CHAP. 11. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

‘la fois dans le plan auxiliaire AZ , et dans les plans tangens au cylindre EFGH suivant les droites (EJ , E J',), (ZZ, Z'Z""). Done ils font partie de ces droites ; car elles sont les intersections des plans tangens dont il sagit : donc enfin les droites (EJ, E‘J), (ZZ!, Z'Z/"), sont les tangentes en (a, a’ }et{z, 7) à la courbe demandée.

Cette conséquence repose évidemment sur ce théorème, que la tangente

en un point de l'intersection des deux surfaces est l'intersection des plans

tangens à ces surfaces en ce point (152). Et comme elle résulte de ce que le plan auxiliaire AZ a pour trace une droite tangente à la base du cylindre ABCD , nous en conclurons que tout plan auxiliaire, dont la trace touche lune des bases des deux cylindres donnés, a pour intersection avec l'autre cylindre des droites tangentes à la courbe demandée suivant les points de cette courbe que le plan auxiliaire contient.

459. Le plan auxiliaire UV ne donne pas , comme AZ, les deux projections de la tangente à l'intersection cherchée, il n'en donne que la projection horizontale VU’. Ce plan VU coupe le cylindre EFGH suivant un élément dont la projection VU’ sert de contour à celle de ce cylindre ; il coupe le cylindre ABCD suivant les élémens dont les projections horizontales sont Dd et Uu; ces trois projections VU’, Dd et Ux , se coupent en w et y : donc les points w et v sont les projections horizontales de deux points de l'intersection (aeQSuzi'FRca, a'gsyz'xtra’). Cela posé, remar< quons que: les élémens linéaires infiniment petits, qui correspondent sur cette intersection aux deux points æ ete, sont dans le plan vertical VU’, tangent au cylindre EFGH, et nous en conclurons que les tangentes à la courbe (aeQSuz... a'gs...) se projettent horizontalement suivant VU’; c'est-à-dire que le contour VU”, qui correspond au plan auxiliaire UV, touche la courbe aeQSuz... suivant les points 4 etv, que le plan UV détermine.

460: Le troisième plan auxiliaire HY donne deux points de cette intersection, auxquels correspondent des tangentes qui ont pour projection verticale le contour H'H”, projection de l'élément qui passe par le point H. Eneffet, ce plan HY coupe le cylindre ABCD suivant deux élémens qui partent des points X et Y, et dont les projections verticales sont X’x, Y‘y; ces projections rencontrent HT" en deux points x et y , et ces points sont évidemment les projections verticales de deux points de l'intersection demandée. Or, les élémens linéaires infiniment petits qui correspondent aux points x et y, sont dans le plan H'H", perpendiculaire au plan ver-

tical; donc ces élémens prolongés, c’est-à-dire les tangentes à la courbe

(aeQSuz..…., a'gsyz'...), suivant ces points, ont H'H" pour projection

verticale : donc enfin cette droite H'H" touche en x et y la projection verticale a'gsyz'xtra/, de l'intersection demandée.

461. Dans Lééérple que nous avons choisi , chacun des deux crade donnés a des élémens qui ne rencontrent pas las cylindre : on dit alors que ces cylindres s'arrachent , et l’on donne à leur intersection commune le nom de courbe d’arrachement. S'il arrivait au contraire que tous les élémens du plus petit rencontrassent le plus gros, ce dernier se trouverait percé par le premier de part en part; l'intersection se. composerait de deux branches , l’une d’entrée du petit cylindre dans le grand , et l’autre de sortie , et l’on dirait qu’il y a pénétration entre ces deux cylindres.

462. En général, une branche de l'intersection de deux surfaces est une branche de pénétration , lorsque toutes les positions de la génératrice d’une de ces surfaces ont un point sur cette branche ; parce qu'il arrive alors qu’une de ces surfaces traverse entièrement l’autre. Dans le cas contraire, c’est-à-dire quand les génératrices de l’une des surfaces n’ont pas toutes un point sur une branche de leur intersection , cette branche est une branche d'arrachement; parce quelesdeux surfaces , au lieu de présenter une pénétration ;!ne font que s’entamer mutuellement (*). On doit sentir d’après cela, et nous en verronsdesexemples, que l’intersectionde deux surfaces peut se composer de plusieursbranches, les unesde pénétration,etlesautresd'arrachement.

463. Si l’on imagine que le cylindre EFGH soit sensiblement plus petit et plus rapproché du plan vertical qu'il ne l'est, il coupera évidemment le cylindre ABCD suivant deux branches de pénétration, l’une que l’on

. appelle la courbe d'entrée , et l’autre que l’on appelle la courbe de sortie.

La première sera le lieu des points où les élémens du petit cylindre entreront dans le grand; et la seconde, celui des points où ces mêmes élémens sortiront du grand cylindre. Si l’on conçoit que le petit cylindre grossisse peu à peu , il arrivera bientôt qu'un de ces élémens, au lieu de percer le gros cylindre en deux points, ne fera plus que le SRE tee en un point uni-

(*) On pourrait objecter qu’une surface étant susceptible de plusieurs générations, une branche d’intersection de deux surfaces peut être, sous le rapport d’une génération, une branche de pénétration, et, sous le rapport d’une autre génération, une branche d’arrachement. Cela est vrai; mais comme on n’envisage guère une surface que sous le rapport de sa génération la plus simple, on n’est jamais embarrassé pour appliquer les nomis d’arra-

chement et de pénétration.