CHAP. IN. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

467. Proszèms.9. Trouver l'intersection d’un cône et d’un cylindre.

Soient ABCD la trace horizontale du cylindre donné, BE la direction des élémens de ce cylindre en projection horizontale , A’F leur direction en projection verticale, GHIK la trace horizontale du cône donné, et (L, L’) le sommet de ce cône.

468. Il est évident que si lon mène, par le sommet (L, L’) du cône, un système de plans parallèles aux élémens du cylindre, ils couperont les deux surfaces données suivant des droites qui se rencontreront suivant des points de la commune intersection demandée. D'après cela, menons par le point (L, L”) la droite (LM, LM") parallèle aux élémens du cylindre; elle percera le plan horizontal en un point (M, M’), et toutes les droites qui seront merÿes par ce point seront des traces de plans du système en question.

Soit BMGI l’une de ces traces ; elle coupera les bases des deux surfaces données suivant les points B,N,G, I. Le plan correspondant à cette trace coupera ces surfaces suivant des élémens dont les projections horizontales seront , pour le cylindre, les droites BE, Nc, et pour le cône, les droites GLE, ILQ. Or, ces élémens, situés dans un même plan, se rencontreront en un même point, dont les projections horizontales seront nécessairement en E, Q, O et P; et comme ces points appartiendront à l’intersection cherchée, leurs projections E, Q, O, P, appartiendront évidemment aux projections horizontales QRE, SPO, des branches de cette intersection.

On construira de la même manière les points des projections verticales des mêmes branches. Ainsi, ayant mené la trace AMH dun plan auxiliaire, on aura les points A, C,H, où les élémens correspondans des surfaces données perceront le plan horizontal, on en déduira les projections verticales A’F, C'U et H'L', de ces élémens; ces projections se croiseront suivant des points U et F, et il est clair que ces points appartiendront aux projections verticales FXY, UVT., des branches de l'intersection demandée.

En menant donc un nombre sufisant de plans auxiliaires, tels que BMI et AMH, sur lesquels on exécutera les constructions fort simples qui viennent d’être décrites, on trouvera autant de points qu’on en voudra des deux projections de cette intersection , et l’on pourra bientôt tracer ces deux branches (QRE, XYF), (SPO, UVT).

469. Pour opérer avec intelligence, il faudra que l’on prenne parmi les plans auxiliaires qu’on emploiera, 1°. les plans, comme AMH, dont les traces toucheront une des bases

des deux surfaces données; 2°. ceux, comme BMI, dont les traces passeront par un point,

tel que le point N , où le contour Nc de la projection horizontale d’une des surfaces données touche la base ABCD de cette surface; 3°. enfin, ceux dont les traces passeront par un.point, tel que le point d, qui est commun au contour d'L' de Ja projection verticale d’une des mêmes surfaces, et à la base GHIK de cette surface. Ces plans auxiliaires, tout à fait analogugs à ceux dont il est question n° 457, donneront , comme ces derniers, des points de la courbe cherchée, et lune des deux projections, ou les deux rite de la tangente correspondante (457—/460).

Le plan AMH, par exemple, est tangent au cône suivant l'élément qui passe par le point H,et DR MEnt Jes points de la courbe demandée qui ont leurs projections verticales en F et U, Or, concevons par ces points des tangentes à cette courbe, elles seront dans le plan AMH; mais elles seront aussi dans les plans tangens zu cylindre suivant les élémens qui partent des points A et C; donc elles seront les intersections de ces plans tan-

nd.

gens et du plan AMH : c’est-à-dire qu’elles coïncideront avec les élémens qui partent des points À et C; car ces élémens sont évidemment les intersections dont il s’agit. Donc enfin les projections horizontales et verticales de ces mêmes élémens seront des tangentes à l'intersection demandée, suivant les points de cette intersection qui se projettent en F et U. Pour ne pas rendre l’épure trop confuse, on n’a mené que les projections verticales A'F,CU, de ces tangentes.

Examinons, pour le second exemple, les résultats que donne le plan auxiliaire BMI: Ce plan coupe le cylindre suivant l’élément qui part du point N , et dont la projection Ne sert de contour à la projection horizontale du cylindre; or, le plan vertical qui correspond à cet élément est tangent au cylindre; donc il contient l'élément linéaire infiniment petit qui correspond au point P de Pintersection , situé dans le plan BMI: donc le plan NP contient la tangente à cette intersection, menée par celui de ses points qui se projette en P. Mais tout ce que ce plan contient est projeté horizontalement suivant sa trace ; donc enfin la droite NP est tangente en P à la ligne SPO.

Ces deux exemples suffiront pour montrer le parti que l’on peut tirer des plans à auxiliaires dont il vient d’être question.

470. Dans le cas que l’épure traite, le sommet du cône est dans l’intérieur du cylindre, en sorte que tous les élémens du cône ont un point sur chacune des branches (QRE, XYF), (SPO, UVT), de l'intersection demandée. Ces branches sont , d’après ce que nous avons précédemment dit (462), des branches de pénétration.

471. Lorsqu'il y a pénétration, ou lorsqu'il y a arrachement, entre les deux surfaces données, il est facile de le reconnaître sans construire leur intersection : le simple examen de la disposition des plans auxiliaires suffit pour cela. En effet, menons par le point M les traces MH, Mb, tangentes à la base HIKb du cône; et faisons remarquer que dans un système de projections obliques, faites sur le plan Léna de telle manière que le point M soit la projection du sommet (L, L’), le cylindre donné aura pour projection sa trace ABCD, et le cône les angles indéfinis MH, AMr, que déterminent les tangentes MH, M6. On sentira que l'intersection des surfaces données se trouve représentée, dans ce système de projections, par les arcs Cr, Ar, de la trace ABCD ; et comme le cône. n’a pas un élément dont la projection oblique BMNI ne traverse Les arcs Cr et Ar, on en. conclura que les branches C7 et Ar de l'intersection sont des branches de pénétration.

Si les projections obliques des élémens ne rencontraient pas toutes une branche quelconque Ar de l'intersection, cette branche serait une branche d’arrachemient (*).

472. Nous ferons observer en passant qu’il peut y avoir arrachement entre un cylindre et un cône dont les bases sont circulaires ou elliptiques, quoique ces surfaces aient pour intersection une courbe composée de deux branches, ce qui n’aurait pas lieu pourdeux

(*) Cette considération des projections obliques, appliquée à l’intersection de deux cylindres, fera auss; connaître immédiatement si cette intersection est un arrachement ou une pénétration. On supposera que les projections soient faites parallèlement anx élémens de l’un des cylindres; sa projection ne sera autre chose qu? sa trace, et l’intersection cherchée ayant pour projection oblique les arcs de cette trace compris entre les plans auxiliaires qui enfermeront la trace du second cylindre, on verra si ces arcs sont rencontrés par les projections obliques de tous les élémens de ce dernier cylindre. S’ils le sont, Pintersection sera une pénétration, et s’ils ne le sont pas, ce scra un arrachement.