PIS

PLE35 et 21:50:

Fig. 1.

PI. 35 et PI. 36.

Fig. 1.

Il suit de là que si l’on porte les arcs Rd', R6, de r en d”, et de r en 6’, sur le developpement, pour avoir les élémens d'a, C'a, qui ne sont autre chose que les positions qu’occupent (d'A , «A”), (6A, aA'), sur ce développement , et qu’ensuite on prenne sur les droites d'£", 6x", tangentes au cercle q'é’rd'q, les grandeurs d'£" = JY, 67 — Cr; puis, que l’on mène, par les points obtenus £” et 7”, les droites £"8", x"@", respectivement parallèles aux élémens d'a, Ca, ces droites seront les asymptotes demandées.

513. Si le développement du cône était complet, c’est-à-dire si les circonvolutions infinies du cercle BCDE étaient toutes rapportées sur le cercle rqs'usq', la transformée aurait une infinité de branches, conjuguées entre elles deux à deux, au moyen d’une infinité de droites, dont chacune serait l’asymptote de deux branches.

514. PROBLÈME 5. Étant donnée l'intersection d'un plan et d'une

surface de révolution, mener, par un point de cette intersection, une droite qui lui soit tangente. |

Par le point de contact donné, on menera un plan tangent à la surface de révolution , il coupera le plan donné suivant une droite, et cette droite sera la tangente demandée. ;

Nous laisserons au lecteur le soin d'appliquer cette solution à l'épure de la planche 37.

515. PROBLÈME 6. Étant donnés deux cylindres, et ur point (T', #) de leur intersection , on demande la tangente en ce point, à cette intersection. j |

Par les élémens (OT, ot), (GT, gt), dont l'intersection est le point

(T, £), on menera des plans respectivement tangens aux deux cylindres

auxquels ces élémens appartiennent ; ils auront pour traces horizontales des droites O8, G8, tangentes aux bases ABCD, EFGH; ces traces se couperont en un point 8 du plan horizontal ; et la droite menée par cé point, et par le point (T, é£), sera la tangente demandée.

Nous avons mené la projection horizontale ÊT de cette tangente. Si l'on veut avoir sa projection verticale, il ne s'agira que d’abaisser par le point À une perpendiculaire sur la ligne de terre , et de mener par le pied de cette perpendiculaire, et par le point £, une droite, qui sera la projection cherchée.

516. Proszème 7. Etant donnée l'intersection de deux cônes, obtenue pl. 4o, on demande les asymptotes des diverses branches de cette intersection.

Nous avons trouvé (480) les élémens parallèles des deux cônes en question ; ces élémens se rencontrent à l'infini suivant des points de l'intersection donnée; ainsi , il ne s’agit que de mener des plans tangens aux cônes donnés suivant ces élémens, et les intersections de ces plans seront les asymptotes demandées (Bor).

Or, les élémens parallèles sont ceux dont les projections horizontales sont Kf” et Ra d’une part, et d'autre part LP et SQ; donc si Pon mène, par les points f” et a, les droites f'6, a respectivement tangentes aux bases des deux cônes, ces droites, qui seront les traces horizontales des plans tangens aux cônes suivant leurs élémens parallèles, se couperont en un point Ü de l’une des asymptotes. Et comme cette asymptote est nécessairement parallèle à la droite (K/f”, K'/f”), il ne Sagira que de mener par le point 8 une parallèle à la ligne (K/f”, K’f”), et cette parallèle, dont la projection horizontale sera 67, sera, par une extrémité, l’'asymptote de la branche puz, et par l’autre extrémité, l’asymptote de la branche gJ'y.

Il serait facile de construire la projection verticale de cette première asymptote, mais nous ne la construisons pas, afin de ne pas embrouiller la figure. Quant à la seconde, dont la projection horizontale est w®, elle sera symétrique de la première par rapport au plan mX, et elle s'obtiendrait d’ailleurs par des opérations pareilles à celles que lon vient d'exposer.

Sim: Proszème 8. Etant donné un point (s, s') de l'intersection de deux surfaces de révolution, obtenue pl. 41, on demande la tangente en ce point à cette intersection.

D’après le procédé du n° 495, cette tangente sera l’intersection des deux plans tangens en(s, s’) aux deux surfaces de révolution; donc elle percera le plan horizontal de projection au point où se couperont les traces de ces deux plans. Donc si l’on construit ces traces, et qu’on mène par leur point de rencontre et par le point (s, s’) une droite, cette droite sera la tangente demandée. On voit par là qu’il sera aisé de la construire.

Ramenons le plan méridien As de lhyperboloïde en AC; le point (s, s”) viendra en (C, C’), et la tangente à la méridienne As se trouvera la droite (C«, C'x’), tangente en {C, C”) à l'hyperbole B'C'DE. Cette tangente percera le plan horizontal en (x, #’), et lorsqu’on ramenera le plan AC en As, le point (x, «") viendra en 6; d’où nous conclurons que la tangente en (s, s’), à la méridienne As, perce le plan horizontal en 6. Or, cette tangente est dans le plan tangent en (s, s”) à l'hyperboloïde; donc la trace de ce plan passe par le point 6. Mais on sait, d’après ce qu’on a vu précédemment (294) , que cette trace est perpendiculaire au méridien As ; dont enfin, cette même trace est la droite C8 , perpendiculaire au point € sur la droite AC.

Cherchons maintenant la trace horizontale du plan tangent au paraboloïde en (s, 5’).

Pour cela, concevons qu’on fasse tourner le plan méridien qui correspond au point (s, s"}s.

autour de l’axe(GF , G'F') , jusqu’à ce que ce méridien soit devenu vertical; le point (s , &’) décrira dans le mouvement un cercle IQ ; ce point viendra s’abattre en I; la tangente correspondante au point (s, s’) se trouvera coïncider avec la droite 19, et il est clair que si Fon construit le point où cette tangente (GF , 19) rencontre l'axe (GF, G'F"), et que

PL 4r.

Von mène par ce point et par le point (s, s’} une droite (GF, s’à), cette droite sera la tangente en (s, s°) à la méridienne qui passe par le point (s, s’).

Menons par le point I la droite I’, perpendiculaire à 19’; cette droite rencontrera axe (GE, G'F”) au point (+,e), et ce point sera évidemment celui où concourront toutes les

mormales du paraboloïde correspondantes au cercle IQ : donc si lon mène par le point s

et par le point e la droite se, cette droite sera la projection horizontale de la normale en (s, s°) à la surface du paraboloïde.

Or, le plan tangent à cette surface en (s , s’) passera par la tangente (GF, sx), et séra parpéadiliiatel à la normale (se, se’); donc si l’on construit le point où la droite(GF, s à) perce le plan horizontal, et que l’on mène par ce point la droite #0 perpendiculaire à se, cette droite a sera la trace horizontale du plan tangent au paraboloïde.

Ayant les traces 60, #8, on construira la projection #’ du point (4, #"), où elles secoupent, et la droite (4s, “s), qui passera R9E ce point et par le point (s,s°), sera He” tangente demandée.

518. Le procédé du plan normal (496), dû à M. J. Binet (*), sera d'un emplôt beaucoup plus avantageux.

D’après ce procédé, il s'agira de mener par le point (s, s’) deux droites respectivement normales aux surfaces données; on construira le plan qu'elles détermineront, et en menant par le point donné (s,s") une droite perpendiculaire à ce plan, cette droite sera la tangente demandée. f

Pour opérer le plus simplement possible, on prendra le plan GF, des axes de révolution, pour plan vertical de projection. La normale (sA , s’i) à l’hyperboloïde sappuiera sur un point (A, &) de l’axe (A, A’A"), et elle percera le plan horizontal en (rm, m'). La normale (es, «'s") au paraboloïde s’appuiera sur le point (e, s’) de l'axe(GF, G'F"), et elle percera le plan horizontal en £. Les points (A, ë), (+, #), étant très faciles à déterminer, et les normales (sA , s'i), (es, ss’), s’ensuivant, les traces £rm , #'in, du plan qu’elles détermineront, se construiront fort aisément , et les droites ês, #'s’, menées par les points s, s° , perpendiculairement aux traces respectives ënm, ein, seront les projections de la tangente demandée (4's, 4s”).

On remarquera surtout que dès que lon a construit les deux points. cet i, où les normales s'appuient sur les axes de révolution, la projection verticale sb perpendiculaire à #2, se trouve déterminée. j À

519. Si l’on voulait connaître les tangentes aux courbes 7’#s", y'za’, suivant les roi singuliers 7’, s’, y’ et a”, analogues à ceux que nous avons examinés n° 7183 ; il serait tout naturel d'appliquer aux points (r,r'}, (v,#'),(y, y), (@, a’), le premier-des deux pro-# cédés que nous venons d’exposer, et l’on trouverait que les tangentes en ces derniers points sont des perpendiculaires au plan vertical. D’où il faut conclure que les tangentes en 7,9", y, a, aux courbes r'##,y'za", sont les points 7’, »', y. a", eux-mêmes : c’est-àdire que ces courbes, comme projections de l'intersection donnée, n’ont pas de tangenies aux points 7°, #’,Y' et a’, où elles s'arrêtent. : us *

(*) Voyez la Correspondance sur l'École polytechnique, tom. IIT, pag. 199.

* 520. Mais on remarquera que les courbes r'##", yza', considérées indépendamment de da fonction, qu’elles remplissent sur l’épure, d’être les projections de l'intersection d’un ‘hyperboloïde à une nappe et d’un paraboloïde elliptique, ne s'arrêtent pas en r,v,yet a. “En effet, les droites KM et DN,, que détermine le cercle DC'KM, donnent un point W de la branche za’ prolongée; et les points de la même branche, situés entre a’ et W, sont donnés par d’autres cercles plus petits que DC'KM. Le cercle bLcd, tangent au sommet L de la pärabole HIKLMQN ', et les cercles compris entre DC'KM et Lcd, déterminent des “cercles analogues à C'P et à KM, qui donnent des points de la branche #'#", jusques et au-delà du point »’. Enfin, tous les cercles possibles, plus grands que DO'KM, déterminent des droites analogues à C'P,DN et IQ, qui donnent jusqu’à l'infini des points des branches Ésr,2y (*).

521, Or , puisque les courbes r'##", y'za', se prolongent au-delà des points r’, #’,y" et a’, elles ont nécessairement des tangentes en ces points.

Imaginons que le point(s,s"}se meuve sur l'intersection donnée : à chacune de ses positions il correspondra une position dupoint #’, une position du points, et une position de la droite ei, qui passe par ces points. Lorsque le point mobile aura dépassé le point (r, r”), il se trouvera sur la.branche (rxu, r's'#); il occupera successivement sur la projection verticale 7's'#', toutes les positions qu’il y aura déjà occupées , et la droite £’i reprendra aussi ses premières positions. Cela posé, considérons ce point dans la position (r, r’) : la droite correspondante ei étant la trace du plan normal sûr le plan GF, et ces deux plans se trouvant confondus pour cette position, il semblerait qu'on dût en conclure que, pour le point (r, 7’), la droite &£ n’existe pas : mais, en y réfléchissant , on en conclura seulement. que sous le rapport de la coïncidence du pian normal et ‘du plan GF elle est indéterminée.

Et par un examen plus approfondi, on verra qu’il y a des conditions particulières Qui la déterminent. Effectivement , il est clair qu’elle est la limite des positions que prend #5, lorsque le point (s,s’) se meut sur (srxw, r's #), et qu’elle passe, par conséquent , par les points où les normales correspondantes au point 7” s'appuient sur les axes de révolution; car ces normales sont aussi les limites de celles qui correspondent aux diverses positions

. (*) Les circonstances qu’on vient d’examiner tiennent à ce que la construction qui donne les points des lignes r/1/w’, y/za', est plus générale que la définition de ces lignes comme projections de la ligne d’interseetion. ]1 peut arriver encore que la loi qui lie les points de ces lignes soit plus générale que celle qui résulte de la construction de leurs points, et dans ce cas, à plus forte raison, ces mêmes lignes, au lieu de s’arrêter aux points donnés par le cercle Led, se prolongeront au-delà. C’est ce qui a lieu effectivement pour la figure en question ; car l’analyse fait voir que les deux branches de courbe r4’#", y/za’, appartiennent à une même hyperbole. Ceci va s’éclaircir au moyen d’un exemple fort simple.

Sup posons que les surfaces données soient deux sphères égales, leur intersection sera un cercle dont le plan “serai perpendiculaire sur le milieu de la ‘droite qui joindra leurs centres, et ce cercle aura une portion de ligne droite pour projection sur un plan quelconque mené par ces centres. Or, on pourrait construire la portion de ligne droite dont il s’agit par celte propriété des points de l'intersection, qu’ils sont, en projection, ‘es intersections de deux cercles égaux dontion fait varicr le rayon, ce qui dohértte la droite indéfinie, tout entière, dont une partie seulement est la projection du cercle. On voit par Jà que si les deux sphères données ne se coupaient pas, la construction générale n’en donnerait pas moins la projection de leur intersection.

« La matière de cette note est tirée du Traité des propriétés projecties de M. Poncelet, sect. Ire, ch. II.

PI. 4r

Fig. 2.

du point mobile (s, s”). Donc on obtiendra la tangente en 7’, et conséquemment en +”, y, et a’, par la règle du n° 518.

Toutes les fois que les deux surfaces données sont deux surfaces de ME e cette règle donne les tangentes aux points tels que 7’, »’, y',et a’, où se termine leur Le. tion, sur le plan de projection parallèle à leurs axes. :

On pourrait demander aussi les tangentes aux arcs des courbes r'##’, y'za!, qui, ainsi que r'p et a" W, se trouvent au-delà des points 7”, #’,y’ et a’; maïs le moyen que fournit la ligne variable #5 ne s’applique pas à ces arcs, parce qu’il n’y a pas, pour leurs points, de normales analogues à s’e et si. Les dernières de ces normales sont celles qui répondent au point 7’.

522. ProszÈmE GÉNÉRAL. Étant donnée l'intersection de deux surfaces , et supposé que cette intersection ait une branche indéfinie qui ait une asymptote, trouver , 1°. cette asymptote; 2°. si l’une des deux surfaces est développable , trouver sur son développement, l'asymptote de la transformée de la branche indéfinie.

Pour’ résoudre la première QRESHORS on cherchera d’abord les génératrices des deux surfaces données qui se rencontrent à l'infini; on menera ensuite les plans tangens qui touchent ces surfaces à l'infini, et l'intersection de ces plans tangens sera lasymptote demandée (5or).

523. Pour résoudre la seconde question , imaginons que le développement soit fait sur le plan tangent qui contient l’asymptote; il est clair (497) que rien de ce qui sera contenu dans ce plan ne changera en faisant ce développement : donc la position de cette asymptote, par rapport à l'élément qui contient le point de contact situé à l’infini, sera sur le développement la même que dans l’espace.

Il suit de là que pour avoir l’asymptote demandée, il ne s'agira que de construire une droite qui ait, par rapport à l’élément qui sur le développement passe par extrémité de la branche donnée, la position connue que l’asymptote présentait avant le développement par rapport au même élément.