CHAPITRE IV

Des plans tangens menés par une droite donnée.

389. Nous ferons d’abord remarquer que si la surface donnée était une surface développable, il n’y aurait pas en général de plan tangent à cette surface, passant par la droite donnée. En effet, chaque plan tangent d’une surface développable est une position du plan mobile générateur de cette

(*) Cette tangente peut toujours être menée par le procédé du n° 122; car pour appliquer ce procédé, il su Mis de savoir mener les tangentes à la courbe quand les points de contact sont donnés : or c'est ce qu’on ‘sait dans les cas dont il s’agit, puisque la tangente en un point de l'intersection n’est autre chose que la section faite sur le plan tangent en ce point par le plan auxiliaire (152).

surface (255); donc il faudrait, pour qu’elle eût un plan tangent passant par la droite donnée, qu’il y eût une des positions du plan mobile générateur qui contint justement la droite donnée : or, cette droite est une droite quelconque; donc elle ne doit avoir qu'un point de commun avec chaque position du plan mobile; donc, etc. < |

590. Pour éclaircir ceci, supposons que la surface donnée soit did que ou conique. Si elle est conique, tous les plans tangens passeront par son sommet, et le plan demandé devra contenir à la fois ce sommet et la droite donnée ; donc il sera entièrement déterminé : donc on ne pourra pas lui imposer la condition d’être tangent à la surface du cône (*). Si la surface donnée est cylindrique , tous ses plans tangens seront parallèles à sa génératrice; donc si l’on mène par la droite donnée un plan parallèle à l’un des élémens de cette surface, ce plan sera le plan cherché : mais il est clair qu'il se trouve déterminé sans qu'on ait fait entrer en considération la condition qu'il soit tangent à la surface cylindrique ; donc en général il ne satisfera pas à cette condition. | dé +

D’après cela, les questions qui vont nous occuper ne devront s’appliquer qu'a des surfaces non développables.

391. PROBLÈME 1", Par une droite donnée , mener un plan {an ren à une surface sphérique.

Ce problème aura évidemment deux solutions. Pour les trouver, on menera par le centre de la sphère un plan perpendiculaire à la droite donnée ; il coupera cette droite en un point, et la sphère suivant un grand cercle; on menera par ce point deux tangentes à ce cercle, et si, par chaque tangente et par la droite donnée, on mène un plan, les deux plans qu'on obtiendra seront tangens à la sphère suivant les points de contact des tangentes ; c'est-à-dire qu'ils seront les plans tangens demandés. En effet, tout plan tangent en un point d’une sphère est perpendiculaire à l'extrémité du rayon qui correspond à ce point, et réciproquement (**) : or, imaginons qu'on abaisse du centre de la sphère une perpendiculaire sur chacun des plans obtenus ; ces perpendiculairés ne

(*) Nous pourrions dire qu’on ne pourra pas imposer à ce plan la condition d’être autrement tangent à la surface du cône; car tout plan mené par le sommet d’un cône peut être considéré comme tangent à ce cône (411).

(+) Cette propriété est facile à démontrer; car si l’on conçoit par le rayon d’une sphère une infinité de plans, ils couperont la sphère suivant des cercles qui se croiserant par l’ex-