CHAPITRE IL

Des intersections de surfaces courbes.

454. PROBLÈME 1". Trouver l'intersection commune de deux cydindres.

Supposons ces cylindres donnés par leurs traces horizontales, et soient (ABCD, B'D) celle du premier , (EFGH, FH”) celle du second, (AI, AT) la génératrice du premier, et (EJ, E'J") la génératrice du second.

. 455. Nous remarquerons que si l’on mène dans l’espace une suite de plans à la fois parallèles aux deux génératrices (AI, AT), (EJ, E/J); chacun de ces plans coupera en général le premier cylindre suivant deux élémens, le second aussi suivant deux élémens, et que ces quatre élémens auront quatre points communs ,. qui seront des points de l’intersection demandée.

. I résulte de là un procédé fort simple pour obtenir cette intersection : car les plans auxiliaires, étant à la fois parallèles aux deux génératrices , sont nécessairement parallèles entre eux, en sorte que lorsqu'on connaît un,de.ces plans, on en mène aisément autant d’autres qu’on en veut.

- 456. Soit (K, K’) un point quelconque de l’espace ; menons par ce point deux droites, l’une (KL, KT), parallèle à la génératrice (AI, AT); l'autre (KM; KM’), parallèle à la génératrice (EJ, E’J"); la première de ces droites percera le plan horizontal en un point L; la seconde le percera en un point. M, et la droite LM sera la trace horizontale d’un des plans auxiliaires en question. Opérons au moyen de ce plan; il ne sera pas nécessaire pour cela de construire sa trace verticale.

La trace LM, du plan auxiliaire que nous appellerons LM, cowpera les traces ABCD , EFGH, des deux cylindres donnés, en quatre points (N, »), (0,0), (P, p); (G; g); par ces points menons les élémens (NN'; #N'), (00', 00"), (PP, PP"), (GG', gG") : ils Seront dans le méme plan LM; donc ils se couperont en quatre points (Q; g), (R, r), (S, s); (T, #); de l'intersection demandée. En menant donc de nouvelles droités, parallèles à LM, que l’on considérera comme les traces de nouveaux plans auxiliaires, et sur lesquelles on exécutera les opérations que nous venons de faire sur LM, on déterminera d’autres points de la courbe cherchée (aeQSuziwTRca; a'qsyz'xtra’) ; et lorsque ces points seront en nombre suflisant, on décrira les projections de cette courbe.

457. Pour que les constructions soient satisfaisantes, il sera bon de prendre entre autres plans auxiliaires que l’on emploiera , 1° ceux comme AZ , dont la trace touchera la base ABCD d'un dés cylindres donnés, 2 ceux, comme UV, qui contiennent un élément dont la projection La izontale VU" sert de contour à la projection d’un des cylindres donnés ÿ

° enfin, ceux comme HY Ai tre contiennent un élément dont la projection ver te H'H" sert de contour à la projection d’un deces mêmés cylindres. On va voir, en effet, que ces plans auxiliaires donnent des points de k courbe cherchée qu'il importe d'obtenir , parce qu ils font connaître im= médiatement les deux projections , ou au moins l’une des deux projections, des tangentes à cette courbe sh tane ces points. Opérons pour cela sur les plans auxiliaires AZ , UV, HY.

458. Le plan AZ n'aura de commun avec le évhsdié dont la base est ABCD, et que pour abréger nous nommerons le cylindre ABCD ; que l'élé= ment (AI, AT), qui passe par le point A. Le même plan coupera le cylindre EFGH suivant deux élémens (EJ , E‘J”), (ZZ', Z’Z"),, lesquels rencontreront l'élément (AL, AT) en deux points (a, a'),(z, 2), de l'intersection demandée. Or, la droite AZ étant tangente en A au cercle ABCD, le plan auxiliaire AZ sera tangent au cylindre ABCD tout le long de l'élément (AI, A1); donc ce plan contiendra les facettes infiniment petites de ce cylindre auxquelles appartiennent les points (a, 4’), (z, z'): donc il contiendra les élémens linéaires infiniment petits de la courbe cher chée qui correspondent à ces points. Mais ces élémens linéaires sont aussi, sur des facèttes du cylindre EFGH; de plus , ces facettes sont respectis vement contenues dans: les plans tangens à à ce cylindre suivant les positions: (EJ, E/J"), (ZZ', Z!'Z""), de la génératrice : donc ces élémens lméaires sont