re

© + abréger, il nous arrivera, dans ce chapitre, de citer des grandeurs situées dans Pespace, sans indiquer autre chose que leur projection horizontale. C’est ainsi que nous disons le point t, la courbe mnpg, eic., au lieu de dire Le point du plan GuE BD) projeté en t, la courbe (minpgq) EF), etc. ; em

Fig. 4.

Fig.

le cercle TURV , menons NO" et Q0 : ces dernières droites se couperonten: un point P de TURV (543) ; ainsi le quadrilatère MNPQ se trouvera inscrit dans la base du cône donné. Par les côtés de ce quadrilatère etpar le. sommet (S, S') imaginons des plans : ils couperont le plan (AB , BD), de la section, suivant les droites mn, np, PY» qm, faciles à construire, et respectivement parallèles à ér et à pu, ce qui montre que la figure mnpq ;! inscrite dans la section, sera un parallélogramme. Et comme les diagonales: de MNPQ se coupent au point 0" (543), celles de mnpq se couperonten €; d’où il suit que les quatre cordes mn et pq, mg et pn, respectivement parallèles aux diamètres conjugués 4r et vu, sont divisées par ces diamètres , chacune en deux parties égales.

Or le point M étant pris arbitrairement sur la base, le point m est un point quelconque de la section ; donc toute corde mn, RES à un diamètre vu, est divisée en parties égales par le diamètre tr conjugué à vu, ou, ce qui revient au même, chaque diamètre est le lieu des milieux dé toutes les cordes parallèles à à son conjugué. fo4s,

551. Par cela seul qu'un diamètre tr, de la section qui nous occupe, divise en deux parties égales un système de cordes parallèles mn, mn, etc. , il prend par rapport à ces cordes le nom de diamètre conjugué, parce que le. diamètre vu, qui leur est parallèle , et qui détermine leur commune direction, est nécessairement le diamètre conjugué de 4r. |

Pour démontrer cette propriété, on remarquera d’abord que la parallèle: aux cordes nn, m'n', etc., menée par une extrémité r de ér, est tangente à la section : car, si elle la SORpAît en un autre point r’, le din ir ne passerait pas par le milieu de rr', ce. qui est contre hypothèse. Cela posé , par le centre c, de la section mnpq, menons la droite vu parallèle à mn, m'n', etc. ; cette droite sera parallèle aux tangentes en f et en r. Par le point », qui est un point quelconque de la même section mnpq, menons la droite np, parallèle à ér; puis, par le point P; menons pq parallèle à à M : pq sera divisée en deux parties égales par #r, et si l'on joint les points met g par. la droite mq , elle sera Bar allèle à 7p, et la figure mnpq sera un parallélogramme, Or, si l’on mène par le point nun diamètre, il coupera laicour à l'opposé de 7 , en un point éloigné du point c de la distance cn; Da il la coupera justement en q. De même, le diamètre mené par le poi tm sera mp ; donc le parallélogramme minpq Sera tel que la corde quelconque np ; parallèle : à tr, soit divisée en parties égales par vu: donc les ct 08 aux extrémités v et w, de vw, seront parallèles à atr. Donc si RG eV.

CHAP. IV. DÉS SECTIONS CONIQUES. ar

552. Parmi les différens systèmes de diamètres conjugués ; il y en a un où ces diamètres sont rectangulaires. En effet le pôle O étant pris à l'infini, en deca du plan vertical, le pôle O’ sera en w’, à l'intersection de la perpendiculaire Oo’, abaissée par le point 0” sur w/o ; et les deux diamètres analogues à (ér, BD), (ou, BD), dont l'angle est celui des droites (SO, S'w), (S0', S'), feront entre eux un angle w/sû, déterminé, premièrement, par la droite «’s, qui joint le point +’, et le rabattement.s de (S, S')autour de ww; secondement, par la droite 5, menée par le point s parallèlement à ww. Si le pôle O vient en w’, le pôle 0’ s’en ira à l’infini au-delà du plan vertical , et l’angle des diamètres analogues à (ér, BD), (vx, BD), sera celui w's4", de la même droite w/s, et du prolongement sÛ de 54. Mais quelle que soit la position du sommet (S, S'), par rapport à la base TURV, les deux angles 05/, w's8', seront toujours supplémens lun de l’autre : d’où ilsuit que dans le mouvement du pôle O sur la ligne w'® , depuis l'infini en deca du plan vertical, jusqu’à l'infini au-delà, l’angle des deux diamètres conjugués (£r, BD), (vu, BD), aigu d’abord, deviendra obtus , ou bien, obtus d'abord , il deviendra aigu, et jamais il ne sera nul ; car il faudrait pour cela que les pôles O et O’ se trouvassent réunis, ce qui est impossible. Donc il y aura une position des pôles O et O0” où l'angle des diamètres conjugués sera droit (617).

553. On donne le nom d’axes à ces diamètres particuliers rectangulaires AA, B'B, et l’on nomme sommets de la section , les quatre points A’, BP’, À, BB, où elle est coupée par les axes.

Il suit des propriétés qu’on vient de démontrer pour les diamètres conjugués, que les tangentes aux sommets sont perpendiculaires aux deux axes AA’, B'B,etque ces axes divisent la section A'B’AB en quatre parties égales.

554. Supposons maintenant queleplancoupant rencontre les deux nappes du cône : c’est-à-dire que la section conique ait deux branches. En suivant ‘pour cette section la marche que, nous venons de suivre pour la section fermée , nous allons être conduits à des résultats tout-à-fait analogues à ceux que nous venons d'obtenir.

Le cône étant toujours rapporté à deux plans rectangulaires (l’un supposé horizontal, qui soit celui de la base TÜURV , l’autre perpendiculaire au plan de la section), soit (S, S’) son sommet, (AB, BD) le plan coupant, et (pug...myn, BD) la section conique dont il s’agit.

555. Parle sommet (S, S')menons un plan (w'w, wS’), parallèle au plan

Fig. 4.

Fig. 5:

Fig. 1.

Fig. r.

coupant, il aura pour trace horizontale une droite 'w, parallèle à AB, etcette droite , qui rencontrera la base TURV , puisque le plan coupant rencontre les deux nappes , sera l’axe des pôles (537) des sections PRE a (AB, BD).

Construisons le pôle 0" de TR, et prenons sur w'® un point quelconque 0’. La polaire VUde ce point passera par le pôle 0”; les droites TR, VU, seront deux cordes conjuguées, et les trois points O , O’ et 0”, seront trois pôles conjugués (543). Enfin , après avoir formé le pe ee circonscrit T'U'R'V', prenons en ue un point M sur TÜRV ; menons les droites MO”, MO’, puis NO” et Q0', et nous formerons le quadrilatère i inscrit MNPQ, ; jus les diagonales MP, NQ, ainsi que celles T'R', VU’, se couperont au point O (543).

556. Par les côtés de ces quadrilatères , par leurs IS , et par Ta droite O0'0”, menons des plans passant par le sommet (S,S") , et voyons comment ils couperont le plan (AB, BD). Ceux qui passeront par les droites qui concourent en O contiendront la droite (SO , S'o) ; donc ils couperont le plan (AB, BD) suivant des droites (sr, BD), Cr > BD), (4e, BD), (yv', BD), (xm, BD) parallèles à (SO, So). Ceux qui passeront par les droites qui concourent en 0’ contiendront la droite (S0’, S'w); donc ils couperont le plan (AB, BD) suivant des droites (7, BD), (z/r', BD), (ke, BD), (r'#, BD), (x 4, BD) parallèles à (S0”, S'w). Ceux enfin qui passeront par les SHpse qui concourent en O” contiendront la droite menée par le point (S, S’) et par le point 0”; mais cette droite perce le plan (AB, FD) au point (c, c'), projeté en c, où se coupent les droites SO” et #!c donc les intersections (#4, BD), (r'#, BD), (mg, BD), (zp BD), de ces plans et du plan (AB, BD), se COUREFOR au point (c, c’).

Il suit de là que les figures (£'u'v'r", BD), (mngp, BD) seront des parallélogrammes dont les diagonales se couperont au point (c, c’); que les figures MNEQ ; T'UR'V’, de la base, répondront à à des doubles triangles mneopgcm, d'ucr'y'ct', opposés par le sommet et à bases parallèles ; et que la droite (kc, BD), qui détermine sur (7v, BD) et(y'u, BD) les points projetés en v et en w, suivant lesquels les tangentes CR BD), (w1', BD) touchent la section, divise en deux parties égales toutes les cordes, telles que (mn, BD), (gp , BD), parallèles à ces fnRenie

557. Imaginons que le point O’ varie sur ©'®; le point O0” ne variera pas (543), et quoique le point O change alors de position sur w'w , le point (c, c”) ne changera pas;:car il sera constamment AN du plan (AB, BD) et de la droite menée par les points (S, S’) .et 0": les pro-

priétés qu’on vient de voir subsisteront donc pour toutes les positions que prendront les! pôles O ;, O'et 0”.

. 558. Supposons que le point U parcoure le cercle TURV , et que le pôle O se meuve'avec lui; il est clair que le point x parcourra la section tout entière, et que, dans chacune des positions du point x; la droite (ou, BD), qui est,une droite quelconque menée par le point (c, c') et terminée de partet d'autre à la section, sera divisée en deux parties égales projetées horizontalement en uc et cv. C'est-à-dire que cette section a un centre (c, c'), et que toute droite comme (sx, BD) est un de ses diamètres.

559. Et chaque diamètre vu divisant en parties égales, ainsi qu’on vient de le voir (556), les cordes parallèles aux tangentes sr, ut',en vet uw, il est ce. qu'on nomme, par analogie avec ce qui arrive à la section fermée (551), un diamètre conjugué à celui qui serait mené par le centre € parallèlement à ces cordes. Quant à ce dernier, il est évident qu'il ne rencontre pas la courbe; on le nomme par cette raison diamètre imaginaire , et l'on donne à chaque diamètre, tel que vu, le nom de diamètre réel.

- 560. Si par le sommet (S, S’) on mène un plan perpendiculaire à la droite qui. joint ce sommet et le pôle O0", ce plan coupera l’axe des pôles ww en un point, et ce point, pris pour pôle en place du point 0’, donnera un système de diamètres conjugués rectangulaires.

561: Ces diamètres, qui d’après cela se construiront facilement , sont ce qu'on appelle les axes de la section myn...puq.

Celui A'A qui la coupe est son axe réel; l'autre B'B est son axe imaginaire , et les extrémités A’ et À se nomment les sommets de cette section.

562. L’axe des-pôles æ'® rencontrant la base en deux points R et T, il en résulte une propriété bien remarquable que nous allons exposer. Prenons le point R pour pôle : les points V et U se trouveront réunis en R, et les points # et w, de la courbe, se trouveront à l'infini aux deux extrémités de la droite r'ces menée par le centre c et par le point o. De plus, les tangentes analogues à r', wt', coïncideront avec cette droite, d’où l’on voit qu'elle sera. ne pe un diamètre de la section, ét l'asymptote à ses’deux parties 07, upn..

De-mèême le pôle O' étant pris en T, le diamètre vx sera la droite s’c8, menée SE ea centre. c et par le pôrnt 8, droite qui sera l’asymptote des deux parties vmi he en)"

563. PAS: au cas de la section conique ouverte à une seule branche.

Fig, 3.

Fig. 3. !

Fig. 1.

Fig, 4.

On sait (525) que le plan de cette section est parallèle à ÿ l'un des plans tangens du cône. D'après cela, ayant pris pour plan vertical un plan perpendiculaire au plan coupant et au plan de la base, soit M'ON/V cette base, (S, 5’) le sommet, (AB, BD) le plan coupant, et (amvnb, BD) la section!

564. Par le sommet (S, S') menons un plan (w'w, wS'), parallèle au plan coupant ; il sera tangent au cône (525) suivant un élément (SO, S'o), et la trace w'© sera l’axe des pôles des sections parallèles à BD (537).

Ayant pris arbitrairement un point O’ sur ww, construisons la polaire VO de ce point (536). Il est clair que la polaire du point O sera ce poïnt lui-même; qu'il sera, comme corde , la conjuguée de VO ; qu’il sera la réunion des deux pôles, l’un intérieur , l'autre extérieur, que présente ordinairement chaque corde, et que les deux points O0 et O;, dont le dernier est censé double, formeront un système de pôles conjugués (543).

565. Si nous prenons sur la base M'ON’V un point quelconque M; que pour ce point nous construisions (543) le quadrilatère dont les côtés concourent en O et en 0’, ce quadrilatère aura un de ses côtés contracté en O0, et il se réduira au triangle MNO. Quant au quadrilatèré circonscrit dont il a été question dans le cas de la section fermée , et dans celui de la section à deux branches, il se trouvera réduit aux due droites O'V, 0'O, comprises entre le point O’ et l'infini au-dessous de ce point.

566. Cela posé, concevons par les droites MO, VO, NO, d’une part, VO' et MO’, d'autre part, une suite de plans passant par le sommet du cône, et voyons comment ils couperont le plan (AB, BD). Ceux dont les traces MO, VO, NO, concourent en O , le couperont suivant des droites (xm, BD), (kw, BD), (yn, BD), parallèles ? à (SO, S'o); et ceux dont les traces VO', MO’, concourent en 0’, le couperont suivant des droïtes (zm, BD), (wv, BD), parallèles à (SO, S'e). L’analogie avec le cas de la section fermée, et avec celui de la section à deux branches, se trouvera conservée, en ce que les droites MO, VO, NO, qui concourent en O0, donnent un système de droites Daraléles (æm, BD), (kv, BD), (yn, BD); en ce.que les droites VO’, MO’, concourantes en 0’, donnent un autre système de droites parallèles we, BD), (zm, BD); en ce que la droite (ws', BD)'est tangente à la section à l’extrémité v de la droite (4v, BD); enfin, comme on va le voir, en ce que cette dernière droite, qui correspond à la corde polaire OV , coupe toute corde (mn, BD), correspondante à une corde MN, dirigée au pôlé O’ de OV, et parallèle à la tangente (wv, BD), en deux parties égales mi, in, |

+567. Pour démontrer cette dernière propriété, menons par le centre C dé la base, la droite O'N'CM; et par les points N’ et M’, où elle coupe le cercle M'ON’V, menons les droites N'O, M'O, et la droite N’EFG, parallèle à O0’. Les arcs OM et M’V seront égaux, ainsi que VN’, NO et OG. Or, l'angle GN/0 aura pour mesure la moitié de l'arc GO, ou la moitié de son égal VN’, il sera donc égal à l’angle VON’; donc le triangle NEO sera isoscèle, ce qui donne N'E = EO. On a aussi :

ST = NF ;

donc le triangle EFO est isoscèle ; donc EO = EF. Donc enfin EF =— EN.

Actuellement, faisons sur la droite M'O' les constructions que nous avons faites sur MO’; nous obtiendrons les points m/ et n! de la projection amvnb de la section, et la droite m/n’ sera parallèle à mn. Et comme EF — EN, on aura Àx' = ky', ce qui donne ÿm' = in’.

Menons par les points M et M’ la droite MM’; elle déterminera sur VO un point H, dont la polaire sera conjuguée à VO ; donc si l’on mène par le point N’ a droite N'H, elle coupera MO’ justement au point N d'intersection de MO’ et du. ééhéle M'ON'V, puisque le quadrilatère MM'N'N dévra être inscrit dans ce cercle : donc les droites MM, N'N, menées par les points M et M’, N et N', concourront au même point H de VO.

Il suit de là que si par les droites MH, N'H, et par le sommet du cône, on mène des plans, ils couperont le plan (AB, BD) suivant des droites dont les PEACE m'mh, n'nh, se rencontreront en un point X de Av. Mais puisque dm’ — in, èt que mn est parallèle à m'n!, il s'ensuit que mi — in : ce qu'il fallait démontrer. |

Pt Si l'on fait parcourir au point V le cerele entiér M'ON'V, lé pôle

O" parcourra toute la section; toutes les droites telles que (y, BD} seront parallèles entre elles et à la droite (SO, S'w), et pour toutes les positions de la ligne (kv, BD), cette ligne diviséra en parties égales les cordes, telles c que (mn, BD), parallèles à Ta tangente (tr, BD) au point, projeté en #, où se rencontreront la droite (4e, BD) et la section.

Cette propriété, analogue à celles qu'on a vues n°° 551 et 569, - fait donner aux lignes telles que (vk, RE le nom de diumètres conjigués, où simplement de diamètres.

569.: Ces diamètres étant parallèles ne se LARERE TE qu'à linfinr; ainsi lerpoint analogue au centre de la section fermée et de la section à deux

Fig, 4:

Fig. 4.

Fig. 2.

branches est à l'infini : c'est-à-dire “He la section ouverte à une branche n'a pas, a pr oprement parler , ce qu'on appelle un centre. Par la même raison le conjugué d’un diamètre (kw, BD) n'existe pas.. ”

570. Si par le sommet (S, S') on mène un A ANR à la droite (SO, S'w), il coupera l'axe des pôles ww en un point, etil est évident que ce point étant pris pour pôle , le diamètre analogue à (ko, BD), et la tangente correspondante (wv, BD), se trouveront à.angle droit. Ce diamètre coupera par conséquent les cordes qui Jui seront Papas laires en deux parties égales. |

On donne à ce diamètre, qu'il sera très facile de der le nom d’axe de la section, et on appelle sommet de cette section le point, analogue au point projeté en #, où il la coupe. cr

571. Il nous reste encoré un cas fort important à examiner, c’est celui, où le sommet du cône est à l'infini. Alors la surface donnée est un cylindre à base circulaire TURV, dirigé d’une manière quelconque (Ce, C'c') dans l’espace ; la section, à moins qu’elle ne soit composée de lignes droites, est une courbe fermée (turv, BD), et l'axe des pôles est à rai » et parallèle à la trace horizontale AB du plan coupant (AB, BD).

Or, chaque pôle situé sur ©’ étant à l'infini, les.cordes, coudes correspondantes à ces pôles, seront des diamètres rectangulaires TR, VU de la base TURV. Les plans menés par ces diamètres, parallèlement; au cylindre , auront pour traces les droites VE, To; ils se couperont suivant la droite (Ce, Ce’), et ils couperont le plan (AB, BD) de la section, suivant des droites (êc, BD), (oc, BD), qui seront de véritables diamètres

conjugués de cette section (549), et qui se couperont suivant Son : centre (c, c'). En effet, au carré T'U'R'V', formé par les tangentes T'à et. -R6,

Uy et VA, menées aux extrémités de TR et VU Ben correspondra. un parallélogramme é'u/r'v', formé par les droites Af et Ûr, zu et de, intersections des plans parallèles au cylindre menés par les tangentes T'A,et R8, Ur et V4; donc ces droites At et Ür, mu et 9 seront tangentes aux extrémités de ér et vu : donc etc. | ARE

572. Il est aisé de s'assurer que si le point T se meut. tout. PRE, se TURV, le point £ se mouvra tout autour de £wrv, et que toutes les droites comme #r et vu ne cesseront pas d’être des diamètres conjugués. En! appliquant d’ailleurs à la figure qui nous occupe les raisonnemens du n° 2,652, on reconnaîtra qu'il y a toujours un système de ces diamètres dans. lequel

ils font entre eux un angle droit (619) , d’où il suit que les propriétés des diamètres conjugués, des axes, etc., démontrés plus haut (549 — 553) pour la section fermée du cône, ont lieu pour celle du cylindre.

573. Ce qui précède nous met à même de faire quelques remarques utiles sur la manière dont la section fermée, la section à deux branches, et la section ouverte, qui sont trois modifications de l'intersection du cône et du plan, se transmuent les unes dans les autres. |

Si la section est fermée, la droite menée par le centre (c, c’), et’par le sommet (S, 5), perce le plan de la base en un point O", qui est un pôle invariablé appartenant à tous les systèmes de pôles conjugués qui correspondent à la section. Toutes les cordes de cette 5section sont des cordes intérieures du cône, et leurs pôles O et O” sont situés à l'extérieur de la base TURV, sur l'axe des pôles OO”.

Si le plan coupant BD se meut autour du point E , de manière à devenir peu à peu

parallèle au plan tangent SF, la section s’alongera, ct le pôle O" s'approchera de la cir-

-conférence TURV. Si ce plan devient enfin parallèle au plan tangent, le centre (c,c’) passera à l'infini; le pôle correspondant à la droite menée par les points (S, S”), {c, c'), sera sur la ligne TURV ; tous les diamètres seront parallèles, et toutes les cordes parallèles

à ces diamètres auront leur pôle réuni au précédent suivant le point-O, où l'axe des

pôles OO’ touchera la base TURV. De sorte que deux pôles étant Los. en O, chaque système de trois pôles conjugués se réduira à deux points O et ©”, dont le FaUE seul sera variable. : |

Si le plan coupant , en continuant de se mouvoir , vient à couper les deux nappes, la section aura deux branches; les pôles qui s'étaient réunis dans la section ouverte se trouveront séparés ; celui O", qui correspondait au centre (c, c’), et qui était dans l’intérieur de la base, passera à l'extérieur, a 44 ds le centre (c, c”), de la nouvelle section, se trouvera entre ses deux branches, à l'extérieur du cône; et celui O, qui correspondra aux -diamètres réels, passera dans l’intérieur, attendu que ces diamètres seront tous dés cordes extérieures. Ces mêmes diamètres étant compris dans l’angle projeté en 6cr, et formé par les asymptotes (cô, c’B), (cr, c'B), les diverses positions que pourra prendre le pôle O seront situées sur la partie TR ; de l'axe «'« des pôles, comprise dans le cercle TURV; les ‘diamètres i imaginaires étant compris dans l’angle 8cr', supplément de Îcr, les pôles correspondans à ces diamètres et aux cordes qui leur seront parallèles seront situés, sur Paxe des pôles, au-dehors de la partie "TR, et des trois pôles O, O’, O0”, le seul pôle O" aurà une position invariable.

574. LES SECTIONS CONIQUES sont des ellipses, des hyperboles , ou

des paraboles (*). Le cercle jouit, comme on le sait, de la propriété que

LA (*) Nous avions d’abord démontré, au moyen dun grand nombre de proportions, suivant la marche des anciens, les propriétés caractéristiques de Pellipse, de lhyperbole et de la parabole : nous avons préféré suivre la marche de M. Poncelét; peut-être est-

Fig. 4.

Tig. 1.

Fig, 3,

Fig. 6, 7et8.

s'ilest coupé par trois sécantes PQ ,.QR, RP , absolument quelconques, on à,

PO x PO’ — PM' x PM; QN x QN' — Q0' x Q0; RM x RM' = RN’ x RN.

D'où l’on tire, en multipliant membre à membre, PO x PO’.QN X QN'.RM XRM=PM x PM.RN’'XRN.Q0'xQ0...(a),

ce qui donne ce théorème : Le produit des segmens PO, PO", QN, QN’, ecc., adjacens aux sommets P,Q, R, dans le sens POR, est égal à celui F4 segmens PM', PM, RN’, RN, A > adjacens aux :imémes S SONRRÉS où dans le sens PRQ (*).

575. Concevons que le cercle OMN serve de base à ‘un cône-dont de sommet soit choisi arbitrairement; imaginons que ce même sommet soit celui d’une pyramide dont le triangle PQR soit la base , et supposons que ce cône et cette pyramide soient coupés par un plan quelconque. La section de ce plan sera, en général, telle qu’on la voit fig. 6, fig, 7, ou fig. 8; car le cône sera coupé suivant une courbe fermée, suivant une courbe à deux branches, ou suivant une courbe ouverte , et la pyramide suivant un triangle pqr. Or, quelle que soit cette section , on va voir que le théorème précédent s’y applique : c'est-à-dire qu'on a

pox po'.qn x qn'.rmXx rm =pmxpm.rn! xXrn, ox go... (b).

576. Par le sommet $ du cône (Jig. 4), et par le segment quelconque PO de la base (Jig. 3 et jig. 4), faisons passer un plan; il contiendra le a ment po (fig. 4 , fig. 6, fig. 7 et jig. 8), correspondant à PO (fig. 3 Jig. 4), et les points S, P, p, seront en ligne droite , ainsi queS, O se 9. Les deux triangles SPO , > Spo , auront donc l'angle SPO commun , Ce qui donnera,

SPO : Spo :: SP x SQ : Sp X So, ou SPO en A | SPRSO + ESS veanmness (6).

elle un peu plus diflicile; mais elle est plus courte, moins fatigante, et d’une grande élégance.

(*) Voyez le Traité des propriétés projectives , page 18 et suivantes.

CHAP, 1V. DES SECTIONS CONIQUES. 219 D'où nous-concluronis que le-rapport de la surface triangulaire SPO, et du l: #2: rectangle SP X SO, dès côtés qui comprimment l'angle S ; ést le même pour Fig 4 le sésrnent PO dé la basé, ét pour le segment correspondant po dela section. Désignons ce rapport par 2 et appelons @ la perpendiculaire abaissée du

point S sur PO; nous aurons, MSPO ns 4 70 PO, à (d) SP & SO SP: a SO — 3 0 ee 9 ou |

Il en sera de même pour tous les autres segmens PO”, QN, etc. ; mais la PI. 42. perpendiculaire @ sera la mème pour les quatre segmens PO , PO’, QO, Q0’, Far dirigés suivant PO, et les perpendiculaires 7 et, abaissées du sommet du côné sur les droïîtes QR et RP, appartiendrônt aussi aux quatre segmens dirigés suivant chacune de ces droites. Si donc on désigne

oder, KL: ue en sl FINE . désiené par, =, => ete, les rapports analogues à celui que nous avons désigné

pars oûis atrons,

PO x PO = 4 Fe se ps D PESO 2e PAP se PM 25 0 SDS SEX SN.

1® 4 ? ® si 4, SC SN’ re SRX SN y SR X SN QNse Qu SOS MST Rs RN 2 c' SEXSE 7 SR XEN, ! T° F. d TF F

RM x RM a pr SES, GO" x QOE=e" SES IQ XSE,

Ce qui donnera pour le premiér mémbre de la relation (a),

aa" x ppp SE X SQ X SR 56 x $0”. SN XSN’.SMx SM’,

FT pe team

et pour le second,

cel" x dd'd' PRESS x SM.SN' x SN. S0 x S0 :

en réduisant il viendra donc | aa'a" x bb'b" = c'e" x dd"... sarreinl ( Relation qui est indépendante: des grandeurs PO, PO’, SP, SO , ®, #3 ete, 10,4

Pl. 4. et qui ne contient absolument que les quantités numériques a, a'.…b ,b'..etc: Or, d’après les relations (c) et (d), chacune de ces quantités, telle que à, est la même par rapport à la base ; et par rapport à la section; donc la relation (e) est tout-à-la-fois équivalente à la relation (a) et à la relation (b). Donc enfin , il résulte de ce que la relation (a) est vraie pour la base, que la relation (b), qui se rapporte à la section , est vraie aussi (*).

577. Cette même relation (6) a lieu encore, comme on va le voir, lorsque le sommet du cône est à l'infini. En effet, dans ce cas la section n’est autre chose qu’une projection oblique ou orthogonale de la base, et les grandeurs qui sont sur une même droite PQ , QR ou RP, sont à leurs projections dans un rapport constant &«, 6, y, ce qui donne,

PO X PO’ = «°. po X po'; Q0" x Q0 = &°. go’ X. go ; QN'X<X QN'= C°. qn X qn; RN! X RN = €". 77 Xirms RM XRM'= »°. rmx rm'; PM x PM =. pm x pm, et par conséquent, a 6°. poxpo. gnxqn'. rmxrm—@f{}". pn'xpm. rn'xXrn. g0'Xqo; ou , en retranchant le facteur commun &°6*}*, la relation (b) elle-même. Fig. 6, 78. Cela posé, les trois droites pq, gr, rp, n'étant assujetties à aucune 768 autre condition que d'être des sécantes de la section, supposons que les Fig. 9, deux sommets p et q appartiennent à un diamètre 00° de cette section, PAT et que le troisième sommet s’éloigne à l'infini sur le conjugué de 00’. Soit que ce diamètre conjugué se trouve à une distance finie (Jig. 9 et Jig. 10), soit qu'il se trouve lui-même à l'infini (Jig. 11), les droites m'm, nn, concourantes au troisième sommet, seront des parallèles au diamètre conjugué à 00’; donc on aura (651,559 et 568)

pm = pm et qn = qu.

Ce qui réduira la relation (b) à celle-ci :

2, 5e po x po. qn. rm X rm —=pm.TN X TN. go X 40, ou | hrs | RS dns (f)

po X po rm XX TM go X go

Le troisième sommet étant à linfini, 1l faut, pour faire usage de cette

(*) Voyez le Traité des propriétés projectives, page 6.

CHAP. IV. DES SECTIONS CONIQUES. , | { ai

relation, voir ce que devient le facteur

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