de Ia surface donnée et d’un RE re enveloppant, parallèle à la aroiis donnée.

385. Proszèur GÉNÉRAL. Mener parallèlement à une droite don née, un plan tangens à une surface connue quelconque.

(*) Ts pourraient être en plus grand ou en moindre nombre sur un autre exemple.