CIAP. II. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

cylindres. Cela tient à ce que chaque nappe du cône peut rencontrer le cylindre suivant une branche particulière de leur intersection.

473. Pour décrire facilement cette intersection, et pour être bien sûr de ne pas faire passer une branche par un point qui ne lui appartienne pas, il faut, pour chaque branche, passer en revue les points obtenus , en examinant soigneusement les élémens sur lesquels ces points sont situés , et en suivant, pour cela , l’ordre où ces mêmes élémens sont présentés par l’une des bases des deux surfaces données, Dans l'exemple que nous avons choisi, il faudra procéder en suivant la base du cône, plutôt qu’en suivant la base du cylindre, par la raison que tous les élémens du cône perçant le cylindre, Pexamen à faire ne présentera aucune discontinuité. Supposons que lon parte du plan auxiliaire extrême AH, Pélément qui part du point H donnera un point de la courbe d’entrée; celui qui part du point I donnera un autre point de la même courbe; ceux qui partent des points K, c, b,e,G,a, jusqu’au point de départ H, en donneront d’autres, et tous ces points se présenteront, successivement, dans le même ordre que si lon suivait la branche d’entrée en partant de l'élément LH pour revenir à cet élément, ce qui indiquera, d’une manière sûre, comment le trait qui doit réunir ces points devra être mené. Cet examen, appliqué à chaque branche et à chaque projection, préviendra les erreurs que la multiplicité des points obtenus pourrait entrainer.

474. Exécution de l’épure. Une des principales conditions auxquelles on doit se proposer de satisfaire dans l’exécution d’une épure, c’est que les données, les constructions et les résultats, s'y montrent clairement, et sans qu’une partie de l’épure soit chargée de lignes tandis qu'une autre en serait vide. C’est pour nous assujettir à cette condition que nous avons employé deux plans auxiliaires BI, AH , l’un pour déterminer les projections horizontales P et Q, de deux points de l'intersection cherchée; l’autre, pour avoir les points T et F de la projection verticale de cette intersection. Dans le cas qui nous occupe, les données ne permettaient pas que les élémens d’intersection d’un même plan auxiliaire, avec les surfaces données, pussent être projetés horizontalement et verticalement sars rendre l’épure confuse.

C'est aussi par cette raison que nous w’avons pas construit les traces des surfaces donnéessur le plan vertical.

475. Occupons-nous maintenant de la mise au trait des lignes de l’épure, IL est évident, d’abord , que la portion NDW de la trace du cylindre est cachée par les élémens de Ja partie NZW; et que la partie WZ de cette même trace est cachée par la nappe supérieure du cône. Il est clair aussi que Parc abc de la base de ce cône n’est pas vu.

Quant aux parties vues et cachées de l'intersection demandée, elles se déterminent par les mêmes règles que dans le cas de deux cylindres (465), en ayant soin de faire attention que les élémens &’un cône qui sont vus sur l’une de ses nappes ne l’'étant pas sur l’autre (190), on doit, lorsque l'intersection s’étend sur les deux nappes, considérer ces deux nappes chacune en particulier,

D’après cela, sur chaque nappe du cône, deux élémens vus des surfaces données se rencontrent en un point vu de l'intersection ; et deux élémens cachés, ou un élément caché et un élément vu, se rencontrent en un point caché de la même intersection.

Appliquons ces règles à chacune des projections de l’épure, et commencons par consi-

dérer la nappe inférieure du cône. Les élémens qui ont pour projections horizontales les droites IL, NP, étant vus sur le plan horizontal , lorsque l’on suppose chaque surface isolée, le Pair P, projection horizontale du poin? où se coupent ces deux élémens, doit appartenir à un arc plein de l'intersection demandée. De même, les élémens H'U, CU, étant vus sur le plan vertical, le point U , où ils se coupent, appartiendra à un arc vu de la projection verticale de cette tarde die

Pour la nappe supérieure, l'élément LQ, prolongement de LI, sera amer: ainsi le point Q de Pintersection , situé à la rencontre de LQ et de BQ , sera caché. En projection verticale, Pélément A’F sera vu, et l'élément L'F, prolongement de H’L}’, sera caché ; done le point F sera caché.

En continuant ainsi, on déterminera aisément les parties vues et cachées de Piste tion demandée.

476. I nous resterait à indiquer comment on détermine les parties de chaque élément de Pune des surfaces données qui sont cachées par l’autre ; mais comme cette détermination n’offre aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas. Nous préviendrons seulement que les élémens qui servent de contour aux projections de ces surfaces commencent en général à être vus, ou cessent d’être vus, aux points où ils sont tangens aux branches de l'intersection.

477. Proszèume 3. Deux surfaces coniques étant données , on demande leur intersection commune.

Prenons pour exemple deux surfaces coniques à bases circulaires, et choisissons le plan verticai de manière qu’il soit à la même distance des deux sommets de ces surfaces. D’après cela, soient (Ugf"nsd, U’s”) la base de la première de ces mêmes surfaces, (e, e’) son sommet, (XcaVb, XV”) la base de la seconde, et (5, i’) son sommet.

Nous remarquerons que si Pon coupe les deux surfaces données par un système de plans auxiliaires menés par les sommets (e, e’), (ë, i’), on aura pour sections des élémens de ces surfaces qui se rencontreront suivant des points de l'intersection demandée. Or, tous ces plans passeront par la droite (45, #'1'), dont la trace horizontale est le point (m,m);, donc ils auront pour traces horizontales des droites passant par le point 77.

Soit cm la trace d’un de ces plans; elle coupera les bases des deux surfaces données suiyant les points c,g, k, n ,et le plan auxiliaire correspondant coupera ces surfaces suivant

‘quatre élémens ci, ki, eg ,en, qui se couperont suivant les quatre points p, g,r, 0, de la

projection horizontale de l'intersection demandée. Pour avoir les projections verticales correspondantes aux projections p,g,r,0,on mettra les pointsc,g, &, n,en projection verticaleen c’, g',k'fn/; on menerales élémens ci’, &%',g'e',n'e',etles points p', g', r,0',où ils se couperont, seront les projections cherchées.

En menant de nouvelles traces de plans auxiliaires, telles que em, on déterminera de nouveaux points de l'intersection demandée: il ne s'agira plus, pour décrire les branches de cette intersection, que de bien distinguer les points qui devront être joints les uns avec les autres.

478. D'abord on verra facilement , par l’inspection dela projection verticale, que parmi les points obtenus (p, p') (q, g'h Gr), (o, 0°), le premier et les deux derniers appartien -