CHAP. IV. DES PL. TANG. MENÉS PAR UNE DROITE DONNÉE

moyen des cônes auxiliaires (408) , on trouvera, pour lignes de contact, des élémens indéfinis de la surface ; en général, ces élémens ne se rencontreront pas , d’où l’on voit que l’on sera conduit à la conclusion précédente, qui est que, dans Ml) faite , le problème proposé est impossible.

4xr. Si cependant la surface donnée était un cône, les lignes de contact se couperaient suivant son, sommet ; d’où il suit que le plan mené par la droite donnée, et par ce sommet, serait tangent au coté suivant ce même sommet. Et, comme la droite donnée est une droite quelconque, il faut tirer de là cette conséquence, que tout plan passant par le sommet d’une surface eonique est tangent à cette surface. Cette vérité singulière se trouve expliquée note 5, n° 902.

ANA AR AAA AA AA AAA ORAN AA AAA AAA AAA AN AAA AAA AAA AAA A AAA AAA APN RAA AAA CHAPITRE V À .

Des plans tangens à plusieurs surfaces.

412. ÎL est facile de concevoir qu’un plan ne peut être assujetti à toucher plus de trois surfaces données; ainsi, comme nous sayons mener un plan ‘tangent à une surface isolée, par un de ses points, par un point quelconque, parallèlement à une droite donnée, et par une droite donnée, il ne nous restera plus à parler que des plans tangens à deux et à trois surfaces.

413. PROBLÈME 1°. Étant données deux surfaces quelconques ; on demande un Plan qui les touche à la fois toutes les deux.

Soient S et s les deux'surfaces données ; on menera dans l'espace un plan quelconque P ; on déterminera les courbes de contact A et Q des deux surfaces S et s avec deux ROME cylindriques enveloppantes dont les, élémens soient perpendiculaires au plan P (386). Cela fait , on constrüira les lignes À et « suivant lesquelles les courbes A et & se projetteront sur le plan P; on menera une tangenie commune ® à ces deux lignes (903) , et cette tangente sera ,sur le plan P, la traceet la projection du plan tangent demandé. En effet, les élémens linéaires communs entre les courbes d'et », et leur tangente ?, sont les projections de facettes infiniment petites des deux surfaces Lorna communes à ces surfaces et au plan ®; donc ce plan sera tangent aux surfaces S et s: donc, etc.

-Connaïissant la situation du plan @ par rapport au plan P,on déterminera facilement les traces du premier de ces plans.

414. Comme le plan P est entièrement quelconque; il est clair que le problème proposé aura en général une infinité de solutions. Ces solutions ont un lien commun, et ce lien est la surface développable qui enveloppe les deux surfaces données : car tout plan tangent aux surfaces S et s est l’'enveloppée de la surface développable dont il s’agit ; en

sorte que tout plan tangent à cette surface est une solution du problème en question, et réciproquement.

On conclura de là que pour résoudre ce problème le plus complètement possible, il convient de déterminer l’enveloppe développable circonscrite aux deux surfaces S et s.

415. Pour cela, ayant mené un plan quelconque P; ayant construit, les courbes A et a, leurs projections d'et w sur le plan P, et la tangente® aux lignes d'et « , on déterminera le point #» , où la droite g et la ligne d'se toucheront, et l’on docs pareillement le point de contact » des lignes @ et ». Ces deux points "= et n seront les projections sur le plan P des deux points Met N, suivant lesquels le plan @ touchera les surfaces S et s. Les points M et N seront situés sur les courbes A et Q ; il sera aisé de les construire, et en menant une droite MN qui les contienne, cette droite sera un élément de la surface développable cherchée. En construisant donc de nouveaux plans auxiliaires de projection P”’, P", P",etc., on obtiendra de nouveaux points M”, M", M”, etc., N°, N”, N°, etc., analogues à Met à N, et la suite des droites MN, M'N’, M'N", MN”, etc. , que l’on déduira de ces points , déterminera cette surface.

Connaissant les points M, M’, M’,etc., N,N’, N’,etc., il sera facile de construire les lignes MM'M"..., NN’N°..., suivant lesquelles la surface développable circonserite touchera les surfaces données S ets.

Nous n’appliquerons cette théorie à aucun exemple : les ombres nous fourniront loccasion de l'employer. (Voyez le Livre I®* de la Science du dessin.)

416. Si l’une des surfaces données , la surface S , par exemple, était une surface développable, la ligne d serait une ligne droite, ou le système de plusieurs lignes droïtes , et il ne serait pas possible de mener la tangente @; d’où il suit que le plan quelconque P ne conduirait à aucune solution.

Cependant, si la position de ce plan était telle que quelques-unes. des Asoites qui: remplacent la ligne d touchassent la ligne », ces droites seraient elles-mêmes les traces et les projections des solutions du problème proposé.

Il est facile de voir qu’en général , lorsqu'il n’y a qu’une des deux surfaces données qui soit développable , le problème n’est pas insoluble ; car si l’on fait tourner, autour de la surface développable S , un plan tangent à cette surface, ce plan, généralement parlant, touchera la surface non développable s, dans une ou plusieurs des positions qu’il occupera, et ces positions seront tangentes aux surfaces S et s. Nous laisserons chercher au lecteur un moyen graphique de construire ces positions du plan tangent mobile.

Si les surfaces S et s étaient toutes deux développables, le problème serait impossible.

417. PROBLÈME 2. Deux surfaces quelconques non développables.étant connues , on demande le plan tangent mené à ces saRupes fer un En Ad pris arbitrairement dans l'espace. |

Ce problème sera déterminé , et pour le résoudre il ne s'agira que de mener. da le point donné un plan tangent à la surface développable circonscrite aux deux surfaces données. On doit sentir que les opérations à faire seront en général très. compliquées: ‘en voici l'exposé. |

On construira, par le procédé du n° 415, plusieurs élémens MN, M'N', M'N", ctc., de la surface développable circonscrite aux deux surfaces données; les projections horizontales de ces élémens seront tangentes à une courbe € que l’on décrira; leurs projections verticales seront tangentes à une courbe €” que lon décrira pareillement, et l’on aura l’arête de rebroussement (&,4’) dont ces deux courbes seront les projections. Cela fait, on ménéra par le point donné, que nous nommerons K, un plan sécant quelconque ; il coupera les élémens MN, MN”, M'N', etc., suivant une suite de points 7, 7’, r”, etc.; on construira le lieu de ces points; par le point K on menéra une tangente 0 à la courbe 17 1"...5 par le point de contact de cette tangente on menera une autre tangente à larête (6, &’); cette nouvelle tangente sera un élément de la surface développable, et le plan qui passera par cet élément et par la tangente 0 sera évidemment le plan tangent

demandé.

418. Supposons que les surfaces données soient deux sphères, la solution du problème sera fort simple, ainsi qu'on va le voir.

Soit (A, A’) le centre de l’une de ces sphères, Ab son rayon, (B, B') le centre de l’autre sphère, B' son rayon, et (C, ©”) le point par lequel on demande de mener un plan tangent à ces deux sphères.

Par les points (A, A”) et (B, B') nous menerons la droite (AB, A'B'), et nous remarquerons quil y a deux cônes qui touchent et enveloppent les deux surfaces données. L’un est engendré par le plan vx, tangent extérieurement aux deux sphères et mobile autour d'elles : il a pour sommet le point (D, D’), où la droite (AB, A'B”) perce le plan vx. L'autre est formé par les intersections consécutives d’un plan mobile tangent intérieurement au système des surfaces données : il a pour sommet l'intersection (E, E’) du plan yz et de la droite (AB, A'B').

Tout plan tangent à l’une des deux surfaces coniques auxiliaires sera évidemment tangent aux deux sphères; donc, si l'on mène par le point (C, C’) des plans tangens à ces surfaces, ces plans résoudront le problème proposé. ! suit de là que ce problème aura quatre solutions; car on peut mener par le point (C, C’) deux plans tangens à chaque surface conique auxiliaire.

419. Construisons celles de ces quatre solutions qui correspondent au cône dont le sommet est en (D, D’). Et, pour abréger le discours , désignons chaque sphère par son centre, et chaque cône par son sommet.

Cela posé, nous remarquerons que le cône (D, D') touche la sphère (A, À) suivant un cercle qui peut être pris pour base du cône; que les plans tangens demandés pee par la droite (DC, D'C’); et qe > que si l'on prolonge cette droite jusqu’à ce qu’elle perce le plan de la base en un

point, chaque plan tangent passera par une tangente à la base, menée par ce même point.

Amenons le système des données, en le faisant tourner autour de la verticale dont le pied est en À, dans une position telle que le plan AD ait pour trace la droite AG parallèle au plan vertical ; il sera facile ensuite de trouver les plans cherchés, parce que cette position donnera presque immédiatement le cercle de contact de la sphère (A, A) et du cône (D, D”). Dans le mouvement du système, la sphère aura tourné sur elle-même, sans Changer de position; le point (D, D’) sera venu en (G, G’); le point (C, C’) aura décrit un arc de cercle (CH, C'H') égal à PQ, pour venir s'arrêter en (H, H”); l’axe (AD, A'D”), du cône (D, D’), se sera rabattu en (AG, A'G'); et je dis que si l’on mène par le point G’ une tangente G'e au cercle abc, et par le point de contact c de cette tangente une perpendiculaire bc à l'axe AG, bc sera la pOIERen verticale du cercle de contact della sphère (A, A)et Es cône (G, G'). En effet, concevons que le cercle (SK, abc), et la tangente (GA, G'c'), se meuvent circulairement autour de (AG, A/G!); il est évident que le cercle abc décrira la sphère (A, A”); que la droite G'c décrira le cône (G, G’), et que le point c engendrera le cercle de contact de ces deux surfaces : or, ce cercle sera dans un plan perpendiculaire à l'axe de ‘révolution (AG, A’G); donc il sera dans le plan (L}’, 12), passant par le point c, et perpendiculaire au plan vertical de projection : donc enfin il sera pr ojeté verticalement en bc.

Connaissant le plan (LT, lb) de ce cercle, on construira le paint és n') où ce plan est percé par la droite (GH, CH), que contiennent les plans tangens cherchés, et il ne s’agira plus, pour déterminer ces plans, que de mener par le point (n, n') des tangentes au cercle bc. Pour cela, on rabattra le plan de ce cercle sur le plan vertical AG, en le faisant tourner autour de l’intersection (AK, bcO) de ces plans : le centre d ne prendra aucun mouvement; donc ce même cercle rabattu sera celui DUCY, dont le centre est en d, et dont le rayon est dc. La droite Kn, perpendiculaire à l'axe de rotation (AK, bcO), viendra en #'N, et le point N sera le rabattement de (n, n°); enfin, la trace horizontale LI, du plan (LI, FE), se rabattra'suivant une ligne RT, perpendiculaire en l’ à la ligne bO. D'après cela, silon mène par le point N les tangentes NU, NV, elles appartiendr ont cite à l’un des plans cherchés; et comme elles seront rencontrées. par la trace RT du plan (LI, L'b), la première en R et la seconde en T, il sera facile d’en déduire ces plans. Ramenons d’abord le cercle bUcV das le plan 6c; la

droite RT, en tournant autour du point ([, F' )» qui restera immobile, viendra se ne. sur l'IL. Concevons ensuite qu’on ramène tout le Me dans sa position primitive, en faisant tourner le plan AG autour de la verticale À, le point (LI, F”) viendra en à; le rabattement RT, de la droite (LY’, l’), perpéndiculaire à AG, viendra en rt, perpendiculairement à AD; et les points R et T viendront en r et #, de façon que l'on ait Ai AI, ri RY, it TT. D'où l’on voit que les points ret £ du plan horizontal appartiendront aux plans cherchés; maïs ces plans passent par la droite (DC, D'C), qui perce le ‘plan horizontal en (F, F'); donc les droites rF, #F, sont les traces horizontales de ces plans. Quant aux traces verticales, on ne les a pas construites afin que l’épure soit moins confuse : il est aisé de voir comment elles s’obtiendront.

Il serait facile de se tromper en rapportant les points R et T, en r et, si l'on ne remarquaiït pas que les points R et N' sont situés du même côté par rapport à l'axe de rotation 0O : or, en projection horizontale , bO se trouve en AK, et le point N en 7; donc le point R doit être, ainsi que le point 2, derrière le plan AK ; donc Ip on ramène ce plan en AD, le point R doit étre du côté vers lequel s'avance le plan mobile, c'est-à-dire du côté A’ de AD.

420. Exécution de lépure. Comme on'n’a pas construit les traces verticales des deux plans tangens dont on s'est occupé, on suppose que ces plans n'existent pas dans l'espace, et l’on marque leurs traces horizontales en lignes mixtes (55). Toutes les autres lignes de l’épure sont des lignes de construction, hors les contours des projections des deux sphères, lesquels sont indiqués en lignes pleines.

. 421. Prosrèmr 3. Soient (A, A”), (B, B”),(C, C), des centres de trois surfaces sphériques, et Aa , Bb, Cc, les rayons respectifs de ces surfaces ; on demande un plan qui les touche à la fois toutes les trois.

« Nôus remarquerons, en premier lieu, que tout plan tangent à trois cônes qui enveloppent dé à deux les trois sphères données, est tangent à ces sphères : or , ce plan tangent contient les sommets des-trois cônes enveloppans ; maïs ces sommets sont nécessairement sur les droites (AB, A’B”}, (AC, A’C”), (BC, B'C”), ou , ce qui revient au même, dans le plan des centres des sphères : donc ils sont sur une même droite qui est l'intersection de ce planet du plan tangent.

- Remarquons, en second lieu , que les sphères données peuvent être enveloppées par six cônes, savoir : trois dont les sommets sont au-delà de l’espace compris entre les sphères qu'ils enveloppent, et trois dont les sommets sont situés entre les sphères enveloppées. Les trois premiers sont indiqués en projection horizontale, et ont leurs sommets en (D, D");

pI..33:

Œ,E"), (F, F”). Les trois derniers sont indiqués en projection verticale, et ont pour sommets les points (G, G’),(H, H'),(I, 1’).

Enfin remarquons, en troisième lieu, que lorsqu'un plan est tangent à dhix sphères, et qu’il laisse ces sphères d’un même côté, il est tangent au cône enveloppant dont le sommet est au dehors des sphères; tandis que s’il laisse les sphères de côtés différens , il est tangent au cône enveloppant dont le sommét est entre les sphères.

Céla posé désignons, comme dans le problème précédent , les sphères par leurs centres ; et les cônes 2,0 FAR par leurs sommets. +

IL est clair, 1°. qu’on pourra mener aux trois sphères un plan tangent qui les laisse d’un même côté : or, ce plan touchera les trois cônes (D , D”), (E, E”), (F, EF’); donc les sommets de ces cônes seront sur une même droite (DEF, D'E’F"); 2°. qu’on pourra mener aux trois sphères un plan tangent qui laisse celles dont les centres sont en (A, A") et (B, B') d’un même côté , et la sphère (C, C”) de l'autre côté : or, ce plan touchera les trois cônes (D, D”), CH, H”), (L, 1”); donc les sommets de ces cônes seront sur une même droite (DIH, D'TH"); 3°. qu’on pourra mener aux trois sphères un plan tangent qui laisse celles dont les centres sont en (A, A’)et (C, C’) d’un même côté, et la troisième sphère (B , B‘) de l’autre côté : or, ce plan touchera les trois cônes (E, E”’}, (G, G’),(L, 1); donc les sommets de ces cônes seront sur une même droite (GIE, G’L'E”) ; 4°. enfin, on pourra mener aux trois sphères un plan tangent qui laisse d’un même côté les sphères (B, B') et (C, C'}, et de l’autre côté la sphère (A, A”) : or, ce plan touchera les trois cônes (F, F'), (G, G’), (H, 4); donc les sommets de cés cônes seront sur une même droite (GHF, G'H'F’). Il suit donc de là que les sommets des six cônes enveloppans sont les intersections de quatre droites (DEF, D'E'F'), (DIH, D'TH'),(GEI, GIE’) et (GHF, G'H'F°) situées dans un

même plan.

Il est évident que tout plan mené par une de ces droites, tangentiellement à l’une des trois surfaces coniques dont elle réunit les sommets, touchera les trois sphères données; et comme on peut mener par une droite deux plans tangens à un cône droit, nous en conclurons qu'en général le problème proposé doit avoir huit solutions. |

On pourra facilement construire ces huit solutions, puisqu'il ne s'agira, pour en avoir une, que de mener un plan tangent au cône circonscrit à deux sphères connues, par une droite sur laquelle soit le sommet de ce cône. C’est la question qui vient d’être ré-

solue n° 419.

422. Prosrèmz 4. Étant données trois surfaces quelconques P, Q, R, on demande un plan x qui les touche toutes les trois.

Imaginons une première surface développable auxiliaire, qui touche et enveloppe les deux surfaces P et Q. Imaginons une seconde surface développable auxiliaire , qui touche et enveloppe pareillement les surfaces P et R. Il sera possible de déterminer les courbes de contact 9 et Ÿ des deux surfaces auxiliaires avec la surface P (415) : ces courbes étantsituées sur une même surface, elles auront en général des points d’intersection, et il sera facile de les construire. Soit #2 un de ces points; je dis que le plan tangent en m à la surface P sera le plan demandé : en effet, ce plan , touchant la surface P en un point des courbes @ et Ÿ, sera taugent aux deux surfaces développables auxiliaires; donc il sera tangent aux

surfaces Q etR ; donc, etc. D’après cela, on voit comment on pourra trouver toutes les solutions du problème proposé.

423. Si les surfaces données sont des sphères, les surfaces développables auxiliaires seront des cônes. Il y aura deux de ces cônes qui envelopperont les sphères P et Q (418),et ils toucheront la première de ces sphères suivant deux cercles x et y: Il y aura pareillement deux cônes qui envelopperont les sphères P et R, et qui toucheront la sphère P suivant des cercles x’ et y”. Chacun de ces cercles rencontrera en quatre points les cercles x et xUbEe conséquent, le problème dont il s’agit aura huit solutions, ainsi que nous Pavons

déjà dit (421).

424. Si l’une des surfaces données était développable, le problème serait impossible ; car, si Pon imagine que cette surface soit celle qu’enveloppent à la fois les deux surfaces auxiliaires , les lignes de contact 9 et seront des élémens de la surface développable donnée, et:ces élémens , en général , n’auront pas de points communs.

Le problème serait à plus forte raison impossible si deux des trois surfaces se trouvaient en même temps développables.

Nous n ’appliquerons ( cette solution : à aucun exemple.

FF