CHAPITRE IV

: e Des Sections coniques,

524. On appelle sections Coniques les lignes d'intersection des plans et des cônes à bases circulaires. 4

Avant d'étudier les propriétés de ces gras > nous, 2108 send 4 donner des idées générales de leurs formes. Mau

525, Soit ASB la projection d’un cône quelconque à base circulaire ,

et soit G la projection d’une droite que nous supposerons menée au travers du cône. Concevons par cette droiïte un plan; imaginons qu'il tourne autour de la droite G, et voyons quelles sections il donnera dans ses diverses positions.

Par le point G, menons les droites GP, GP”, respectivement parallèles aux contours SA, SB, de la projection du cône. Il est clair que dans toutes les positions pq, p'q', pq", du plan coupant, comprises dans l’angle Q'GP, il rencôntrera tous les élémens d’une même nappe, et qu'il donnera des sections fermées. Il est clair également que dans toutes les positions mn, mn, mn", comprises dans l’angle PGP”, il coupera les deux nappes, mais sans rencontrer tous les élémens, et qu'il donnera des sections à deux branches , situées , l’une sur la nappe inférieure, et l’autre sur la nappe supérieure.

Quant aux sections PQ, P'Q', qui sépareront les sections fermées des sections à deux branches , il est évident que ce seront des sections ouvertes à une seule branche infinie. Le caractère de ces sections PQ, PQ’, est que leurs plans sont ‘parallèles à des plans tangens SA, SB, du cône ; et l’on voit qu'elles sont tout-à-la-fois, ou des courbes fermées, comme pq", infiniment alongées à l'opposé du point g”, ou des courbes à deux branches, comme mn, dont la branche 7 serait passée à l'infini.

Si le plan coupant mn, d’une section à deux branches, s'approche du sommet S, l'intervalle compris entre ces branches diminuera de plus en plüs; et si le plan m7 contient ce sommet, les deux branches se trouveront réunies , et formées par le système de deux droites.

526. Si le point G vient peu à peu en g, la section PG, ouverte à l'opposé du point g’, se resserrera de usbe en dite contre éllième ) et lorsque le point G sera en g, cette section aura la position AA’ ; elle se trouvera donc formée par une seule ligne droite. Cette ligne sera tout-àla-fois, 1°. une section à deux branches, infiniment étroite; 2°. le système de deux sections ouvertes ,, comme GP, 2R, dont la réunion aura été opérée par le rapprochement des points g’ et L, et qui, l’une et l’autre, seront aussi infiniment étroites. Si le point G, au lieu de suivre la ligne Gg, parallèle à BS, suit une autre ligne GA, de facon qu’en s’approchant du plan AS il s'éloigne du plan BS , la section P'Q, ouverte à l'opposé du point g, s'ouvrira de plus en plus ; et si le point G vient sur SA , à une distance infinie au-dessous du point À , la section , en continuant toujours de s'ouvrir , se changera encore en une droite. Ainsi, soit que

Fig. 2

Fig. 4.

la section non fermée à une branche se resserre ou s'ouvre, elle tend toujours vers une droite, seulement, il faut remarquer que dans le premier cas la droite est tangente à la courbe, tandis qu’elle la coupesdans le second.

Si le plan coupant est un plan rs, passant par le sorpinet S, la section sera une courbe fermée contractée en un seul point. ns

527. Si l'on imagine que le point S s'éloigne à une distance infinie. de la base circulaire de cône , ce cône se changera en un cylindre, et le plan coupant donnera en général une section fermée, qui, comme cas particulier , appartiendra au genre de courbes nommées sections Coniques: Si le plan coupant devient parallèle aux élémens du cylindre, cette sec tion se changera en deux droites parallèles plus ou moins écartées, quise réuniront en une seule dans le cas où la droite G, au lieu de traverser la surface, ne ferait que la toucher. |

528. Il ie de ce qui précède pour montrer que les sections coniques. ont la plus grande analogie avec les courbes qu’on nomme ellipses ;.hyperboles et paraboles (855 — 888). On verra plus loin (581 — 586) que cette analogie est une identité : mais avant de le démontrer, il est nécessaire d'étudier les principales propriétés des sections coniques. Nous.les considérerons comme formées de trois espèces, 1°. les sections fermées ; 2°, les sections à deux branches; 3°. les sections ouvertes à une seule branche. Quant aux cas singuliers exarninés tout-à-l'heure , ils rentrent dans ces trois espèces.

529. DES SECTIONS CIRCULAIRES DU CONE. Imaginons dans l’espace un cône à base circulaire ; concevons par le centre de cette base deux droites ; l’une perpendiculaire à son plan, l’autre menée au sommet, et par ces deux droites faisons passer un plan : il divisera le cône en deux parties symétriques ; nous le nommerons plan principal (*).du cône , et il sera celui de la projection que nous allons tracer.

530. Soit SA, SB, les élémens suivant lesquels ce plan coupera la surface conique, et soit AB le diamètre suivant lequel le même plan coupera la base circulaire. Le plan de cette base et le plan ASB étant perpendi-

(*) On verra dans la suite (593) qu’il y a d’autres plans du cône qu’on nomme plans principaux ; mais comme on les désigne d'ordinaire collectivement, la dénomination de plan principal, appliquée à à un seul plan, n "offrira à aucunc équivoque.

culaires entre eux , la base dont il‘s'agit se projettera sur le plan de la figure suivant la droite AB, et l’on sait (898) que tous les plans parallèles au plan AB couperont le cône suivant des cercles.

Cela posé’, considérons le plan principal ASB comme horizontal ; portons SA en Sa, SB en Sb, et menons ab* Il est clair que l'intersection du cône et du plan vertical ab sera une courbe fermée dont les tangentes en a et b seront verticales, comme celles en À et B de la section AB ; que’la droite ab, qui joint les points de contact «& et b , sera égale à la droite AB , qui joint les points de contact À et B, et que les deux sections ab, AB, se couperont dans la verticale m, telle que bm— Bm, en sorte que pour des abscisses égales bm > BM, dk auront, dans cette verticale, des ordonnées égales.

Cette: analogie entre ces deux courbes AB, ab, conduit à penser que la dernière est un cercle comme la première : cela est effectivement. Pour le prouver, menons entre les deux points & et b un plan quelconque A’B/, parallele à AB ; il coupera le cône suivant un cercle (898), et l’ordonnée en P, que nous nommerons 7, sera commune au cercle et à la courbe ab. Or, cette ordonnée étant moyenne proportionnelle entre les deux segmens correspondans A’P, PB’, on aura : |

k Ha NP XSRB':

mais les triangles semblables AP, B'Pa, donnent

| Al aPi:CpOes PP, ou A'PSUPR = PK PT; donc on a : 7° = al x Pb.

Ce qui montre que l’ordonnée en P est aussi moyenne proportionnelle entre les deux segmens aP,.Pb, quelle que soit la position. du point P entre a et b : donc la section ab est un cercle égal à AB.

551. Il suit de là que les plans parallèles à ab, de même que ceux parallèles à AB, coupent le cône suivant des cérelés

On donne : à ces deux systèmes de plans, AB, A'B', etc., d’une part, ab, a'b', etc., d'autre part, qui, sans être parallèles, forment dans le cône de sections circulaires , le nom de plans antiparallèles ; et aux sections qu'ils déterminent celui de sections ou de cercles antiparallèles.

Nous verrons plus loin (596) qu'il n’y a pas d’autres plans, que ceux

Fig. 4

Fig 4

dont il vient: d’être question, qui puissent couper le cône suivant des cercles.

532. Une section Du Lies ab. étant donnée, ainsi que le pete principal Sôa, 1l est clair que les sections AB, AB’, antiparallèles à ab, seront telles que les angles SAB,, SA'B', des plans de ces sections et del’ dlérens Sb, soient égaux à A Sab:, du plan ab et de l'élément Sa.

De même les angles SBA, SB'A/, sont égaux à Sbg.

Ces égalités d’angles caractérisent les plans antiparällèles : : il faut toutefois bien remarquer que les élémens S, Sa, avec lesquels ils, se trouvent formés , sont les intersections du cône et du plan principal.

553. On Fernarquera aussi que les centres de toutes les sections. circulaires parallèles à AB, sont sur une droite SC, qui divise AB.en deux parties égales, et qui est dans le plan principal ASB. Les centres des sections circulaires parallèles à ab, sont de même sur une droite SC!, :comprise dans le plan principal. D'où il suit que ce plan est caractérisé par la propriété de contenir les centres des sections nn RD AB, A'P’; etc. , ab, ab”, etc.

On va voir découler de ce qui précède une suite de propriété fort intéressantes dont jouissent les cordes du cercle. fi

534. DES POLES CONJUGUÉS, et des cordes conjuguées, des cônes et des cercles (*). Concevons dans l’espace un cône quelconque à base circulaire, et imaginons qu’une droite le perce en deux points; la portion de cette droite comprise entre ces points sera ce qu'on nomme une corde du cône. Nous appellerons une telle corde, corde, intérieure , lorsqu'elle aura ses extrémités sur une même nappe, parce qu'elle sera effectivement dans l'intérieur du cône; et nous la nommerons ; corde extérieure , lorsque ses extrémités seront sur les deux nappes opposées du cône > Parce qu ‘elle sera dans ce cas au dehors de ce cône.

Suivant l'usage, nous donnerons souvent à la droite entière, dont ‘une partie servira de corde à un cône, le même nom de corde qu'à cette

(*) La presque totalité, de ce‘paragr ae et des deux suivans est due au Mémoire,de . M. Brianchon sur Les lignes du second ordre , et surtout au 7 raité des propriétés projectives de M. Poncelet. Nous avons dû adopter pour ce chapitre la marche que nous. suivons dans le reste de l'ouvrage, ce qui donne une physionomie neuve aux paragr aphes dont il s’agit; mais le fond n’en appartient pas moins aux ‘deux auteurs que nous venons de citer, et à M. Carnot ; qui leur a ouvert Ila earriète par la Géométrie de positions)

CHAP, IV. DES SECTIONS CONIQUES. 203 païtie , et toutes les droïtes parallèles qui le réncontreront, même celles qui ne feront que le toucher > S'appelléront par cette raison des cordes parallèles. |

535. Soit S le sommet d'un cône, et MNPQ le cércle qui Jüui sert de basé ; menons par le sommet S une droite SO, parallèle à un système de ce parallèles quelconques , ét soit O le point où cetté droite percera le plan MNPQ. Il est clair que tous les plans menés par lé mèmé sommet, et par les cordes en question, passeront par la droite SO; d’où l'on voit que leurs traces TO, MO, " etc., sur le plan MNPQ, concourront au point O.

Nous donnerons à ce point le nom de pôle des cordés parallèles à SO (*). Il est évident que si ces cordes sont des cordes intérieures, le pôle O sera situé à l'extérieur de la base MNPQ, ét qu'au contrairé , si ce sont des cordes extérieures, le pôle Ô séra dans l’intérieur de MNPQ.

536. Parmi toutes les traces possibles TO, MO, VO, etc. , il ÿ en aura deux OT, OR, qui seront tangentes au cercle MNPQ, ét qui détermineront, par leurs points de contact T et R, la cordé TR de ce cercle. On donne à cetie corde le nom de corde polaire, ou simplement de polaire du point O, et ce point prend par rapport à cette polaire , le même nom dé pôle que nous lui donnons relativement aux cordes parallèlés à SO.

537. Cela posé, soit mnpq un cercle antiparallèle à MNPQ ; coupons ce cercle par un système de droites parallèles or, mn, tr, etc., menées dans son plan ; par le sommet S, menons une droite SO’, KE aux droites de ce système, et par ce ie et ces droites menons une suite de plans. Leurs traces sur MNPQ seront, comme on vient de le voir (535), une suite de droites Las MN,TR, etc., concourantes au pôle 0’, où la droite SU’, parallèle à v asr', mn, e etc., perce le plan MNPQ ; et la droite VU, menée par les points du contact V et U des tangentes VO’, UO', sera le polaire du point UE

() hs traces des plans menés par le point S et par les cordes parallèles sont ce qu’on appelle les perspectives deces cordes, sur le plan MNPQ, pour. le point de vue S; et le point O est ce qu’on nomme de point de concours de ces perspectives.

Tout ce qui va suivre dans ce chapitre est principalement fondé sur ce principe : que les POFSACEINE des droites parallèles concourent, et que des perspectives parallèles répoñdent à des droites concourantes di ni le Traité de là Science du dessin, y. U, chap. TT).

Fig. r,

Fig. r.

Si les droites v'r/, mn, tr, étc., varient de direction, en restant parallèles et comprises dans le plan mnpq , le pôle 0’ variera ; mais il ne sortira pas du plan mené par le sommet S, parallèlement à mp » puisque ce plan contient toutes les droites mere au plan mnpq menées par le point : donc si la droite SO est parallèle aux cordes mg, vu, np, etc., ce pôle se mouvra sur la droite O0, intersection du PRE MNPQ et du PRE mené par le sommet parallèlement à #npq.

Nous donnerons à cette droite O0! le nom d’axe des pôles de la section. Il est évident qu il sera le même pour toutes les sections parallèles à mnpq. |

538. Supposons que deux systèmes de droites mn,tr, gp, etc., d'une part, mq, vu, np, etc. , d'autre part, fassent entre eux un angle droit , les langenies aux extrémités des diamètres é#r, vu, seront respectivement parallèles à ces diamètres , et feront conséquemment partie des systèmes de droites dont il s’agit; d’où il suit que les tangentes aux extrémités des cordes TR, VU, concourront respectivement vers les pôles O et 0", de mq, vu, np, €etc., mn, tr, qp, etc.

Nous EE Anene aux EME TR, VU, liées par cette condition, bg de cordes conjuguées, et aux trois points O, O' et 0", correspondans à ces cordes , celui de pôles conjugués.

539. Si l’on inscrit dans le cercle mnpq un rectangle quelconque mnpq , dont les côtés soient parallèles aux diamètres rectangulaires ér, vu, les plans menés par les côtés de ce rectangle, et par le sommet S, couperont le plan MNPQ suivant des droites MN et PQ, MQ etNP, respectivement concourantes en O et en 0’, et formant un quadrilatère MNPQ inscrit dans le cercle TURV.

Si le côté mn du rectangle mnpq pèn lieu de couper le cercle en deux points »# et n, le touche comme sr’, le rectangle s'r'#1!, au lieu d’être inscrit comme mnnpq , se trouvera circonscrit , et le quadrilatère correspondant T'U'R'V'$se trouvera formé par les tangentes aux extrémités des cordes conjuguées TR, VU, lesquelles tangentes concourront aussi en O et en O”.

Enfin les diagonales de tous les rectangles inscrits, comme ‘mnpq , et celles du rectangle circonscrit f’ur'v", se coupant toutes au centre ©, les diagonales des quadrilatères inscrits comme MNPQ , et du quadrilatère circonscrit T'U'R/V’, dont les côtés concourront en O et en O/, auront pour point de concours de toutes leurs diagonales le point 0", où la droite Sc, lieu des centres des sections parallèles à mapq , rencontre le plan MNPQ.

On voit donc que pour le quadrilatère T'U'R'V', et pour les quadrilatères tels que MNPQ , les pôles conjugués 0, 0° et 0”, sont trois points où concourent, 1°. les côtés dirigés dans un sens, 2°. les côtés dirigés dans l’autre, 3°. les diagonales. | À

54o. Ces propriétés du cercle MNPQ s'étendent , de la facon qu'on va voir, à un cercle quelconque TURV.

Prenons arbitrairement un point O dans le plan de ce cercle ; par ce point menons les tangentes OT , OR ; construisons la polaire TR du point O; sur cette polaire prenons un point quelconque 0; par ce point menons les tangentes OV, O'U; enfin menons la polaire VU du point 0’. Les droites TR et VU, ainsi déterminées, seront deux cordes conjuguées, et les propriétés dont il s’agit auront. lieu par rapport aux trois points O, 0”, et 0”, qui seront des pôles conjugués.

541.1 Pour démontrer cette proposition, il suffira de trouver dans l’espace un cône, ayant pour base le cercle TURV, et tel que les droites menées par son sommet, et par les points O et 0’, soient rectangulaires entre elles, et parallèles aux cercles de ce cône antiparallèles à TÜRV ; car il s’ensuivra que le cercle TURV sera, par rapport à l’un quelconque de ces cercles antiparallèles, ce que le cercle MNPQ est par rapport à mnpgq.

542. Conceyons que le centre C, du cercle TÜURV, soit celui d’une sphere engendrée par ce cercle , et rapportons cette sphère à deux plans rectangulaires de projection , l’un supposé horizontal, qui sera le plan du grand cercle TÜRV , l’autrewY, perpendiculaire à la droite O0”.

Par cette droite menons un plan tangent wz à la sphère ; il la touchera en un point (0", 0) dont la projection horizontale 0” sera sur la droite CO” perpendiculaire à à O0". Or, ce plan tangent wz touchera tous les cônes qui auront leurs sommets sur la droite (00’, «) et qui seront circonscrits à la sphère; et tous ces cônes toucheront la sphère suivant des cercles verticaux dont les plans passeront par la verticale (0”, 0'o). Il suit de là, en premier lieu , que le plan wz sera tangent aux cônes circonscrits à la sphère, qui ont leurs sommets en O et'en 0, suivant les élémens (00”, wz), (0'0”, wz); en second lieu, que le point O" sera situé dans les plans verticaux des cercles TR, VU, qui servent de bases à ces cônes, ou, ce qui revient au même, que le point 0”, projection horizontale du point de contact o , sera l'intersection des cordes TR , VU.

On remarquera aussi que les mêmes cônes dont O et 0’ sont les sommets, étant des cônes droits, et la droïte (0'0", wz), étant tangente en

Fig. r

Fig. 2.

Pret Fig. 2

Fig. 2.

(0”, 0) à la base de celui dont le sommet est én O, cette droite est hécessairement perpendiculaire à l'élément (00", &z) : c’est-à-dire que les droites (0"0”, wz), (O0", wz), sont rectangulaires entre elles.

Cela posé, considérons le cône qui a son sommet dans lé plan S0"C, au point projeté verticalement à l'intersection S/ des droites Yo, 0X, et dont la base est le grand cercle (TURV, XY). Ce cône coupera la ‘DNS suivant un second cercle, auquel äppartiendront les points o eto', et ce cercle sera situé symétriquement par rapport au plan O"S. Mais les angles S'YX, 00'$/, ont ge mesure la moitié de l’aré oX ; donc ils sont FAURE donc 1e plans 00° et XY sont antiparallèles (532) : donc le cercle 0/0 est à la fois sur la sphère ét sur le cône (*). Donc enfin ce cercle o’o, dont xx’ est la projection horizontale, est une mn d'intersection je ces deux surfaces.

Concevons que le point (8, &), où se coupent CO” ét O0’, soit le sommet d’un cône circonstrit à la sphère; il la touchera suivant le céréle en question (xx’, 0'o), et les plans Sx, Sx', seront tout-à-la-fois tân= gens en (x, K) et en (x’, K), au cône Sxx’, à la sphère, et au cône S'XY. Or, ces plans tangens contiennent les sommets (S, æ) ét S’ de ces cônes , et ils se couperont évidemment suivant la verticale élevée par le sommet (S, ©); donc cette verticale contiendra le sommet S’; done le point S sera la projection horizontale du sommet S' : ce qui montre que wS' et o'o sont deux droites parallèles.

Il s'ensuit que les angles wS'o, KoYŸ, sont égaux. Et comme l'angle &0S' égalé zoY, lequel a pour mesure la moitié de l'arc onY, ou la moitié de o’mY, qui est aussi la mesuré de l’angle 0'0Y, ou KoY ; or ps qu'on à

@0S" = KoY = 6S'0.

D'où nous conclurons que le triangle wS'o est isoscele, et que wo —= : &S/.

Il résulte de là que si l’on fait tourner le triangle (000, wo), rectangle en:(0”, o), autour de l’hypoténuse (00", ), le sommet (0”, o) de ce triangle décrira un arc de cercle (CS, oS), passant par le point (S, S). Si donc ce triangle s'arrête dans son mouvement au plan vertical a", s ses

(*) Il suit de là, 1°. que tout cône qui entre dans une sphère par un cercle XY ,en sort par un autre cercle 00”, antiparallèle au premier ; 2°. que deux cercles d’une même sphère, lorsque leurs plans sont perpendiculaires à celui d’un même grand cercle , déterminent un cône dont ils sont deux sections antiparallèles. |

côtés toujours rectangulaires entre eux, passeront par le sommet (S, S') du cône S'XY, et ils seront parallèles à la section 0'o, antiparallèle à XY, en sorte que le cône S'XY sera celui qu'il s'agissait de trouver pour démontrer la propriété qui nous occupe.

543. TURV étant donc un cercle quelconque, O un point pris arbitrairement sur son plan , O’ un point choisi comme on voudra sur la polaire TR du point O, on peut poser en principe, 1°. que la polaire VU du point O’ passe par le point O ; 2°. que TR et VU sont des cordes conjuguées ; 3°: que les points O, 0° et 0”, sont des pôles conjugués; 4°. que le quadrilatère circonscrit T'U’R'V', formé par les tangentes aux extrémités

des cordes conjuguées TR, VU, a ses côtés respectivement dirigés sur

les pôles extérieurs O et 0’; 5°. que si d’un point M de TURV, on mène aux pôles O et O' les dre MO, MO’, puis, que des points N et Q, déterminés par ces droites , on mène d'antiles droites NO, Q0', ces dernières se couperont sur le cercle TÜURV, en un point P qui achèvera le quadrilatère inscrit MNPQ, dont les côtés respectifs concourront en O et en 0’; 6°. enfin, que les diagonales du quadrilatère circonserit T'U'R'V', et col des quadrilatères inscrits, tels que MNPQ, se coupent suivant le pôle intérieur O" (*). |

On remarquera en passant que si les pôles O et 0’ variaient sur la droite O0, le pôle 0" ne changerait pas de position. De même si les pôles O’ et 0! variaient. sur la droite 00”, ou que O et 0” variassent sur la droite 00", les pôles respectifs O et 0’ conserveraient une position fixe.

544. Les cordes conjuguées TR , VU, ayant pour caractère que les tangentes à leurs extrémités se coupent suivant les pôles respectifs O et O", il

(*) Cette belle propriété des cordes polaires du cercle donne pour la sphère les corollaires suivans :. DOUTE En 1

1°. TR étant le plan de la base d’un cône circonscrit à la sphère TURV, tout cône, aussi circonscrit à cette sphère, dont le sommet O’ sera dans le plan TR, aura pour plan de sa base sur la sphère un plan contenant le sommet O.

2°. Si le sommet O d’un cône circonscrit à la sphère se meut sur la verticale O , qui est une droite. quelconque située hors de la sphère , les plans de tous les cercles qui serviront successivement de base au cône mobile, se couperont suivant la polaire TR du point O.

3°, Si le sommet O se meut dans un plan quelconque OV, coupant la sphère, les plans de toutes les bases passeront par le sommet O’ du cône qui a pour base le cercle VU, intersection de la sphère et du plan OV.

Fig. 2.

Fig. 4.

s'ensuit que deux diamètres rectangulaires sont deux cordes conjuguées , puisque les tangentes aux extrémités de ces diamètres se coupent en des points, situés à l'infini, qui sont justement leurs pôles respectifs’ Le nomme ces diamètres des diamètres conjugués.

Chaque cercle a par conséquent une infinité de systèmes de diamètres conjugués. Nous allons voir que toutes les sections coniques ont une propriété analogue. |

545. DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS des sections coniques. Concevons dans l’espace un cône à base circulaire coupé par un plan suivant une courbe fermée , et rapportons ce cône et ce plan à deux plans rectangulaires de projection, l’un supposé horizontal, qui sera celui de la base, et l’autre perpendiculaire au plan coupant. D’après cela, soit (S, S') le sommet du cône, TURV sa base, (AB, BD) le plan coupant, et (mnpq, EF) la section du cône et du plan donnés. |

546. Par le sommet (S, S’) menons un plan (&'w, a!) , parallèle au plan (AB , BD). Sa trace horizontale «'® sera (537), sur le plan de la, base TURV , l'axe des pôles de toutes les cordes intérieures pbs cône si tuées dans des pets parallèles à (AB, BD). és |

Sur cet axe w/© prenons arbitrairement un pôle O ; menons es biagéatés OT, OR, qui déterminent la polaire TR du point O; par le point 0’, où cette polaire coupe la droite w'®, menons les tangentes O'V, O'U, et par les points de contact V et U de ces tangentes, menons la droite VUO: Les cordes TR, VU, ainsi construites , seront deux cordes conjuguées , et les points O, O' et 0", formeront ce que nous appelons un système de pôles conjugués (543).

547. Cela posé, imaginons des plans passant par le sommet (S, S”) et par les droites T'U', TR, V'R’, qui concourent en O'. Ces plans contiendront la droite (SO’, S'æ), parallèle au plan (AB, BD); donc ils couperont ce plan suivant des parallèles à cette droite. Donc, si par les points x’, 4! w’, où la droite AB est coupée par TU’, TR et V'R’, on mène parallèlement à SO’, les droites x'#, k't, w'v';.ces droites seront les projections horizontales des intersections (x'#, BD), (#4, BD), (w'v', BD), du plan (AB, BD), et des plans menés par le sommet (S, S”’) et par les droites T'U', TR, V'R’. De même, les intersections du plan (AB, BD), et des

‘plans menés par {S, S”) et par les droites N'ES VU; R'U’, concourantes

en O, seront des droites (xv', BD), (kw, BD), BP: ; BD), Res les chti

tions horizontales passent par les points x, X, w#, et sont parallèles à SO.. PI. 43. Il suit de là que sur le plan (AB, BD), de la section (mnpq, EF), le qua- 54

drilatère circonscrit T'U/R'V’ donne un parallélogramme (#w/r's', BD)

circonscrit à cette section, et tel que les droites (ér, BD), (vu, BD) con-

tiennent les points de contact projetés en £, u, r et v, des côtés de ce

parallélogramme. Mais les diagonales du dE ee Œ UR'V' se coupent

en 0", à l'intersection de TR et VU (543); donc celles du parallélogramme

(Eur, BD) se coupent au point.(c, c’) projeté horizontalement en c,

à l'intersection de #r et vu. D'où nous conclurons que ce point est le

centre du parallélogramme (£'u'r'v', BD), et que les droites (4r, BD), (vx,

BD) se divisent en ce même point respectivement en deux parties égales.

548. Supposons que le pôle O varie sur l’axe des pôles O0”, le pôle O' variera aussi ; mais le pôle O' ne variera pas (543) : donc le point (c, c’) ne Variera pas non plus ; car il est l'intersection du plan (AB, BD) et de la droite menée par les points (S, S') et O0”. Donc enfin les nouvelles droites, analogues a (ér, BD), (vu, BD), présenteront autour du point (c, c) toutes les circonstances qui viennent d’être détaillées.

Si l'on: imagme que le point T parcoure tout le cercle TÜURV, et qu'il emmène avec lui le pôle O situé sur la tangente TO, et le pôle O0’ situé sur la corde TO", il est clair que le point £ décrira la courbe mnpgq (*), et que la droite £r aura successivement autour du point c toutes les positions possibles , sans cesser d’être divisée en deux parties égales par ce point. La section conique fermée (mnpq, EF) a donc, au point (c, c’), ce que l’on nomme un centre (859), et toutes les droites menées par ce centre, dans le plan (AB, BD), sont ce qu'on appelle des diamètres. 549. De plus, la section (mnpq , EF) est telle que les tangentes v’#, u'r', aux extrémités de chaque diamètre ér, sont parallèles entre elles et à un autre diamètre 94, qui, réciproquement, jouit de la propriété que les tangentes à ses extrémités sont parallèles au premier. On nomme ces diamètres ér et vx des diamètres conjugués.

3 550. Prenons un point quelcorique M sur la base TURV ; par ce poini menons’ sles droites MO, MO; par les points N et Q, où elles rencontrent