CHAP. 1V. DES PL: TANG. MENÉS PAR UNE DROITE DONNÉE

ne doit pas varier dans le mouvement des tangentes autour de cette PI 29. charnière : donc les positions dg et mn de cette corde doivent couper Cr en un même point.

394. Exécution de l'épure. La sphère est comprise entre les deux plans

tangens demandés, et il est aisé de voir qu’elle est au-dessous de celui (TS, SU), qui passe par le point (2, #’), et derrière celui (PQ, QR), qui passe par le point (m, m'}; donc les contours gbk, pqæ , des projections de cette sphère, ne sont pas vus.

. En examinant la projection horizontale de l'épure, 6n voit que le plan tangent (TS, SU) couvre toute la partie du plan horizontal située du côté C de TS, et-que le plan tangent (PQ, QR) couvre toute la partie du même plan située du côté r de PQ ; donc il n’y a que la partie QASQ du plan horizontal qui soit vue. La ligne AP est sous le plan (TS, SU); aimsi, elle est cachée. La ligne AT est sous le plan (PQ, QR) ; donc elle est pareïllement cachée. Quant aux parties AS, AQ, des traces TS, PQ, elles sont évidemment vues, ainsi que la projection AB de l'intersection des. deux plans demandés.

En projection verticale, la partie du plan (TS, SU), qui se projette horizontalement dans l'angle TAB, et celle du plan (PQ, QR), qui se projette horizontalement dans l’angle BAP, couvrent évidemment tout le plan vertical et cachent tout ce qu'il contient. Il résulte de là que les traces SU, QR, ne sont pas vues, et qu'il ne doit y avoir de lignes pleines, sur le plan vertical, que la projection A’B’ de l’arête (AB, A‘B"), suivant liquelle se joignent dans l’espace les deux parties des plans demandés qui se projettent sur le plan horizontal en TAB et BAP.

: Il m'est pas nécessaire d'ajouter que les lignes AL, A'L', Sv, SL’, Qr, qui sont sur les parties postérieure et inférieure des deux plans de projection, ne sont pas vues.

395. PROBLÈME 2. Par une droite donnée , mener un plan tangent à une.surface «2 révolution.

Nous allons donner deux solutions de ce problème,

396. 1°° Solution, dans laquelle on emploie des cônes auxiliaires. Concevons deux points sur la droite donnée, et imaginons que chacun de ces points soit le sommet d’un cône circonsorit à la surface de révolution, Cette surface sera touchée par chacun de ces cônes suivant une courbe de contact facile à déterminer (353), et le point d’intersection ‘des deux courbes de contact sera le point de contact du plan tangent demandé ; car le

CES ANAMOG : LIVRE! Éif. ! PLANS TANGBNS. *1% 71,1%

plan tangent en ce point à la surface donnée passera par chacun-des sommets desideux cônes road d’où Pon voit qu’il contiendra la droite donnée tout entière. da. à

Il suit de là que le problème proposé aura autant de solutions que les deux courbes de contact des deux cônes auxiliaires auront de points communs.

397. Soit donc ([, 11") l'axe de révolution, (GH, »’i4Æ) la méridienne principale de la surface donnée, et (CD, CD") la droite donnée. Il'est clair quelé problème aura deux solutions. Pour les déterminer avec exactitude , nous ferons remarquer avant tout que si les sommets des deux cônes auxiliaires étaient très voisins l’un de l’autre, Les courbes de contact correspondantes se croiseraient sous des angles: très aigus , d’où il résulterait nécessairement que les points d’intersection de ces courbes ne seraient pas bien distincts (907). IL est aisé de sentir, d’après cela, que les points de la droite (CD, C’D”), qu il est convenable de choisir pour ces sommets, doivent donner des courbes de contact à peu de chose près rectangulaires entre elles : or, on ne sera pas loin de satisfaireà cette condition si l’on prend l’un des sommets en un point (D , D”) très voisin de la ete donnée , et Pautre à l'infini sur la droite (CD, CD). | 1. si > Cr

398. Le cône dont le sommet sera en (D, D’) touchera la surface de révolution suivant une courbe (mrns,m'r'n's"), que lon déterminera par les moyens exposés précédemment (353). : 2 *

Le cône dont le sommet sera situé à infini sur la droite (CD, C'D') aura ses aEnbns parallèles à cette droite; ainsi, ce ne sera pas, à proprement parler, un cône, mais bien un cylindre. Il touchera la surface de révolution suivant la ligne (mtunv )mtu bte que Von construira facilement par les procédés des n° 375, 396 et suivans. on

Ayant déterminé les deux courbes Gnrns, m'r'n's") ,(mtunv,m'£u'n/#"), on remarquera qu’elles se coupent aux deux points (#3, m°), (n, n'), et lon en conclura que ces points sont ceux de contact des deux plans tangens demandés. Il aurait été facile d'obtenir les traces de ces plans; mais, pour que lépure: soit moins confuse, on s’est dispensé de les

À A 3 in? 353241 VA À

construire.

399. Comme les RE des courbes de contäct (nr, mr 8) (mtunw, m'a £ pa ne se croisent pas seulèment Suivant les ‘projections »#'; n, m',n,de leurs intersections, il est nécessaire d'établir quelques règles pour que l’on ste re aisémenb les. points cherchés m et n, met n', parmiles différens points de rencontre 5, y,n,x, m: 3 W) W »% des lignes mrns, mins, mtunv, m'tun'v. D'abord nous ferons remarquer que. pour qu’un point 77 soit la projecLios d’un des points de contact des plans demandés , il faut qu’il ait un correspondant ”’ sur l’autre projection. Et comme il faut de plus que le point (m7, m'} soit l'intersection de deux arcs (wmé, v'm'£"), (emr, s'm {) , des courbes de contact, il est indispensable que ces arcs soient sur une même portion de la surface donnée; d’où l’on voit que ces mêmes ares, à l’endroit du point (#7), doivent être:surschäque projection tous deux vus ou tous deux cachés. D’après cela, les points x P£ z,#, Où se COUPVRE des arcs pleins et des arcs ponctués des deux lignes (mrns, m'rn rs); (mtuns , m'tu'n'v'),ne peuvent être les projections des points cherchés , ce qui, dans le‘cas actuel, fait connaître immédiatement ces points, et, dans tout autre cas ;'facilite infiniment leur détermination. À ‘ AIT TN UP oo. La surface prise pour exemple offre des propriétés intéressantes ;parcerqu’elle

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est de Pespèce des ellipsoïdes de sévétition et que toute surface conique ou cylindrique, qui enyeloppe un ellipsoide , le touche suivant une courbe plane elliptique (*) dont chaque projection | est toujours une ellipse (589). Cela posé, prenons pour sommet d’un cône auxiliaire le point (G,G}, où la droite donnée (CD, C'D’) traverse le méridien GH. Ce méridien divise la surface de révolution en deux parties symétriques; donc le cône qui aura $0n sommet dans le même méridien sera aussi divisé par le plan GH en deux parties symétriques; donc la courbe de contact correspondante à ce cône sera également divisée par lemmême plan en deux parties symétriques; donc le méridien GH contiendra Pun des axes de cette courbe de contact; donc elle aura son plan perpendiculaire au plan vertical : donc enfin elle sera pr Dipiée LE PO suivant une droite :K. Il sera facile d'obtenir cette droite ; car sion mène par le point G’ deux tangentes G'z, G’# à la méridienne #’1{k, elles toucheront cette méridienne en deux points é el &, qui seront des points de la droïte cherchée. Or, la surface conique dont le sommet est en (Gr, G’) touche la surface donnée suivant une GE à à laquelle, appartiennent les points Çn, m'},(n,n'); donc la projection ££ de cette courbe doit contenir les points m° et n’, ce qui fournit un moyen simple de vérifier l’exactitude des constructions précédentes. ;

| Si Von prend pour sommet d’un cône auxiliaire le point (K, K”), où la droite donnée perce le plan horizontal K’L, qui divise la surface de révolution en deux parties symétriques, la courbe de contact Épotidante aura pour projection horizontale une droite gd; passant par les points » et », et l’on aura un second moyen, analogue au premier, de vérifier les positions des points (m2, m'),(n,n).

oz. Il est clair que les courbes de contact gd et i& auront pour secondes projections deux ellipses : d’où lon voit que si Pon prend pour sommets des deux cônes auxiliaires les points (G,G’), (K, K’), on aura deux droites.et deux ellipses à déterminer, au lieu de quatre ellipses, ce qui simplifiera beaucoup les constructions.

Si la surface donnée est un hyperboloïde de révolution à deux nappes, un hyperboloïde de révolution à une nappe, ou un paraboloïde elliptique de révolution, il y aura des cônes auxiliaires, analogues à ceux dont lés $ommets sont les points (K, K°) et (G, G’), et Pemploi de ces cônes simplifiera beaucoup la résolution du problème proposé.

402. Exécution de lépure. La distinction des parties pleines et ponctuées est d’une grande i imnoriance, mais, comme elle est exposée avec détail aux n°° 363 et 382, nous xenvoyons à ces numéros.

L’ellipsorde donné est le même que sur les Dlbuthes 26 et 25; la droite (CD , C'D") est

‘parallèle à fa droite (MN, M'N') de la ge 28, et le sommet (D, D”) est le même que le sommet (M, N); pl. 26, en sorte qu’on n’a eu besoin, pour faire lé épure de la p!. 30, que de teppnier sur cette épure les résultats obtenus pl. 26 et pl. 28.

“405. 2° Solution , dans laquelle on emploie un hyperboloïde de révolution ‘à une nappe. Imaginons que la droite donnée se meuve autour de l’axe de révolution pour engendrer un hyperboloïde ; et concevons par le point de

(*) Voyez, pour lintelligence de ce numéro et du suivant, les Traités de l’application de l'Analyse à Ja Géométrie des trois dimensions. .