CHAP. IV. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

nent à l'intersection des nappes inférieures des cônes, et que le point (g, g°) appartient à l'intersection de leurs nappes supérieures. Mais comme deux nappes (par exemple ici les deux nappes inférieures) peuvent se couper suivant deux branches de courbes, il faudra examiner si les points d’intersection de ces nappes appartiennent à une seule branche, ou à plusieurs branches, et, dans le dernier cas, reconnaitre les points qui appartiennent à une même branche.

Pour cela, on examinera de proche en proche les résultats obtenus par le moyen des divers plans auxiliaires; on trouvera que celui de ces plans qui vient après cm, a des points analogues aux pointsc,g,k,n,et qu'il détermine un point d’intersection analogue au point p, un point analogue au point g, un point analogue au point r, et un point analogue au point o. On marquera d’un même signe tous les points liés entre eux par la même loi d’analogie, et il est évident qu’ils appartiendront à une même branche de courbe; car, si lon multipliait à Pinfini les plans auxiliaires, les points marqués d’un même signe se suivraient sans solution de continuité.

Lorsqu'on sera arrivé à un plan auxiliaire mb , tangent à l’une des bases des deux surfaces données en un certain point d, on remarquera que les points » etg, où la trace cm coupe la base g f”nd, sont réunis en un seul point d; et que les points & et c sont situés, lun en f, et l’autre en 2. On en conclura que le point r a pour analogue le point A; que le point o a aussi pour analogue le point À ; et, par conséquent, que la branche de courbe qui passé par les points analogues au point r, se réunit en A avec la branche de courbe qui passe par les points analogues au point o. C’est-à-dire que les points r et o sont analoguesentre eux et appartiennent à une seule et même branclie.

Les mêmes observations montreront que le point B réunit deux séries de points; Pune formée des points analogues au point p; l’autre formée de points analogues entre eux, qui ne sont fournis que par Les plans auxiliaires très voisins de #2b. Il sera parlé plus loin de ces derniers points (486).

479- Après l'examen que nous venons de faire, on saura que intersection demandée est composée, dans le cas pris ponr exemple, 1°. d’une branche d’intersection (JwZ4J", Z'q'y') des deux nappes supérieures : ce sera une branche d’arrachement (462); car elle v’aura de points que sur une partie des élémens de chacune des surfaces données ; 2°. d’une branche d’intersection (#roxA , »4r' A'x"} des deux nappes inférieures : ce sera une branche de pénétration ; car elle aura un point sur chaque élément du cône dont le sommet est en (e,e’); 3. enfin, d’une branche d’intersection (z'z"#Bipuz, t'B'f") des deux nappes inférieures : cesera une branche d’arraciement; car elle n’aura de points que sur une partie des élémens de chacune des deux surfaces données.

480. Comme les nappes supérieures et inférieures des deux cônes (e,e”), (2, à’), se prolongent jusqu’à l'infini , il est assez présumable que les branches d’arrachement s'étendent aussi à l'infini. Pour nous en assurer, construisons les élémens parallèles de ces cônes.

Pour cela, imaginons que lun des cônes donnés, celui dont le sommet est (2, ;’), par exemple, se meuve parallelement à lui-même, de manière que le sommet (7, z’) vienne coincider avec le sommet (e ,e”). Dans cette position, les deux cônes auront en général un certain nombre d'élémens communs, et ilest clair qu’en ramenant le cône mobile dans sa première position , les élémens qui coincidaient se trouveront, après le mouvement, des

PI. 4o.

élémens parallèles. Dans l’épure, les cônes donnés ont des cercles pour bases : et comme les sections faites dans un cône, par des plans parallèles, sont des courbes semblables (voyez la Note 5), le cône (e, e’) est coupé par le plan horizontal MN suivant un cercle CDE facile à déterminer; et le cône (5, r’), lorsque son sommet est en (e, é/), est coupé par le même plan MN suivant le cercle FGHI (*). Ces deux cercles CDE, FGHI, se coupent en deux points K et L, et les élémens Kef”, LeP, sont ceux du cône (e, e) auxquels il correspond, sur le cône (1,1), des élémens parallèles Ria, SiQ. Si l’on veut trouver la projection. verticale f°K' d’un de ces élémens fe, il ne s'agira que de mettre le point f” en projection verticale en f”, et de mener f"e’

De ce que les deux surfaces données ont des élémens parallèles , il s'ensuit évidemment que leur intersection a des points à l'infini.

481. Pour bien concevoir la situation de ces points et la forme générale de lintersection demandée, concevons que la génératrice du cône (e, e’) parte de la position (es, es’), qu’elle se meuve en avançant vers le point z pour décrire ce cône, et suivons-la dans son mouvement, en examinant les positions des points où elle percera successivement le cône (&,t).

D’abord il est clair de elle ne cessera pas de passer par un des points de la Dante de pénétration (oxAwr, x'0'A'r'#"); ainsi, nous n’avons à nous occuper, dans l’examen que nous allons faire, que des Hans d’'arrachement. 4 |

Dans sa position initiale, la génératrice (es , es") percera le cône (4, 2°) au point &, DE lorsqu'elle sera en (en, en), elle le percera en (p, p'); lorsqw’elle sera en (Kef”, Ke f”),; elle sera parallèle à l'élément Ria, et elle rencontrera cet élément à l'infini par ses deux extrémités : c’est-à-dire qu’elle donnera un point de la branche d’intersection (#pwz , t'p'B"), situé à l'infini au-dessous du plan horizontal, et un point de la branche (ygw, 3 q), Situé à l'infini au-dessus du plan horizontal. En continuant d’avancer, la génératrice ne rencontrera plus la nappe inférieure du cône (i, 2’), mais elle percera sa nappe supérieure. Lorsqu’elle sera en (eg, eg’), le point d’intersection sera en (g, g‘); et lorsqu’elle sera en (eU, eU”), il sera en (Z, 2”). En continuant de la faire mouvoir , les mêmes circonstances se représenteront : car le plan vertical ec divise évidemment les deux cônes donnés en deux parties symétriques ; mais ce sera dans un ordre contraire. «

482. Pour construire avec exactitude l'intersection qui fait l’objet de ce problème, il sera bon d'employer , parmi les plans auxiliaires, ceux comme md, qui seront tangens à la base fnsdU ; parce que ces plans donneront à la fois des points de la courbe cherchée, et les tangentes à cette courbe suivant ces points. En effet, le plan auxiliaire md est tangent au cône (e, e’) suivant l’élément (ed, ed”), il coupe le cône (4, à’) suivant les élémens (4f, fi), (b,2'b"), et il détermine les points (A, A’), (B, B), de l'intersection de-

(*) La droite (5h, à’ k"), menée par le sommet (é, à’) d’un cône, et par le centre (h, k’) de sa base, contient les centres de toutes les sections parallèles à cette base. D’après cela, si l’on mène par le point (e, e’) la droite (ex, e/a"), parallèle à (hi, hi), elle percera le plan MN en un point (x, x"), qui sera le centre du cercle FGHI. Pour décrire ce cercle, il faudra encore obtenir un de ses points ; or si l’on mène par le point (e, e’) une droite (el, e’!’), parallèle à un élément quelconque (im, iT), cette droite sera un élément du cône (i, à’) ramené en (e, e‘) : donc elle percera le plan MN en un point (/, /’) du cercle FGHI.