CHAPITRE IL

Des tangentes aux intersections de surfaces.

495. Nous avons vu précédemment (152) que la tangente en-un point de l'intersection de deux surfaces est l'intersection de deux plans tangens à ces surfaces en ce point : il résulte de là un premier procédé pour construire les tangentes aux intersections de surfaces. Na 496. On peut remarquer aussi que la tangente est ge aux. normales des deux surfaces , et conséquemment au plan que ces normales déterminent, ce qui fournit un second procédé , qui n’est à la rigueur qu’une modification du premier, mais qui doit être préféré lorsque les plans tangens se déduisent des normales, parce qu’il évite la construction dé ces plans, et qu’alors il est plus simple. Nous le nommerons le procédé du plan normal. On l'appliquera plus loin (518-521) à des exemples pour lesquels il présente des avantages particuliers.

497. Lorsqu'une des deux surfaces données est déveloprables lintersec-

ion ; sur le développement de cette surface , est une courbe particulière , que nous avons nommée (426) transformée de l'intersection , et à laquelle on va voir que l’on sait aussi mener des tangentes.

Soit 4 un point de cette intersection , e l'élément indéfini de la surface développable sur lequel est le point X, et 2 l'arc infiniment petit de l’intersection auquel appartient le même point X. L'élément e et l'arc m détermineront une zôné infiniment étroite de la surface développable ; et si l’on conçoit qu'on développe cette surface , 1l est évident que cette petite zône se trouvera, sur le développement, absolument telle qu’elle était sur la surface : donc l’angle de l'arc m et de l'élément e ne changera pas quand on fera ce développement. Mais l'arc m est dirigé, sur la surface développable, suivant la tangente à l’intersection, et sur le développement, suivant la tangente à la transformée ; donc les angles de ces tangentes et des élémens indéfinis qui leur correspondent sont égaux. |

Il suit de là que si l’on sait mener une tangente à l’intersection , ilne s'agira que de construire l'angle de cette tangente avec l'élément de la surface développable sur lequel sera le point de contact, et de rapporter cet angle sur le développement, pour construire la tangente à la transformée. |

498. Les moyens de mener des tangentes à l'intersection de deux surfaces, et à la transformée qui résulte de cette intersection, si l’une de ces surfaces est développable, s'appliquent , quel que soit l’angle sous lequel se coupent les surfaces, pourvu que cet angle ne soit pas nul.

Mais lorsqu'il est nul, le plan tangent à l’une de ces surfaces se confond avec le plan tangent à l'autre; ces deux plans n'ont pas, par conséquent, d’intersection commune, ou plutôt , ils ont à la fois pour intersection toutes les droites qui se croisent par le point de contact sur la surface de l’un d'eux É et la tangente demandée, qui est une de ces droites , reste indéterminée. Et comme les normales aux deux surfaces se trouvent confondues quand les plans tangens se confondent, le procédé du n° 496 ne donne rien de plus que celui du n° 495. vw

409: Il résulte de là que lorsque deux surfaces se touchent suivant une ligne, ce qui est la même chose que si elles se coupaient suivant les points de cêtte ligne sous un angle zéro, on ne sait pasméner de tangentes à cette même ligne par le moyen des plans tangens à ces surfaces.

Ces lignes portent, comme on sait, le nom de courbes de contact ; elles forment dans la Géométrie descriptive une grande classe de. courbes ; aux-

quelles on ne sait menerdes tangentes que par le moyen qu'on verra n°766.

5oo. Lorsqu'une branche de courbe est infinie, comme on en a Vu pré cédemment des ÉRGNPIES (437 ét 480), la tbderite quiason point de’ écttaet à l'infini est ce qu’on appelle une asÿ mptote (8 77).

Parmi les courbes que nous connaissons le mieux, l'hypérbole et db pa rabole nous présentent, par rapport aux asÿmbptotes , ce qu’offrént les lignes courbes en général. Pôur les unes, la tangente tout entière passe à l'infini quand le point de contact s'éloigne à l'infini : telle est la parabole (885): telle est aussi l’hélice. Ces courbes, et-toutes celles qui sont dans'le même cas, ne présentent pas d’asymptotes. Pour les autres, l'éloignement du: point de contact à l'infini n’entraine ‘pas tous les points de la ‘tangente ‘aussivà l'infini; cette tangente prend alors une situation: particulière, et, dans cette situation , elleest l'asymptote de la courbe : c’est ce qui a lieu FRANS perbole (876 et877). |

5or. Dans tous les cas, la tangente à une ligne d’intersection étant l’intérsection des deux plans tangens correspondans , il arrivera, lorsque le point de contact ‘passera à l'infini ARE les plans tangéns seront à Pinfiru, ou seront parallèles, si la courbe n’a pas d’asymptote, ou qu'ils se couperont , si elle en a une. D'où l’on voit que la question de mener des ‘asymptotes aux intersectionsde surfaces se trouve ramenée à la recherche des plans tangens qui touchent les surfaces données à 'infi

Les DioHIUnËe suivans acheveront d’éclaircir cé qui précède.

5o2. PROBLÈME 1%. Par un point donné.(F, F'), de. l'intersection (ADGK, A’G') d'un cylindre vertical ABCD...., et d'un plan Aer > inener une tangente a cette intersection.

Menütis par le point F la droite Fq, tangente à la base ABCD:.. , " cylindre ; la tangente demandée sera dans le plan vertical Fg : mais elle sera aussi dans le plan A’G" de l'intersection ; donc ‘cette FRBERSRER la droite (Fq, F'Q).

. 503. Il sera facile de la ae He sur le rabattement AG. #5 0Car gl estclairque lorsqu'on fait tourner le;plan A'Q, autour de la droite (MN, A!Q), le point (n, n') de la tangente (Fg, F'Q), situé-sur la chärnière , ne prend aucun mouvement : donc 1l-est lui-même son rabattement. Qu le sr (F, F) se rabattant en @, la tangente (Fy, F'Q) se rabattra en. n@.

504. PROBLEIE ge Étant” donnée, sur le développement da y du .

cylindre ABCD......, la tran re A'B'C'..... de l'intersection

{ABCD. …, A'G'), mener par le point K' une tangente à cette transformée.

. On connaîtra, sur l'intersection (ABCD..., A/G), le point (F, F’) qui dans le développement devient F ; on menera, par le procédé du problème précédents la tangente (Fq, F’Q), ét comme on de cette tangente et de l'élément (F, {F') ne varie pas quand on développe le cylindre (495), 1l ne s'agira que de construire, sur le développement, le triangle rectangle que forment les points (F, F” » (F,f); (g, Q), et l’on obtiendra la tangente demandée. Or, on a déjà SF" — fF', l'angle F'fa’ est droit, donc si l'on prend fg= Fq, et que l'on mène gF”, le triangle f/g'F' sera le triangle cherché, et la droite q'F" la tangente demandée.

505. PROBLÈME 3. Étant donnés le cône {(A, A’), (BCDE, R'Q')}, le plan (FL, FD’), et les deux branches (BMC, FM, (DGE, D'G), de leur intersection , on demande les asymptotes de cette intersection. Il s'agira de trouver les plans tangens au cône à l'infini (or), et pour cela il faudra chercher d’abord les élémens sur lesquels se trouvent les points des branches (BMC, FM”), DGE, D'G), situés à l'infini. Pour obtenir ces élémens, menons par le centre (A, A’) de la surface conique donnée un plan («6d, aA!), parallèle au plan coupant (FL, FD’); ce plan coupera le cône suivant deux élémens (GA, &A'), (d'A, aA/), parallèles au plan (FL, FD’), lesquels, par conséquent, ne pourront rencontrer ce dernier plan que suivant quatre points situés à l'infini : (BA , &A'), (JA, «A, seront donc les élémens cherchés.

506. Si l’on veut savoir comment les points situés à l'infini se lient aux deux branches de l'intersection , on imaginera que Vélément (RA, R'A se meuve pour engendrer lé cône, Dans sa position Imitiale , il percera le plan coupant en (M, M'); lorsque le point R sera en H/, le point d’intersection sera en ([', 1); il viendra ensuite en (B, F); puis à mesure que le point R approchera du point d', le point d'intersection s’éloïignera, sur ia nappe inférieure du cône, des points (M; M’), (l', 1), (B, F). Enfin ce point d'intersection sera à l'infini, au-dessous du plan horizontal, quand le point R coïncidera avec le point d'; car alors la génératrice occupera la position (d'A , «A parallèle au plan coupant. À partir de cette position, la . droite mobile donnera des points de la branche supérieure de l'intersection; et d’abord l'élément (d'A , &À”) devant percer le plan coupant, aussi bien par son extrémité inférieure que pour son extrémité supérieure, cet élément don-

Pro:

nera un point de la branche (P"D , PD"), situé à l'infini au-dessus du plan horizontal. Ensuite , à mesure que le point R avancera vers le point Q, le point d'intersection s'abaissera , en parcourant la branche (DP'G, D'G'), et quand le point R sera en Q , le point d’intersection sera en (G, G’): En continuant de faire mouvoir le point R sur le demi-cercle QDCR, les circonstances qu'on vient d'examiner se reproduiront dans un ordre contraire. |

507. Maintenant nous remarquerons que la tangente en un ont ED; de l'intersection donnée, est la droite suivant laquelle le plan tangent au cône suivant (T', 1), ou, ce qui revient au même, tout le long de l'élément (AH, A’A), coupe le plan (LF , FD”). D’après cela, l'asymptote à la branche (TB , IF) sera l'intersection du plan coupant et a plan tangent au cône suivant l'élément (Ad', Aa).

508. Pour construire cette intersection , nous remarquerons qu ‘elle est nécessairement parallèle à la droite (AS A'a); nous menerons par le point d la droite de, tangente au cercle BCDE ; cette droite sera la trace horizontale du plan tangent au cône suivant l'élément (AS, Aa), elle coupera la trace horizontale FL, du plan coupant, en un point € qui appartiendra à l'asymptote pérallile à à (Ad', Aa) : donc en menant par ce point la droite (8, FD”), cette droite sera l’asymptote cherchée.

Si l'on voulait mener l’asymptote de la branche (P"D , PD”), on serait conduit au même résultat par les mèmes constructions : donc la droite (8 , FD) est l’asymptote de deux branches de l'intersection donnée.

En menant un plan tangent au cône suivant l'élément (6A, «A'), il aura pour trace horizontale la droite 6e, tangente en 6 au cercle BCDE, et il coupera le plan (FL, FD') suivant l'asymptote (x@, FD'), des deux autres branches (IC, IF), (PE, PD'), de l'intersection. D'où l’on voit que les parties (BMC, M'F), (PGE, G'D'), de cette intersection, qui est une hyperbole (583), sont conjuguées entre elles au moyen de LS asymptotes (68, FD'), (79, FD’). |

5og. Si l’on veut avoir ces asymptotes sur le rabattement de l’intersection, il ne s'agira que de construire deux points de chacune d'elles sur ce rabattement. Or; il est clair que si l’on prend F7’ — F7, et

Fé’ = FC, les points 7’ et €’ seront les rabattemens de + et £ ; en cherchant donc, par le même moyen, les rabattemens de deux autres points tels que 9 et @, on pourra mener les asymptotes 7'9', {'&, du rabattement de l'intersection.

510. Si le plan coupant ne rencontrait qu'une des deux nappes du cône , l'intersection n'aurait pas d’asymptotes, quoiqu’elle püt avoir des points à l'infini. En effet, prenons pour plan coupant le plan w4, perpendiculaire aa plan vertical et parallèle à l'élément (RQ, R'U) ; il est clair qu'il ne pourra rencontrer que la nappe inférieure du cône. Or, chaque élément percera ce plan èn un point, et la suite de ces points formera une courbe qui, à partir du point À, s’étendra jusqu'au point où ‘élément A’R’ et le plan «L se rencontreront , C'est-à-dire jusqu'à l'infini. Mais la tangente à l'infini, ou, ce qui revient au même, l’asymptote, sera l'intersection du plan R'A, tangent au cône et perpendiculaire au plan vertical, avec le plan &4 ; et comme ces plans sont parallèles, ils ne se coupent qu’à l'infini : donc l'intersection dont il s’agit, qui est une parabole (586), n’a pas d’asymptotes (500).

511. Nous ferons remarquer que les droites (£8, FD”), (x, FD’), ont leurs projections horizontales ponctuées dans l’intérieur du cercle BCDE. La raison en est que ces droites sont situées au-dessous de la nappe supérieure du cône, et qu'elles ne sont vues, en projection horizontale, qu’au dehors de la projection de cette nappe.

b12 PROBLÈME 4. On demande sur le développement du cône {(A, A”), (BODE, R'0Q')}, Les asymptotes de la transformée . ..cmb... , FORD lo Dpe...

Imaginons que le développement du cône soit fait sur le plan tangent correspondant à l'élément (d'A, «A’), plan dont la trace est de, et qui contient l’asymptote (£8, FD’). Il est clair que dans l'opération du développement , la petite zdne commune à ce plan et au cône n’éprouvera aucun changement : et comme cette zône contient les extrémités des branches de l'intersection suivant lesquelles cette intersection est touchée par l’asymptote (£8, FD’); il s'ensuit que cette asymptote, en conservant sa position par rapport à l'élément (JA, «A'), sera l'asymptote de la transformée. Mais le développement est toujours le même, quel que soit le plan tangent sur lequel on le suppose fait : donc les asymptotes de la transformée sont des droites parallèles à ce que deviennent les élémens (d'A, «A"), (A, aÂ’), lorsqu'on développe le cône. De plus, ces droites sont éloignées de leurs parallèles des distances dY, 67, qui séparent les asymptotes (£8, FD’), (7®, FD’), des élémens (d'A , «A'), (GA, aA'). |