CHAPITRE PREMIER

Des intersections de plans et de surfaces courbes.

427. PROBLÈME 1%. On donne un cylindre et un plan, et l'on demande , 1°. leur intersection commune ; 2°. le rabattement de cette intersection ; 3°. la transformée de la même intersection sur le déve-

loppement du cylindre.

+. énoncé de la question laissant le choix des plans de projection , nous prendrons. pour plan horizontal un plan perpendiculaire à la génératrice du cylindre donné, et pour plan vertical un plan à la fois perpendiculaire au plan horizontal et au plan donné.

428. D'après cela, soit (PQ, QR) le plan donné, et ABCD... la trace horizoïtale de la surface cylindrique donnée. Tous les points de cette surface auront leurs projections. horizontales sur la courbe ABCD..., et ses élémens seront des droites verticales (A, aA), (B, PB”), (C, cC”).…., etc.

De même que les points du cylindre donné se projettent horizontalement sur une ligne ABCD..., ceux du plan donné se projettent verticalement sur la droite QR; donc les points de l'intersection cherchée , devant se trouver à la fois sur le cylindre et sur le plan donnés, se projetteront horizontalement suivant ABCD..., et verticalement suivant QR. Et comme les élémens du cylindre sont tous compris, en projection verticale, entre les contours a’ et gG', les points de l’intersection cherchée ne pourront occuper sur QR que la partie AG’; donc cette intersection sera la courbe (ABCD..., AG”).

D'où l’on voit que, d’après le choix que nous avons, fait des plans de projection , l’intersection demandéé se trouve représentée immédiatement au moyen des lignes qui figurent les données. | |

429. Construisons maintenant le rabattement demande. Pour cela , il ne s'agira que de rabattre le plan (PQ, OR) sur l’un des deux plans de projection , ou sur un plan parallèle à l'un de ces deux plans, et l’intersection (ABCD..., AG’) viendra s'abattre sur ce plan suivant la courbe cherchée. Soit MN , par exemple, un plan vertical parallele au plan vertical de projection, ce plan et le plan donné (PQ, QR) se couperont suivant une droite (AG, A'G”). Imaginons que lé plan donné tourne autour de cette droite jusqu’à ce qu'il coïncide avec le plan MN : dans le mouvement, les différens points de l'intersection (ABC... , A'G') ne changeront pas de situation par rapport à l'axe de rotation; donc les points (F, F’), (H, F’), situés sur la droite (FH, F’), perpendiculaire à cet axe au point (0, F’), et distans de ce point des longueurs OF, OH, seront, après le mouvement, sur la droite @F'n perpendiculaire en F' à l'axe A'G', à des distances du point F’, @F" — OF, EF’ — OH; c’està-dire que ces points seront, le premier (F, F’) en ©, et le deuxième (H, H”) en n.

. En faisant les mièmes constructions sur d’autres points de l'intersection

demandée, on déterminera le rabattement A'6ydkoG'..., qui n’est autre chose que cette intersection dans sa véritable grandeur. d

430. Passons à la construction du développement du cylindre donné, et de la figure que prend sur ce développement l'intersection (ABCD:..,

Concevons que tous les élémens de ce cylindre soient autant de charnières , et imaginons que les petits plans formés par deux élémens consécutifs quelconques tournent , autour de ces charnières, jusqu'a ce qu'ils soient tous compris dans un même plan ; l’ensemble de leurs nouvelles positions formera le développement cherché, et il est clair que la courbe ABCD... sera une droite sur ce développement. En effet, tous les élémens du cylindre sont perpendiculaires à cette courbe; donc elle sera composée, dans le développement, d'une infinité de petites droites comprises chacune entre deux élémens voisins et perpendiculaires à ces élémens : or, dans le mouvement, ces deux élémens consécutifs conserveront leur parallélisme ; donc, après le mouvement, tous les élémens seront encore parallèles ; donc toutes ces petites droites formeront une droite unique.

D'après cela, il sera facile d’avoir le développement du cylindre donné. Soit a'a” une droite quelconque tracée sur un plan; prenons ce plan pour celui du développement cherché, et prenons la droite a‘a! pour représenter sur ce développement la courbe ABCD...A. On portera les arcs AB, AC, AD... , à partir d’une origine commune a/, de a! en b!, de a en c', de «en d’, etc., sur la droite a'a"; par les points-4, D, c!, d'.…., on élevera des droites a'A", b'B", c’C"... , perpendiculaires à aa", et l'ensemble de ces droites représentera le développement du cylindre.

451. Pour rapporter la courbe (ABCD..., AG) sur ce développement , on remarquera que les points (A, A”), (B, B'}, (C, C’)..., de cette courbe, sont, sur les élémens (A, aA”), (B, BB"), (C, cC’)..., audessus du plan horizontal , c’est-à-dire au-dessus de la courbe ABCD. .., des hauteurs respectives a’, BB’, cC', etc., et l’on en conclura qu’en portant ces hauteurs de 4’ en A", de b' en B", de c’ en C”, et ainsi de suite, les points A", B", C”... appartiendront à la transformée demandée : ‘dede en léuhiéent ces points par une ligne A"B"C"... on aura cette tra fi ele: .

432. Nous ferons observer que lorsqu'il arrive, comme dans la figure prise pour exemple, que la courbe ABCD...A soit fermée, rien ne dit

que la sérié des arcs AB, AC, AD, etc., soit terminée à l’un de ces P1. 34. ares ; donc il est nécessaire d'admettre qu’elle soit indéfinie, c’est-à-dire que la courbe ABCD...A soit formée d’une infinité de circonvolutions , qui partent du point À, tant d’un côté de ce point que de l’autre côté, et qui se rectifient sur la droite indéfinie «’a”, depuis le point a! jusqu’à l'infini à gauche de ce point, et depuis ce même point jusqu’à l'infini à droïte. IL suit de là que l'arc A"G'A/ n’est qu'une partie de la transformée A"B'C'D"..., et que cette courbe s'étend à l'infini à droite et à #aüche de l'élément 4’ A".

IL ést aisé de voir que lorsqu'on aura porté l’arc ADGKA de a’ en 4", il né s'agira, pour développer l'arc ADGKAB , que de porter AB = «'b', au-delà du point 4", jusqu’en un certain point que nous nommerons d", et que, pour avoir le point correspondant de la transformée , il faudra porter la hauteur bB' = D'B", au-dessus du point P". D'où l’on voit que les points de la transformée qui suivent le point A” sont placés les uus par rapport aux autres, comme ceux qui suivent le point A" sont placés aussi les uns par rapport aux autres. Nous conclurons de là que la transformée de l'intersection demandée est composée de parties égales à l'arc A"G’A"" ; lesquelles s'ajoutent les unes aux autres, et ont pour longueur commune le développement a’a"' d'une circonvolution de la courbe ABCD. ..A (*).

433. Connaissant les deux projections ABCD...A, AG’, de l’intersection cherchée, son rabattement A'6,d....A!, et sa transformée A'G'A/”..., on devra parfaitement se figurer la situation de cette courbe sur le cylindre ABCD... Et s’il fallait la décrire sur un cylindre solide, égal au cylindre donné, la transformée A"G'’A"' en fournirait un moyen à la fois fort exact et fort simple : car il ne s'agirait que de prendre la surface plane A"a’a"A"G"A", et de la rouler sur le cylindre solide de manière que les points 4’ et a” coïncidassent en un seul ; alors la ligne A'"G'A/" formerait, sur ce cylindre, une courbe tout-à-fait égale à l’intersection (ABCD...A, AG”).

454. Si l'on avait fait un autre choix de plans de projection, l'intersection demandée ne se serait pas trouvée immédiatement représentée ;

" € (”) Si le cylindre donné est comme dans l’épure un cylindre à base circulaire, la ligne rabattue A’6y... A’ sera elliptique (581), et la transformée A’G"A” sera une sinusoide.

(Voyez Note 7.)

PToÿis

mais On l’aurait déterminée aisément, en construisant les points de reucontre des élémens du cylindre donné avec le plan donné (623).

435. Exécution de l'épure. Le rabattement A'6d'«@G'1A, ‘de: la courbe demandée, étant situé dans le plan vertical MN, il est caché par la partie antérieure du cylindre donné ; donc les arcs de ce rabattement, qui sont compr is entre les droites «À, gG”, doivent être ponctués. Il est facile de voir comment les autres ligues dont nous avons parlé doiventré être mises au trait.

Le développement complet d’un cylindre à base cité couyre entièrement un plan indéfini ; mais, comme nous n’avons développée que la partie du cylindre donné qui est comprise entre le plan, horizontal de projection et le plan horizontal XY, l’épure n’est couverte par le développement obtenu qu'entre les droites parallèles a'a!, 274 La dernière de ces droites, construite de facon qu'on ait dx = gaz juest évidemment la transformée de l'intersection du SAR CEE 4 donné et du plan XY.

On parlera plus loin (502 — 504) des trans qgE,n@ et ge.

436. PROBLÈME 2. Trouver, 1°. l'intersection d'un cône droit et

‘dun plan ; 2°. le rabattement 4Ë cette intersection ; 3°. la transformée

de la méme intersection sur le développement de la surface du cône.

Lorsqu'on résout un problème, on doit employer les moyens les plus

‘simples pour arrriver à sa solution; d'après cela , nous prendrons pour plan horizontal un plan perpendiculaire à l'axe du cône, et pour plan vertical un plan à la fois perpendiculaire au plan donne et au plan

horizontal.

Soit donc (A, A”) le centre du cône donné, BCDE le cercle décrit du point À comme centre, suivant lequel la surface de ce cône coupe le

‘plan horizontal; enfin , soit (EE FD”) le plan coupant donné. Le contour de la EU verticale du cône sera évidemment formé par les éle-

‘mens (RAQ, R'A'U), (QAR, Q'A'S).

437. Cela posé, on voit, d’abord que les UE (B,F), (C, EF), a M)

‘et (G, G), appartiennent à l'intersection cherchée ; les deux premiers, parce qu'ils sont communs aux traces, des deux surfaces données , et

les deux derniers, parce qu'ils sont ceux où les élémens (RAQ, K A),

(QAR, Q'A'S) » percent le plan (LF, FD”).

Pour avoir d’autres points de cette intersection, on menera des élé-

mens (H'A, HA’), (HA, HA); du cône; on déterminera les points ({', 1), (l”, D), où ils percent Je plan (LF, FD’), et ces ‘points appartiendront à la courbe cherchée. En menant donc üun grand nombre d’élémens du: cône donné, on trouvera: autant de points de cette courbe qu'on en voudra, et l'on cd à bientôt décrire ses deux branches are FM’), Re D'G). il |

À: a: nie inspection es la éco on: voit ciel qu'en prolondita indéfiniment le cône et le plan (EF, FD'), ces deux surfaces conti nueront. tanjomrs de se couper; d’où il suit que les branches (B'MI"'C, FM’), Re D'G'), s'étendent à l'infini (*).

458. Cherchoôns maintenant le rabattement de l'intersection obtenue. Pour le trouver, nous imaginerons que le plau coupant (LF, FD’) tourne autour de sa trace verticale FD’, et viénné se rabattre sur le plan vertical; dans le mouvement qui aura lieu, chaque point ([', D) de la courbe (BYML'C. .....DGE, FD”) décrira un cercle dont le plan Ii'sèra pér= pendiculaire à la charnière; et dont le rayon sera la distance N[' du point (l', 1) à la droite FD’ : donc, si l’on porte cette distance de T en z, le pot i sera le rabattement du point (F', I). En opérant de la même mamière sur d’autres points de l'intersection (BI'MI"C...DGE, FD 7), on trouvera de nouveaux points du rabattement de cette Courbe , et lorsqu'on ‘äura un nombre suflisant de ces points, on décrira les deux branches 4 D'im'c’, plp!"', du rabattement demande.

439. Nous ferons remarquer que l'intersection du plan et du cône

donnés est composée de deux parties symétriques par rapport au plan RQ. Il en résulte que si l’on porte la distance Ff, de F en f', sur une droite F/’ perpendiculaire à la charnière FD’, et qu'on ut la ligne f'y parallèle à à FD’, cette ligne f’y divisera le rabattement 4'im'Jc'.. .plp".. “en deux parties symétriques ; en sorte qu'après avoir mené é la ligne IT. 4 perpendiculaire en [à la charnière, il suflira, pour avoir deux points à et J de la courbe rabattue , de porter la distance Tl'= TT, de T’ en i et de T’ en J.

Comme la forme de la courbe b'imJc!. .--plp” est indépendante de la grandeur Ff , ilest clair qu’en Re les points de cette courbe, au moyen de la ligne f'y , ainsi qu on vient de construire les

(*) Ces deux branches forment une hyperbole (583).

ct

Fig. 7.

points ë et J, on pourra prendre la distance Ff absolument Red Cette conséquence s’appliquera au problème qui suit « : «\

440. Pour construire ‘le développément du cône dontié, on rerñarz quera que tous les points de ce cône, situés sur le cercle (BCDE, RQ", sont à la même distance A'R’ du sommet (A, A”), et qu'ils forment par coriséquent , sur le développement cherché, un arc de cercle dont.le rayon est AR. D'après cela, prenons sur un plan un point a; méñons paf ce point une droite rau, que nous prendrons pour représenter l'élément (RAQ, R'A'U) ; décrivons du point &æ comme centre ; avec lé rayon ar= MR, un arc de cercle qgrq'; portons sur cet arc, à partir du point r, l'arc RBEQ de r en q, et à partir du même point r, mais dans le sens opposé , l'arc RCDQ de r en g'. Enfin, menons par les points g, g', ét PRE le peint a, des droites indéfinies ga, q'a : les deux secteurs opposés qaq's sas, que l'on obtiendra , représenteront le développement de la surface du cône {(A, A’), (BCDE, R’Q')}. En effet , imaginons qué cette surface s'ouvre suivant l'élément (QAR, Q'A'S), pour se développer sur le plan tangent en (R, KR’); la droite (RA, R'A) se trouvera être, sur le développement, une certaine droite r& égale à R'A”; la circonférence QDCRBEQ se trouvera être un arc g'rq, décrit du point a comme centre avec le rayon ar, tellement que les lorigueurs développées de cet arc et de la circonférence QDCRBEQ soient égales entre elles. Donc l'élément (QAR, Q'A'S) se trouvera dans les deux positions gas, q'as'; donc le sec teur gag! sera le développement de la nappe inférieure du cône , et le secteur sas”, celui de la nappe supérieure : donc enfin ces deux secteurs représenteront le développement du cône donné.

441. K sera aisé de rapporter sur ce développement la section (BMC... . DGE, FD’); car si l’on porte l'arc RH’ der en Z/, et qu’on mène la droite k'a, cette droite représentera l'élément (H’A, HA) : or, cet élément contient un point (l!, I) de cette section, et ce point est situé vers le sommet du cône, à une distance (HT', HI) du point (H', H); donc si l'on construit cette distance et qu’on la porte de k' en ÿ”, le point ?’ sera, sur le développement du cône, la position qu’occupe le point ([', I). On trouvera par le même moyen la position £” du point ([", I), et en répétant cette construction sur un assez grand nombre de points de la section (BMC...DGE, FD'), on obtiendra la transformée cimib:...dp"g...gp'e... de cette section.

Comme nous avons supposé que pour développer la surface donnée ‘on

ouvrait cette surface suivant l'élément (QAR, Q’A'S), il est clair que la branche supérieure de l'intersection demandée se trouve divisée en deux parties dp"g", gple, sur le développement du cône.

442. Pour fixer les idées sur des parties bien connues du cône donné, nous ayons coupé ce cône par un plan horizontal SU, situé au-dessus du plan horizontal à une hauteur égale à deux fois aA', et nous ne nous sommes occupés que de la partie du cône {(A, A”), (BCDE, R'Q')}, située entre les plans R'Q', SU. IL est évident que tous les élémens de ce cône font le même angle avec la droite (A, aÂ'a”), et il en résulte qu'ils percent le plan SU en des points éloignés du point (A, A”) d’une même distance A'U=— AR; donc le bord SU de la nappe supérieure du cône est sur le développement de ce cône un arc sus! du même rayon que q'rq.

C’est aussi pour fixer les idées sur des parties bien connues des données, et en même temps pour simplifier l’épure, que nous avons supposé que le développement g‘rq , du cercle QDERBEQ, s’arrétait en g et q' : car, après la convention de placer le point R en r, il était naturel de porter Les arcs RH, RB, REQ, REQC, etc., dé r en #’, de r en b, etc., sans s'arrêter à aucun point Q; et de porter pareïllement RH", RC, RDQ, RDQB, etc., en r#", rc, etc. , sans s'arrêter non plus à aucun point Q. De cette manière, les circonvolutions infinies de la trace BCDE se seraient développées sur une infinité de circonvolutions du cercle wsq'rgs'; les branches de courbe ci'mr'b, dp"g", gp'e, se seraient reproduites à l'infini, et les deux dernières, au lieu de s'arrêter à des points g’ et g, se seraient liées à d’autres branches sans que ces points eussent rien de remarquable.

Si le plan donné (LF, FD") avait eu pour trace verticale une droite rx, il n'aurait coupé que la nappe inférieure du cône , et l’intersection demandée aurait été, comme dans le problème précédent, une courbe fermée. Pour mettre plus de variété dans les lignes qui composent les épures, nous avons choisi la trace FD’ de facon que le plan (LF, FD’) coupe à la fois les deux nappes du cône; maïs il résulte de là cet inconvénient, que les élémens de ce cône percçant le plan (LF, FD”) sous des angles fort aigus, il est difficile de dessiner l’épure avec exactitude. On obviera à cet inconvénient en déterminant les points de l'intersection cherchée par le procédé suivant.

443. La surface donnée est une surface de révolution dont l’axe est (A, aa”), et dont la méridienne principale est le système des deux droites

(RQ, R'U), (QR, Q'S); donc, si l'on coupe le plan et le cône donnés par

et

Fig. 1:

un plan horizontal quelconque1IK’, ce plan déterminera.sur le cône {(A, A’), (BGDE, R'Q)},une section circulaire (LIP'KP', IK°), et sur le plan (LF, FD’) une section rectiligne (ON, I); ces deux sections, situées, dans le même plan, se réncontreront:en général en deux points (1, I), P, D), qui appartiendront évidemment à l'intersection cherchée. in

Si la position VK" du plan auxiliaire. coupe la nappe supérieure du cône, les sections (KP’T'TT'P", K'V), (PP", P), se rencontreront en. deux points (P', P), (P”, P), de la branche (DGE, G'D'), de cette intersection. 4

444. On peut remarquer que tous les points d’un cercle VK”, de la surface donnée, étant éloignés du sommet (A, A") d’une même parquet AK", les s,points de ce cercle sont nécessairement distribués, sur le développement du cône, suivant les points d’un are circulaire 4p"kp' #!, dont le rayon ak égale A'K". Il résulte de là que pour rapporter sur ce développement les points (P’, P), (P”, P), il suffira de décrire avec un rayon A’K” l'arc zkv', et de porter les arcs égaux Re KP”, de Zen p'et de 4 en P', sur ce même arc tkt. Les points p' et p", que l'on trouvera ainsi, seront les points cherchés.

Le plan IK' ayant été mené de manière que la droite KK" soit perpendiculaire à la ligne de terre, les deux cercles IK’, VK”, ont même projection horizontale, et occupent sur le développement les arcs 4h! sie", du même cercle kt'é"ÿt". Et comme le cercle IK/ passe par les ponts (l' D), (1”, D), le cercle (424) doit nécessairement contenir les points £ et 1”. | RS

445. Si le cône donné, au lieu d’être un cône droit, était un cône quelconque , . l'intersection der et son rabattement s’obtiendraient de mème par les procédés des n® 437, 458 et 430. Mais il faudrait employer des moyens que nous Gposgrons plus loin (629), si l’on voulait obtenir le développement de ce cône et la transformée de l'intersection demandée.

446. Exécution de l'épure. On a supposé que le plan et le cône donnés étaient terminés au plan horizontal SU : il en résulte, 1°. que sur la projection horizontale, la nappe inférieure du cône est exactement cachée par sa nappe supérieure; 2°. que la branche BMC de l'intersection demandée doit être ponctuée ; 3°. que.la section SU, qui termine la partie supérieure du cône, se projette horizontalement suivant le cercle BCDE, et que ce cercle doit par conséquent être indiqué au moyen d’une ligne pleine; 4°. que la partie du plan donné, que l'on considère dans l’épure , est comprise entre les horizontales (LF, F), (ED, D’), la dernière , vue dans, toute sa

longueur sur la projection horizontale, et la première, cachée seulement dans la partie BC, qui est située sous le cône donné.

La branche supérieure DGE de l'intersection demandée est évidemment vue, ainsi que les projections verticales FM’, G'D', des deux branches de cette intersection.

Le plan VK" coupe le cône suivant un cercle (TP*KP', VK"), vu en projection verticale , et en projection horizontale caché seulement par la petite partie PD’ du plan donné. L’intersection du même plan VK", avec le plan (LF, FD), est une droite (P'P", P), qui n’est cachée, en projection horizontale, que par la portion du cône comprise entre les cercles VK” et SU.

Le plan IK’ coupe le cône suivant un cercle (TP'KP’, IK’), qui est vu en projection verticale, et qui, en projection horizontale, se confond avec le cercle (TP'KP”, VK"). Le même plan IK’, et le plan donné (LF, FD”), se coupent suivant la droite (ON, I), qui n’est évidemment vue, sur le plan horizontal , qu’au dehors du cercle BCDE.

Les élémens (H'X’, HA'), (H'X", LE) , ne sont vus, en projection horizontale , qu'a partir des points z et z', où ils sortent de dessous le plan donné FD.

Le rabattement demandé est fait sur le plan vertical; ainsi, il ne peut être vu qu au dehors des projections UE R'A’Q", de nappes de la surface conique.

Quant au développement SE cette surface , il est évident qu'il est entièrement vu.

Il sera parlé plus loin ( 505 — 513) des autres Je de l’épure dont on ne dit rien ici.

447. PROBLÈME 3. Une surface de révolution quelconque étant donnée , on demande son intersection avec un plan connu.

Prenons pour exemple un hyperboloïde de révolution à une nappe (236), et choisissons pour plan horizontal un plan perpendiculaire à l’axe de révolution, et pour plan vertical un plan à la fois perpendiculaire au plan donné et au plan horizontal.

D'après cela, soient (A, A’A") l'axe de révolution , (BC, B'C’) la droite génératrice de la surface donnée , et (DE, DF) le plan donné.

448. Coupons les deux surfaces données par des plans horizontaux ; chacun de ces plans aura pour intersection avec le plan donné une

droite, et avec l'hyperboloïde un cercle : cette droite et ce cercle se couperont en général en deux points, et ces points appartiendront évidemment à la courbe cherchée. Soit G'H un de ces plans ; il coupera le plan (DE, DF) suivant la droite (H'H”, H), et la génératrice (BC, B'C') suivant le (G, G”) : or, ce point, dans la génération de l’hyperboloïde, aura décrit un cercle situé dans le plan G'H; donc si nous décrivons du point À comme centre, ayec le rayon AG, un cercle GIl', ce cercle sera la projection horizontale de l'intersection du plan G'H et de la surface donnée : donc les points I, l’, seront les projections horizontales des deux points (I, H), (l’, H) de la courbe cherchée (KIST’, K'S”). En menant de nouveaux plans horizontaux , et en opérant sur ces plans, comme on vient d'opérer sur le plan GI, on obtiendra de nouyeaux points de cette intersection, et l’on pourra bientôt la construire.

449. Pour qu’elle soit bien tracée, dans le cas particulier pris pour: exemple, il importe d'obtenir directement les points (K, K”’), (S, S’), où elle perce le méridien principal cB. Or, si l’on fait attention que ces points résultent nécessairement de l'intersection de la droite (cB, DF), avec deux des positions que prend la génératrice (BC, B'C’), quand elle se meut pour produire l’hyperboloïde , on découvrira aisément le moyen suivant d’avoir ces points.

Imaginons que la droite (cB , DF) tourne autour de l'axe de révolution : elle engendrera dans son mouvement un cône dont le sommet sera en (A, a), et dont la trace horizontale sera Je cercle cde ; ce cône sera percé en deux points par la génératrice (BC, B'C”), et ces points apr partiendront à deux élémens différens du cône. Concevons qu'on ramène ces deux élémens, un à un, dans la position (cB, DF), en les faisant tourner circulairement autour de (A, A’A"), et que chacun d'eux soit suivi, dans son mouvement, par la génératrice : il est clair que cette: génératrice viendra prendre és deux positions où elle rencontre la ligne (cB, DF) suivant les points cherchés, et de plus , que cés points seront ceux où viendront s'arrêter les intersections du cône et de la génératrice. D'après cela, il ne s’agit plus que d'opérer. Menons un plan par le sommet (A, a) et par la ligne (BC, B'C) : ce plan passera par la droite (AB, ab”), parallèle à (BC, B'C’); donc il aura pour trace horizontale la ligne Bb ; donc il coupera le cône suivant les deux élémens eAm, dniA. Mais la génératrice (BC, B'C’), coupe ces élémens en deux points dont les projections horizontales sont en m et n; si donc nous ramenons les élémens

eMm et dA, dans la position cA, le point 2 viendra en K, le point m viendra en S, et les points cherchés (K, K’) et (S, S') seront déterminés.

450.-Si on veut construire l'intersection (KISF', K/S/), dans sa véritable grandeur, il ne s'agira que de rabattre son plan sur le plan vertical , comme ôn a fait dans le problème précédent (438). Pour éviter que ce rabattement ne sorte du cadre, et attendu que l'intersection demandée est divisée en parties symétriques par la droite (KS, K'S'), on a fait üsage, en employant le procédé décrit n° 439, de l'observation qui termine ce numéro. En conséquence, on a pris tout simplement la droîte ks, parallèle à DF , pour représenter le rabattement de (cB, DF); et pour avoir les poirits quelconques (E, H), (F, H), rabattus, il a sufh d'élever par le point H la droite Hi Rare à DF, et de porter les distances ZI — ZF', de zen iet de zen r’, ce qui a donné les points : et à

du rabattément Aïsi’ de l'intersection demandée. On voit comment, avec

d’aütres points, construits comme z et? ; on a pu décrire ce rabattement.

451. I est clair qué la solution que nous venons d'exposer s'applique à toute espèce de surface de révolution.

- Dans le cas que nous avons choisi pour exemple ; on peut résoudre le problème par un autre moyen, que nous allons développer , et qui consiste à déterminer des élémens de l’hyperboloïde, et à construire directement les points où ils percent le plan donné.

Pour employer commodément ce moyen, on décrit d’abord les deux cercles (BMR, B'T), (CPLO, O’C'P'), de l'hyperboloïde. Le premier, engendré par le point (B, B’), de la droite (BC, B'C”), est la trace horizontale de cette surface; et le second, engendré par le point (CG, C’), de la génératrice (BC, B'C”), est ce que nous avons appelé la gorge de l’hyperboloïde (238). Connaissant ces deux cercles, on trouvera autant d'élémens de la surface donnée qu'on en voudra; car les projections horizontales de ces élémens sont toutes tangentes au cercle CPLO. Si donc on prend un point M sur la trace BMR; que l’on mène par ce point la droite MO, tangente en O au cercle CPLO ; que l’on mette les points O et M en projection verücale , le premier en 0’ sur O'P’, le second en A’ sur DB’, et que l’on mène A'0”’, la droite (MO, A0”), ainsi déterminée , sera un élément de l’hyperboloïde , et le point (Y, Y’), où cet élément perce le plan (DE, DF), sera un point de l’intersection demandée. On voit par là qu'en construisant un nombre suffisant d'élémens de la surface donnée on déterminera facilement cette intersection.

PI. 37. Ayant obtenu un point (Y, Y”) de (KYIS/', K’S”), ou menera par le point Y’ la droite Y'y, perpendiculaire à DF ; on portera XY de x en y et de æen y’, et l’on aura deux points y et y’ du rabattement Ay'i'siy.

Les constructions que cette solution exige offrent l'avantage de dessiner l’hyperboloïde. Et lorsque les élémens dont elle nécessite la construction sont assez rapprochés les uns des autres, ils déterminent les branches de courbe B'P'S’, TK'Q, qui forment tout-à-la-fois la méridienne principale de la rte donnée, et le contour de la projection verticale de cette surface.

452. Exécution de l'épure. Afin que la partie supérieure de l’hyperboloïde, et le rabattement Aïsy , ne se confondent pas, on a supposé que l'hyperboloïde ne-se prolongeait pas au-dessus du plan donné (DE, DF).

D'après cela, ce plan occupe la partie supérieure du système ; ainsi, en projection horizontale, tout ce qu'il contient est vu; et 1l cache tout ce qu'il ne contient pas. Donc l’intersection demandée et les droites DE, (HH”", H), sont les seules grandeurs vues en projection horizontale.

En projection verticale, toutes les parties des élémens situées en ayant du méridien cB sont vues; et toutes celles qui sont en arrière de ce méridien sont cachées. Or, les points où ces élémens percent le plan cB sont les points de la méridienne B'P'S', TK'Q, suivant lesquels les projections verticales de ces élémens touchent cette même méridienne ; donc les élémens de l'hyperboloïde cessent d'être vus, ou commencent à étre vus, en projection verticale, aux points où ils touchent le contour, B'P'S", TK’Q. Cette conséquence suflira pour déterminer toutes les parties. sibinse et ponctuées des lignes de la projection verticale (*).

453. PROBLÈME GÉNÉRAL. Trouver l'intersection d'un plan et d'une surface quelconque.

De quelque manière que le plan donné et la surface donuée se trouvent: représentés , le moyen général de solution consiste à trouver les points où un nombre suffisant de positions de la: BénÉrRIEes de la surface courbe per-: cent le plan coupant; car il est clair qu’en joignant ces points par une courbe , cette courbe sera l'intersection demandée.

(") Le lecteur pourra facilement démontrer que la méridienne de la surface donnée jouit de la RÉ opriété exposée n° 580 , et qu'en conséquence cette méridienne est une hyperbole. I] s’ensuivra que la dénomination d’hyperboloïde de révolution à une nappe est d'accord ayec ce qu’on a yu n° 209.

… Les problèmes qui précèdent ont fait voir que le choix des plans de projection pouvait quelquefois simplifier beaucoup les constructions. Mais il n’est pas toujours possible de se donner ces plans : souvent ils sont fixés par les données du problème, et dans ce cas on est réduit à déterminer l'intersection demandée par le moyen que nous venons d'exposer, à moins que le cas particulier que l’on traite ne présente quelque procédé plus exact ou plus simple que le procédé général.

AARANANA AAA AN AA ANAAAAA AAA AAA AAA AAA AAA AA AAA RAA AA ANA AAA AAA AAA AAA VAT ANA AAA VAAAAANANANAN AAA ANA