CHAP. IV. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

mandée : or , les tangentes à cette intersection suivant ces points sont situées, d’une part, PI. 4o. dans le plan auxiliaire md, d’autre part, dans les plans tangens au cône (i, #) suivant les élémens (if, if"), (Gb, db’); et comme ces élémens sont les intersections de ces plans tangens et du plan #4, il en résulte que ces mêmes élémens'sont les tangentes cherchées,

483. Les plans auxiliaires menés par les points s, V, U, X, par lesquels passent les éléméns qui servent de contours aux projections verticales de ces cônes , donnent à la fois des points de la courbe cherchée, et les projections verticales des tangentes qui correspondent à ces points. Mais, dans le cas choisi pour exemple , tous ces plans se confondent dans le plan vertical rx, en sorte que pour un point quelconque (»,#’), ob tenu\par le moyen du plan »1X, la tangente correspondante est comprise dans ‘deux plans e'U', #1, perpendiculaires au plan vertical : d’où l’on voit que cette tangente est perpendiculaire au plan re fe qu’elle se pote verticalement en +’. On trouverait de même que les courbes #’7'A'x', #B'f", Z'q'y', ont leurs tangentes en x’, et Z', perpendiculaires au plan mX.

Cette particularité provient de ce qu’on a pris pour plan vertical un plan également distant des sommets (e, e”), (, 2’); car il en résulte que le plan ei, ou #7X , divise les deux surfaces données , chacune en deux parties symétriques , et que la partie de l'intersection, située en avant du plan »2X, a même projection verticale que celle située en arrière de ce plan , en sorte que la projection verticale de cette intersection s'arrête court en s”, x’, #, et Z’. On vérra cependant (521) un procédé qui donne les tangentes correspondantes à ces points.

484. Si les plans »X , mU, mV, ms, différaient les uns des autres , les points de l’intersection fournis par ces plans auraient des tangentes dont les projections verticales seraient les droites à’ X', e'U’, i V', e’s', parce que ces plans sont les plans analogues du plan auxiliaire employé n° 460. |

485. Si les sommets des cônes ne se projetaient pas horizontalement dans l’intérieur de leurs bases, ou ce qui revient au même, si les projections horizontales de ces cônes, n’étant pas indéfinies dans tous les sens, se trouvaient bornées à des contours, les plans auxiliaires qui passeraient par les points de contact de ces contours et des bases donneraient des points de l'intersection cherchée , auxquels correspondraient des tangentes dont ces mêmes contours seraient les projections horizontales. Il sera aisé d’en sentir la raison, si lon a bien compris ce que nous avons dit précédemment (459).

486. Avant de passer à l’exécution de l’épure, nous ferons remarquer que les plans auxiliaires compris entre les plans dm et PQ donneront des points de la branche d’arrachement des nappes inférieures, situés sur Parc Bz", entre le point B et l'infini. Ces points, he n’ont pas d’analogues parmi les points p, g, Fr, 0, forment une branche particulière qui sunit à la branche Bsp suivant le point B. Il était nécessaire d’en A pour que l’on sût déterminer les points de l'arc Bz'.

487. Exécution de l’épure. On suppose que les cônes définies soient terminés, d’une part, au plan horizontal de projection, d’autre part, au plan MN. Ce dernier plan coupe le cône (e, e’) suivant le cercle CDE, et le cône (, 2’) suivant le cercle RSYY”. Ces deux, cercles occupant la partie supérieure du système sont nécessairement vus, en projection horizontale, ainsi que la projection JwZgJ', de la courbe d’arrachement des deux nappes

supérieurs: Les autrès branches de l'intersection, et la base f’nsdU du. cône (e, e’), sont évidemment cachées en projection horizontale. Quant à la base aVDX du cône (5,2), il est clair qu’elle n’est vue que dans les deux arcs situés au dehors des cercles CDE, RSFV og ::D de ati En projection verticale, les parties vues et cachées sont faciles à détermine} ja EE On a indiqué sur l’épure divers élémens , dont il a été question précédemment ; eæ in gres pleines et porictuées, selon que leurs païties sont vues ou sont cachées. : ; + 441 Comme on a supposé que les deux cônes ne s’étendaient pas au-delà des plans, X: mn’, MN,ona ue sur la projection horizontale , en. lignes ordinaires de construction;,les parties zu, 2'z",yJ", y"), de Finterseciion demandée, qui sont au-dessous, ou au-dessus

de:ces plans.

488. Prorzème 4. Deux surfaces de révolution dont 2 axes Onl un point commu; étant données , on demande leur intersection commune: id:

Prenons pour exemple un hyperboloïde et un paraboloïde de révolution. Et pour que les constructions soient les plus simples possibles, choisissons les plans de pr ojection de manière que le plan horizontal soit perpendiculaire: à Pun des axes de révolution, et que le plan vertical leur soit parallèle à Pun et à l’autre, ce qui évidemment : sera toujours possible.

D’après cela, soient (A, A’A") l'axe de l’hyperboloïde, B'C'DE la méridienne principale de cet hyperboloïde , (GF, G'F”) l'axe du paraboloïde, et (GF, HIKLMN') sa méridienne parallèle au plan vertical. Le RER (A, O) sera celui où se rencontreront les deux axes de révolution.

489. Pour construire les points de l'intersection demandée, il faut d’abord choin un. système de surfaces auxiliaires qui déterminent, sur les surfaces données, une suite de sections les plus simples possibles. Or, après un peu de réflexion, onreconnaîtra facilement que ces surfaces auxiliaires sont les sphères concentriques dont le centre est en (A, 0).

Soit DCKM le grand cercle d’une de ces sphères. situé dans le méridien GF; Hest.clair que si l’on fait tourner ce cercle autour de l'axe (A, AA"), en même temps que l'hyperbole B'CDE, il engendrera la sphère à laquelle il appartient, et que la courbe B'C'DE engendrera l a donné, en sorte que les points C’et D, communs aux génératri ices DCKM, B'C'DE, décriront Fo cercles horizontaux CP, DN, communs. à la sphère et à Vhyperboloïde. En imaginant de même que le cercle DC'KM tourne autour.de axe (GF, G'F”) , en même temps que la parabole HIKLMN”, ce cercle engendrera, la même sphère auxiliaire, la parabole engendrera le paraboloïde, et les points I et K,engendrez ront deux cercles IQ ,KM , communs.à ces deux surfaces. IL suit de là.queiles, quatre cercles DN,CP,.1Q, KM, dont les plans.sont perpendiculaires aa plan vertical ;et qui appar-

tiennent, les deux premiers à l’hyperboloïde, les deux derniers au paraboloide, étant,sis

tués sur une même sphère, se couperont suivant des points projetés verticalement emz, ens'eten zi ‘ | al 0 Il sera facile de construire leurs projections HR Pour avoir cales Le points qui sont projetés en.s’, par exemple, on construira la projection horizontale xCs du cerele C'P ; on menera Ja droite s'x perpendiculaire à la ligne de: terre, et les points set x; .où

CITAP. T1. DES INTERSECTIONS DE SURFACES COURPES. 187 éètie FERé coupera Ye aAe xÔs, seront Îles projections horizontales cherchées , en sorte que les deux } points (x, 5°), UE s ÿ4 seront deux: points de l'intersection demandée.

"En ménant de souvelles sphères auxiliairés, on obtiendra de nouveaux points de cette

Ftecoçon et bientôt 0 on pourra construire fe deux branches ( YF ‘az, Ya), Cstvux ,

r' s'l ae), qui lac composent.

USE jte en 3 »wri: ” ” d'Ago. Enie ii ion de lé pure. On. su 1ppose que les deux surfaces FAST ANE CARE as au plan 1 rat EE, qui coupe l hyperboloïde suivant le cerele vu (RRR’, EE’), et le

parabolo oide suivant 1 Ja courbe aussi yue (VXY,:V'N').

L’intersection demandée a ses deux branches vues en projection verticale, En projec-

tion horizontale, la branche inférieure est entièrement cachée ,€t la branche supérieure

n* est vue que dans la partie g 34 ; qui est au-dessus de la gorge z'Z3” de l’hyperboloïde. le est, clair, que, les arcs-r y’ “ LA audg, 1 ir des méridiens des surfaces données, seront compris dans l'intérieur de ces surfaces. Ils der par: conséquent être ponctués. Pour \que lépure soit bien, complète, il faudra construire le contour TUT de la projection hotisontale du paraboloïde (387). La partie-de ce contour: comprise dans le cercle Fu éxidemment, AEbES et ilest clair que Parc 77", de la trace Z'Z"S'S-de lhy-

nt Dcrons au à cha À Pour de OR ouis e es deux lignes VXY, TUT”.

491. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant données deux surfaces quelconques S et s, on demande-leur intersection commune, | Pour résoudre ce problème, on Pac d ed un système de surfaces auxiliaires qui aient pour intersections avec les surfaces S ets des lignes faciles à déterminer. Si la nature particulière des surfaces données à Aridiqué pas parmi les surfaces courbes, de telles surfaces auxiliaires, on prendra pour surfaces auxiliaires des plans. Et si aucun système de plans ne présentail un avantage remarquable, sous le rapport de la construction des intersections de ces plans avec les surfaces S et s, on prendrait pour plans auxiliaires, ainsi que nous Vavons supposé n° 144, des plans doutes Dans tous les cas, on pourra prendre dessurfaces planes pour surfaces auxiliaires étice rie sera que pour simplifier les’constructions:qu'il séra quelquefois nécessaire de recourir à des surfaces courbes. .. Cesÿstème choisi, onrèenera une suite de surfaces auxiliaires 2,2”, 2"... 5; ces surfaces D ont la surface S suivant une suite de courbes M, M; M ... , et la surface s suivant une suite d’autres courbes TH UD 0 Les sections M et m, M et m',M"et m’ ,>etc., étant deux à deux sur ‘une même sBloé auxiliaire, se rencontreront en général suivant des points a ;b,c... ; Situés ‘sur Ja surface Z; a, D’, c':.:, situés sur la sürface >'; 4", 6", él sigiéttuds sur là surface 2; etc. Et conte ces foitits seront Communs/aux äeux surfaces Set s;ilme 5 nie que de: és hindré convenablement par des lignes pour obténir toutesles branches ad a".1. :,0b D", cc"... ,etè., de intersection chérchée.

492. l'est clair ss pont) mener .ce$ ignss ; Hfaudra-soigneusément ‘classer les points obtenus a, b,c...,a,b,c...;a, br, ele ds scrielon les lois d'analogie qui les lieront les uns aux es Sans Larf on serait exposé à joindre entre eux des points de branches différentes de Pintersection demandée, et les arcs. de courbe qui en opéreraient la jonction

w’appartiendraient pas à cette intérsection.

Le classement des points obtenus présente quelquefois de la difficulté; mais, lorsque les sections auxiliaires sont proches les unes des autres , chaque couple de sections correspondantes, M et m, M'etm', M" et", etc. diffère peu de la couple suivante .et de la couple précédente, ce qui rend l’analogie fs points obtenus facile à reconnaitre.

493. Souvent deux branches se réunissent , et les surfaces auxiliaires qui sont d'un côté du point de réunion ne contiennent pas de points de ces branches, tandis que Jes surfaces auxiliaires qui sont de l’autre côté donnent un point de chacune d’elles. Dans ce cas, il faut de l'habitude, ou de la sagacité, pour ne pas s’embrouiller dans les résultats obtenus’, bien que ler approchement successif des points des deux branches indiqué d'ordinaire leur réunion. 4 DURS

494. Le choix des surfaces auxiliaires, pour que les constructions soient les plus simples possibles, est un objet bien important. Et comme il peut ÿ avoir dés positions particulières de ces surfaces qui donnent des points singuliers de l'intersection ; on me mettre ati 1 coup de soin à employer ces positions de préférence à d’autres. RUE

La construction des intersections de surfaces est certainement une des parties les plus difficiles de la Géométrie descriptive. Nous pensons qu’au moyen de la solution générale qu’on vient de voir, el des problèmes qui précèdent, dans lesquels nous avons tâché d'éclaircir toutes les difficultés, on pourra déterminer ces intersections dans tous les! ‘cas

possibles.

RAR AAA AA AAA AAA RATS AAA AAA AAA RANANAAAAAAAAAN AAA AAS AAA ANA ANNAANAAAAARANANAAANAANANAAAINAAA ARE RANANAAAAR ANR