CHAP. II. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

que, qui appartiendra tout-à-la-fois à la courbe d’entrée et à celle de sortie; en sorte que ces deux courbes ne feront plus qu'une même branche, présentant un point multiple. Après un nouvel accroissement du cylindre EFGH, les élémens voisins du point multiple, et l'élément qui donnait ce point , n'auront plus de points communs avec le cylindre ABCD ; laréunion des deux branches de l'intersection en une seule sera tout-à-fait opérée ; les deux cylindres s’arracheront mutuellement , et leur intersection sera de la forme de celle que l’épure représente.

464. Il est facile de voir si les deux cylindres donnés se coupent par un arrachement, ou par une pénétration, sans construire leur ligne d’intersection. En effet , pour qu'ils s’arrachent, il faut, d’après ce que nous avons dit, que chacun de ces cylindres ait des élémens qui ne percent pas l’autre, ce qui exige que parmi tous les plans parallèles à leurs élémens il y en ait qui coupent le cylindre le plus gros sans couper le plus petit, et d’autres qui coupent le plus petit sans couper le plus gros. Pour qu'il y ait pénétration, au contraire , il faut qu’un des cylindres soit percé par tous les élémens de l’autre, ce qui exige que tout plan auxiliaire qui coupe le dernier, coupe aussi le premier. Or, la trace VU, d’un plan auxiliaire, coupe la base d’un des cylindres donnés, quand le plan et le cylindre se coupent, et réciproquement ; donc on devra conclure de ce qu'il y a des parallèles à LM qui coupent la base EFGH, sans couper la base ABCD , et d’autres qui coupent la base ABCD , sans couper EFGH , que ces cylindres s’arrachent.

Et si toutes les parallèles à LM , qui coupent EFGH, coupaient ABCD , il

y aurait pénétration du cylindre ABCD par le cylindre EFGH (462).

Dans ce dernier cas, et les deux cylindres ayant toujours , comme dans lépure , des traces horizontales circulaires , chaque élément du cylindre EFGH percerait le cylindre ABCD en deux points, et l'intersection serait composée , comme nous l’avons dit, de deux branches de pénétration , une branche d'entrée et une branche de sortie ; c’est-à-dire qu'il y aurait pénétration double, de l’une des surfaces données par l’autre.

465. Exécution de l'épure. La distinction des parties vues et cachées de l'intersection demandée exige beaucoup d'attention, quoique les règles

suivantes , d’après lesquelles on détermine ces parties, soient d’une grande simplicité.

1" Rècze, Deux élémens vus des deux cylindres donnés se coupent suisant un point vu de l'intersection de ces cylindres.

2° Ricze. Deux élémens, tous deux cachés ou dont l'un est caché, se coupent suivant un point caché.

Ces règles, qui sont fondées sur ce qu'il faut qu'aucune des lignes qui passent par un point ne soit cachée, pour que ce point soit vu, s'appliquent à chaque projection, ainsi qu'on va le voir.

Les élémens qui partent des points À, E et Z, sont vus en projection horizontale; donc les points & et z sont vus. Les mêmes élémens sont vus en projection verticale ; donc les points a' et 7 sont vus. Des deux éléméns qui partent des points N et P, celui qui part de ce dernier point est caché sur le cylindre EFGH, tant en projection horizontale qu’en projection verticale, donc le point (Q, q), où ils se coupent, n’est vu ni en projection horizontale, ni en proiection verticale. Les deux élémens qui partent des points O et G ne sont vus ni en projection horizontale, ni en projection verticale; donc le point (T, #’), où ils se coupent, a ses deux projections cachées. | À

Nous ne donnerons pas d'autre exemple; on sait, d'après ce qu'on a vu précédemment (x70—1 75), si un élément des PC À donnés est vu ou nest pas vu; ainsi, rien ne pourra embarrasser le lecteur. Nous ferons seulement remarquer que les points de séparation des parties vues et cachées sont toujours situés sur les contours des projections des cylindres.

466. L’exécution de l’épure exigera encore que l’on détermine les parties des élémens vus d’un cylindre qui seront cachées par l’autre cylindre. On fera usage pour cela des plans auxiliaires. S'il s’agit, par exemple, de l'élément (AI, A'T') du cylindre ABCD, on remarquera que le plen auxiliaire AZ laisse au-dessous de lui toute la portion de surface qui s'appuie sur l'arc EFGHZ, mais qu'il est au-dessous de la portion qui passe par l'arc EZ ; et l’on en conclura que la projection horizontale AI de l'élément (AT, A'T") est cachée de a en z, c’est-à-dire dans l'intervalle des deux élémens EJ, 27’, qui partent des extrémités E et Z de l’arc EZ. Pour la projection verticale, on remarquera que la même portion de surface, qui passe par l'arc EZ, est en avant du plan AZ, et qu'elle cache par conséquent, deg’ en z', la projection verticale A'T', de l'élément (AI, A'T') situé dans ce plan.” S'il s’agit de l'élément (NN', #2N"), situé dans le plan auxiliaire LM, on verra que ce plan est au-déssous et derrière la surface cylindrique qui a pour base l'arc GHZEP, et l’on en conclura que l'élément en question est caché sur chaque projection dans la partie où il traverse la PrÉjeeReE qu

cylindre EFGH.