CHAP. 1V. DES PL. TANG. MENÉS PAR UNE DROITE DONNÉE

ce plan sera tangent à la surface donnée en (&, a’), et à l'hyperboloïde en (B, B’). Or, si l'on fait prendre à la tangente a'B’, ou (FG; a'B'), un mouvement circulaire autour de l’axe (I, l'1"), et qu'on suppose qué cette tangente emmène avec elle le plan a'B’, ce plan, dans son mouvement, ne cessera pas d’être tangent aux deux surfaces en question, suivant les positions qu’occuperont successivement les deux points (B, B'), (a, a’). Mais uwe des positions du premier de ces points se trouvera en (E, E') sur la droite donnée ; la position correspondante de la tangente (FG, a'B') se trou vera dans le plan méridien El; donc la position correspondante du point (a, a!) sera en (P, P’)}: donc le plan mobile touchera la surface donnée en (P, P'), et l'hyperboloïde en (E, E’). Et comme il ne peut toucher lhyper= boloïde sans passer par la génératrice correspondante (CD, C'D'), il coincidera avec le plan demande; donc enfin (P, P') est le point de contact de ce plan.

La tangénte b'H' conduira à une seconde solution. Pour la déterminer, on amenera le point (H, H”) en (N, N’) sur la droite donnée, au moyen d’un arc de cercle horizontal (HN, H'N'), dont le centre sera en (1, M); on menera la trace IN du méridien qui contient le point (N, N'); on amenera lé point de contact (b, b') dans ce méridien, au moyen de l'arc (ÈS, b'S’), ét le point (S, S’) sera le point de contact d’un second plan tangent à la surface donnée, passant par (CD, CD’).

Quant aux tangentes d'K', e/L”, il est évident qu’elles seront symétriques aux tangentes D'H', a’B'. Il s'ensuit que les points de contact B’ et L/, b' et d', a! et e, M! et K', seront dans les mêmes plans horizontaux B'L/, b'd', d'e', HK', et à des distances égales de l'axe de révolution; d’où l’on voit que lorsqu'on ramenera les points (K, K’) et(L, L’) sur la droite donnée, ils viendront se placer respectivement en (N, N') et (E, FE’), et les points de contact (d, d'), (e, e'), aux points déja obtenus (S, S”) et (P, P'), en sorte que les tangentes d'K’, e'L', donneront les mêmes solutions que les tangentes d'H', a'B': Malgré cela, il conviendra de mener toutes ces tangentes, parce que la condition qu’elles soient symétriques deux à deux, ainsi que leurs points de contact, fournira le moyen de vérifier l’exactitude des résultats obtenus à gauche de l’axe F'T”, par la confrontation de ceux obtenus à droite.

Nous n’avons pas mené les traces des deux plans cherchés; on connaît pour chacun d’eux un Po et une droite qu'ils contiennent, ainsi ils sont déterminés.

PL

405. Cette solution, plus expéditive que la première, est d’uneexécution assez délicate, parce qu'on n’a pas de méthode graphique simple’ pour mener les droites 4'B', D'H', tangentes à deux courbes connues, et pour:déterminer leurs points de contact a’, B', b', H'; mais elle se recormandeipar son élégance, et elle conduit allées aussi sûrement. di ‘une autre à des résultats exacts, lorsque l’on dessine avéc som. \-#HOiTia

406. Exécution de l'épure. La surface prise pour exemple est ci seb de par un cercle; elle a la forme d’un anneau et appartient à la. variété de surfaces de révolution que l’on appelle surfaces annullaires (30%).

La recherche des lignes pleines et ponctuées ne présente, aucune diff culté. On a tracé la méridienne F'H'B", L'K’G', au moyen d'élémens recti= lignes intérrompus , parce que l'hyperboloïde employé ne fait tes ni des RAR ni des résultats du problème. .: :; : 15h nl sl vere.sthis

4o7. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant données une droite quelconque et une sur face RL conque , on demande le plan tangent à la surface donnée ,.passant par la US CHE

Ilya deux procédés généraux pour résoudre ce problème: “

408. Le premier consiste à circonscrire à la surface donnée deux cônes qui aient leurs éommets sur la droite donnée : il est clair que le plan demandé ;' aura son point decontact à l'intersection des courbes de contact de ces deux cônes ; donc il:suflira de déterminer ces! eourbes (367) et le point où elles se couperont, pour avoir le plan tangent, demandé. On, a vu précédemment un exemple de cette solution (96)

4o9. Voici en quoi consiste Le second procédé qui conduit à la solution. Nommons D la droite donnée, S la surface donnée , et P un plan; perpendiculaire à la droite D, sur lequel on fera une projection auxiliaire. On commencera par construire le plan P, et le point d, où la droite donnée se projettera sur ce plan ; on déterminera ensuite 14 courbe de contact Y d’un cylindre parallèle à la droite D et enveloppant la-suürface S (386); om construira la courbe y, projection de Y sur le plan P; enfin, ontmenera , par le-point 7} une tangente ® à la courbe y, et cette tangente sera la Re et la projection du plan : tangent BEM à En effet, la ligne y sera le contour de la projection de la surface donnée sur le plan P ; donc le plan g n’aura de commun avec cette surface qué la facette infiniment petite qui se ne sur Je plan P suivant l'élément linéaire infiniment petit eommun à la courbe y et à la tangente 9 ; donc; ete. Connaissant la droite ®, on trouvera aisément les traces horizontale et verticale du plan tangent demandé: :: :. FIGE

Ce moyen de solution, sauf quelques légères modifications, est celui qu’on à employé (397) pour mener par une droite donnée un plan tangent à la sphère. : 7 0

410. Si la surface donnée était une surface développable, la ligne y serait une e ligne droite, ou le système de plusieurs lignes droites, et il ne serait pas possible de mener la tangente 9; donc iln’est pas possible de mener par une droite donnée un Fe SRORCRES à une surface développable. C’est une vérité précédemment démontrée (89). 150 RS MPOCE

La surface donnée étant toujours une surface développable, si lon veut employer le