La relation

po X'po'. qn x qn'. rm X rm = pin x pm. r X IN. q0 X 40,

caractérisant, comme on vient de le voir , l'ellipse , l’hyperbole et la parabole; de plus, les cônes et cylindres, qui ont pour bases des courbes jouissant de la propriété exprimée par cette relation , ne pouvant être coupés par des plans que suivant des courbes qui jouissent de cette même propriété, il s'ensuit que tous les cônes qui ont pour bases des ellipses, des hyperboles et des paraboles, ne peuvent être coupés par un plan que suivant une section elliptique, hyperbolique ou parabolique.

589. Il suit de là, 1°. que toutes les projections obliques et orthogo-

() On remarquera peut-être que parmi les variétés d’hyperboles, celle qui se compose de deux parallèles éloignées d’une distance finie (887), n’a point été retrouvée (526 et 527) parmi les sections coniques: elle existe sur le cylindre à base hyperbolique (607).

Fig. 4.

Fig, 7.

Fig. 4

Fig. 4.

nales d'une ellipse, d’une hyperbole ou d’une parabole, sont d'autres ellipses, d’autres hyperboles ou d’autres paraboles ; 2°. que les courbes examinées dans la Note première forment bien un seul et même genre

de lignes (*).

590. DES PLANS DIAMÉTRAUX DES GONES. Le cercle quelconque TURV étant la base d’un cône, dont le sommet (S, S”) ait été choisi arbitrairement, on sait (546—550, 555 et 556, 564—567) que le plan mené par le sommet et par la polaire TR d’un point O, divise toutes les cordes du cône, telles que (#7, BD), parallèles à la droite (SO, S'o), en deux parties égales. Un plan qui jouit de la propriété de couper ainsi par moitiés tout un système de cordes parallèles, est ce qu’on nomme un plan diamétral.

ILest clair que tout plan diamétral passe par le sommet (S, S’).

591. Lorsque les cordes correspondantes à un plan diamétral STR sont perpendiculaires à ce plan, il prend le nom de plan diamétral orthogonal. On voit que, dans ce cas, le pôle O, correspondant au plan STR , est tel que ce plan soit perpendiculaire à la droite SO.

592. O, O'et 0", étant donc trois pôles conjugués (543) de la base TURV , le plan mené par le sommet, et par O"O", sera le plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à la droite menée par le sommet et par le pôle O. De même, le plan mené par le sommet, et par la droite O"O, sera le plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à la droite menée par le sommet et par le pôle O’. Enfin, le plan mené par le sommet, et par la droite O'O, sera pareillement le plan diamétral correspondant aux cordes qui ont le point O" pour pôle (6go).

C'est-à-dire que trois pôles conjugués O , O' et 0", déterminent trois plans dinrétele passant par les droites O'O", 0"O, O0, qui othbut ces trois pôles , et que les trois systèmes de cordes, coupées en parties égales par ces trois plans, sont respectivement parallèles aux droites menées par le sommet , et par les points O, O’, 0”, ou, ce qui revient au même , que ces cordes sont respectivement parallèles aux intersections de ces trois plans.

On donne à ces plans le nom de plans diamétraux conjugués. |

593. Lorsque trois plans diamétraux conjugués sont tous trois à la fois des plans diamétraux orthogonaux, ils prennent la dénomination de plans diamétraux principaux, ou simplement celle de plans principaux.

Les trois droites suivant lesquelles se coupent les plans principaux se nomment les axes du cône. Parmi ces axes, celui qui passe par le pôle O" est dans l’intérieur de la surface, il se nomme l'axe réel ; les deux autres sont au-dehors, on les nomme axes 1maginaires.

594. Si le cercle AB, dont le plan est supposé perpendiculaire au plan SAB de la figure (530), sert de base à un cône dont le sommet soit en $, [le plan SAB, comme nous Pavons dit précédemment (529), divisera le cône en deux parties symétriques : il coupera par con-

(*) Dans PAnalyse appliquée on les nomme lignes du second degré ou lignes du second ordre (169 xote). Le nom de sections coniques est plus particulier à la Géométrie.

séquent en parties égales toutes les cordes qui lui seront perpendiculaires. Il est clair qw’il én sera de même du plan SQ, tel que les angles ASQ, QSB, soient égaux; ainsi que du plan RST, perpendiculaire à l'intersection de SAB et de SQ. D’où il suit que tout cône à base circulaire présente un système de plans principaux SAB, SQ,RST.

. 595. Il est aisé de prouver aussi qu’un tel cône wa jamais qu’un seul Système de ces plans. Pour cela , nous remarquerons d’abord que si ABD est la base circulaire d’un cône, et (S,S") son sommet, tout plan principal, dont la trace AB coupe la base, est tel que la droite menée par le sommet et par le pôle O de AB, lui soit perpendiculaire, en sorte que les angles de cette droite, et de celles qui passent par le sommet (S,S") et par les points A et B, sont des angles droits.

Cela posé, soit x un point du cercle ABD, et supposons que ce point appartienne à un plan principal. Menons par le point x la trace xé du plan tangent au cône; et construisons la trace #, de la droite menée dans ce plan par le sommet (S, S), perpendiculairement à celle qui joint les points (S, S') et x. S'il y a un plan diamétral orthogonal qui passe par le point x, le pôle des cordes conjuguées à ce plan sera le point #; donc si, par le point #, on mène la tangente #x' à la base, pour déterminer le point de contact x", la droite xx” sera la trace du plan orthogonal auquel le point x est supposé appartenir, ce qui exige que les droites menées par le sommet (S, S’), et par les points £et x”, fassententre elles un angle droit , ou, ce qui revient au même, ce qui exige que le point # soit dans le plan CS. De là il suit que le point x ne peut avoir que quatre positions sur le cercle ABD, savoir : il peut être en Z et en Z’ sur la droite CS , et il peut être en z et en z' dans le plan principal S’£. Mais ces quatre positions appartiennent aux plans principaux examinés tout à l’heure (594); donc, etc. |

Si le cône pouvait être coupé suivant un cercle par d’autres plans que les plans parallèles et antiparallèles à la base ABD , ce cône aurait plusieurs systèmes de plans antiparallèles, et chacun de ces systèmes donnerait un système de plans principaux. Or, puisqu'il v’y a qu'un système de ces derniers, il n’y a aussi qu’un seul système de sections antiparallèles : donc il n’y a pas d’autres plans que les plans parallèles et antiparallèles à la base qui puissent couper le cône suivant des cercles.

597. Nous ferons remarquer en passant que les cercles des sections antiparallèles étant distribués sur les droites SC, SC’, menées par le sommet S, et par les centres C et C’ de deux sections, AB’, ab, l'axe réel SQ du cône n’en peut contenir aucun, sauf ceux des deux cercles qui se confondent avec le sommet.

598. Soit TURV une section conique quelconque, et soit S un point pris arbitrairement dans l’espace pour sommet d’un cône dont TURV soit la base. O étant un point quelconque du plan TURV , menons par ce point les tangentes OT, OR, à la :base; puis menons la corde TR, que nous appellerons la polaire du pôle O: car les dénominations de polaires et de pôles s'appliquent à toutes les courbes planes, de la même manière qu'au cercle. Le plan STR, mené par le sommet S et par la polaire TR, coupera en parties égales toutes les cordes dont le pôle est en O : c’est-à-dire que le plan STR sera le plan diamétral-correspondant à ces cordes. En effet, imaginons que le cône soit coupé par des plans parallèles à SO: chaque section aura un diamètre dans le plan STR; les tangentes aux extrémités de ce diamètre concourront à l'infini au point où la droite

PL 36 Fig. 4.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 2.

Fig. 2,

SO percera le plan de cette section, d’où l’on voit que les cordes paralièles à SO: seront les cordes conjuguées à ce diamètre ; donc toutesles ds parallèles à SO seront coupéesen parties égales par le plan STR. “ é

Si maintenant on prend sur TR un pôle quelconque O'; si l’on détermine:la polaire VU, et si l’on coupe le cône par un plan parallèle au plan OSO’;-la! section aura un-diamètre dans le plan SVU; elle en aura un'autre dans le plan STR ; lés tangentes aux'extré= mités du premier séront parallèles au second ; donc ïls seront deux diamètres conjugués; donc les tangentes aux éxtrémités du second seront ‘parallèles au premier; donc la droite VU prolongée passera par le pôle O: donc la base TURV, qui est une section conique quelconque , jouit de toutes les propriétés précédemment démontrées (543) pour les eue polaires du cercle.

599. Il s'ensuit que les trois pôles conjugués 0,0’ et 0”, d’une section conique ,déterminent trois plans du mali ‘con pause OS0", O'"S0', Q'SO, du cône auquel sèae tient cette section. |

600. Supposons la droite 56 perpendiculaire au noble STR, ou; ce qui est la même chose (59r), supposons que ce plan soit orthogonal, et faisons mouvoir.le pôle O'sur la droite indéfinie TR : le plan diamétral SVU, passant par le pôle O;'et la droite SO", intersection de SVU ét de STR, se mouvront en même temps que le pôle O”. Concevons que ce pôle soit à l'infini vers xou à l'infini versx’: à ces deux positions ilne correspondra qu’une seule position Svu du plan SVU; la droite SO" se trouvera en So", et la droite SO”, devenue parallèle à TR, coincidera avec la partie So”, ou avec la partie So, d’une droïte 00’ menée par le sommet S parallèlement à TR. La droite SO, dans ces deux positions, fera donc avec SO” des angles o' SO", O"So, supplémens l’un de l'autre: doncun de ces angles séra obtus. Si le point mobile O'passe de Pinfini vers x à l'infini vers x’, en occupant suecessivement toutes les positions intermédiaires , l'angle O'SO" variera graduellement : or le point O’ étant arrivé én R ouen T,, le plan SVU sera en SRO ou STO, et la droite SO‘ en SR ou en ST; done l'angle O’SO” sera nul. Donc le plus grand des deux angles o'S0",0"So, d’obtus qu’il était, deviendra nul, et'ensuite égal au plus petit: donc il y aura une position du point O’ pour laquelle ce plus grand angle sera droït. Dans cette position, que nous indiquérôns au ino yen du point O’ de la figure ; la droite SO’ qui, par cela seul que le plan STR est orthogonal, se trouve perpendiculaire & SO ; sera donc aussi perpendiculaire à SO": donc elle sera perpendiculaire au plan SVU. Donc enfin le plan diamétral SVU sera orthogonal, ainsi que STR , en sorte qu’en faisant passer par les deux droites SO”, SO, perpendiculaires à ces plans , un troisième plan SOO”, on aura les trois plans diamétraux principaux STR, SVU', S00/, du cône donné STURV.

601.:On voit d’après cela que si nous pouvons Et qu'un cône dont la base est une section conique, à toujours un plan orthogonal SER il s’ensuivra qu’il a des plans princi paux.

Supposons que ce cône soit coupé par un plan! parallèle : à l’un de ses plans tangens; ; la

section serd'ouverte, etce sera une parabole TÜRV : Prenons cette par abole pour base; prenons son plan pour plan hôrizontal de projection, et'soit S la projection du sommet sur ce plan. Par le point S abaissons la droite Sr normalement à Ta parabole; soit pg la tangenté en n j'etsoitiS'laprojection verticale du sommet sur-unplan BD perpendiculaire à pq. Les anglés RSO ,'TSO (S désignant le sommet et non sa projection), situés dans les

CHAP, IV: DES SECTIONS CONIQUES. a3i

plans tangens ORS;, OTS, devantétre tous deux droils pour un. plan orthogonai STR, il ya être facile de construire le pôle O correspondant à un tel plan, Par un point quelconque mn, de la: partie nRPV de la base, FÜR V, menons une tangente quelconque #24, puis rabattons.le plan-tangent Sm£. Le sommet S viendra en z; la droite Sm viendra en zm», et si par le point z ou mène sk perpéndiculaire à 2m, le point &,et.un nombre sufisant d’autres points, déterminés dela même manière, donneront une courbe p‘O0!r; sur laquelle devra se trouver-le pôle cherché O, si ée. pôle existe réellement.

Dés constructions analogues, failes pour Pare AUTQ de TÜRV, donneront une ligne #00 q', lieu des points tels que #, sur laquelle devra. aussi se trouver le pôle O.

Ces deux lignes p’OO'r, #00", seront deux branches d’une même courbe, jouissant de la propriété que si par un de ses points £ on mène un plan tangent au cône, Pangle de l'élément de contact S», et de la droite ST, sera un angle droit. Il est aisé dé voir que ces deux branchés seront conjuguées entre elles par les asymptotes menées par le points, luné xy, parallèlement à pq, l'autre sr", perpendiculairement à l’axe AX de TURV.

602. Il s’agit maintenant de démontrer que les deux lignes p'OO’r, #O0'7/, se rencontreront toujours. Pour cela, nous allons faire voir que la branche pOO’, correspondante à Parc 7RPV de la base, situé du côté S de l'axe AX de cette base, coupe cet axe

en un point # , tel que si l’on mène les tangentes 4m, 4m’, la dernière 1m’ coupera l’autre

branche #00'7" en un point #, placé au-delà du point £ de manière qu’on ait mi mit.

La branche #00’g" allant du point à toucher à l'infini l’asymptote Sy, tandis que la branche p'O0'r va du point 4 à l'infini toucher l’asymptote Sr’, il s’ensuivra que ces branches se. coupent, en un point O' situé entre £et.: , d’une part, et l'infini vers y et.r’, d'autre part. De même le point £ étant à droite de £, il s’ensuivra que la ligne 0» allant joindre Pasymptote Sv’ de la gauche, tandis, que ja ligne 40p', qui part de la gauche, va joindre l’asymptote Sx de la droite , ces deux lignes 10», 40p’,se coupent.en un point O. I] sera donc prouvé que.les deux branches de courbe #00'g", pOO'r, se coupent en deux points O et O'. Et il faut bien remarquer que la.démonstration ne sera pas particulière au cas de ïa figure, ca de quelque, facon que soit placé le, sommet par rapport à la-base TURV, les deux asymptotes se eroiseront par le point S,.et seront dirigées, comme nous Pavons dit plus haut, l’ane perpendiculairement à AX, l’autre parallèlement à la tangente pg;enée par le pied 2. de la normale Sn ; ce qui ,.avec les positions relatives des points # et s,établit toutes les circonstances sur lesquelles cette démonstration se. trouve fondée. Cela posé, transportons les points met,m/, S, tet. i, à la figure,11°, afin d'éviter la confusion, de lignes quemnous donnerait la figure 6. . béta tee | | L’anglé des droitesmenées du sommet aux points » et étant droit, les trois points m, S'et# seront sur un demi-cercle dont-# sera le diamètre ; si done nous rabattons le plan de ces trois points sur le plan horizontal, mhé sera ce demi cercle ;etla perpendiculaire Sh, abaissée du point S sur m4, donnera le rabattement # du sommeti' Si maintenant on décrit sur n A, comme diamètre le demi «cercle #x}, et qu'on prenne la corde nx égale à Sn, il est clair que la corde x4 sera la hauteur dusommet au-dessus du plan horizontal ;

Fig.

Fig. r.

Fig, 2,

d’où l’on voit que la seule disposition des points #2, m',S et #, suppose le sommet du cône entièrement déterminé.

Menons par le point #= la droite mQ perpendiculaire à mm’, et prenons le plan mQ pour plan vertical. Si nous menons la verticale (S, aS”) , et que nous prenions aS = xh, le point (S, S’) sera le sommet du cône.

La droite AX étant perpendiculaire à mm" et passant par le point #, nous prendrons sur la droite aS prolongée es —eS; et comme il s’agit de démontrer que les angles situés dans l’espace mS£, m'Si, étant droits, m’1 est plus grand que né, il reviendra au même de substituer l’angle m'Sé à l'angle mSt, en remplaçant le point (S, S') par(s, S), et de faire voir que mi est plus grand que m4.

Étant donc connus les points (m",m),(s, S’),(S, S’); et les droites menées par les points (s, S’) et £,(S, S”) et à, étant respectivement perpendiculaires à (r7's, mS") et à (m'S, mS'), le théorème à démontrer sera que m’i excède 54, ou bien que si l’on mène par les points (s,S),(S, S’), des pirns respectivement perpendiculaires à (m's, mS'), (m'S, mS'), ils couperont la droite #7’ en ADS points £et 2, tels que le point £se trouvant correspondre au plan mené par (S, S')onaitm'i>m't.

Ces plans, respectivement perpendiculaires à (m's,mS'),(m'S, mS'), passeront par les horizontales (sr, S’r’), (Sr, S'r‘), dont les projections sr , Sr, sont perpendiculaires à ms et m'S; or ces horizontales perceront le plan vertical au même point (r, 7‘), car les angles m'sr, m'Sr,m'mr, étant tous droits , les points m",s,S,m et r, seront sur un même demicercle sous - tendu par le diamètre #17, à l’extrémité r duquel se couperont les troisdroites sr, Sret Qmr. Si donc on mène par le point 7’ la droite r'f, perpendiculaire à mS', cette droite séra la trace verticale commune aux deux plans perpendiculaires en question ;'et leurs traces horizontales seront les droites fd, fd , respectivement perpendiculaires à ms et a m'S. Les angles situés dans l’espace m'st, m'Si, étant droits, ces droites couperont 71'#, la première au point £ déjà connu, la seconde au point :.

Il suit de là qu'étant donnés les points m', m,s, S et #, il ne s'agira, pour avoir le point #, que de mener par le point # la droite 4f perpendiculaire à ms, puis, par le point f, où 4f rencontrera la droite mQ, perpendiculaire à m’m, d'élever une nouvelle droite f , perpendiculaire à »'S, et cette droïte coupera m'£ au point cherché z.

603. Sachant construire le point : d’une manière aussi simple, il sera facile de voir que 7'i est toujours plus grand que m't. Distinguons plusieurs cas.

rer Cas. Quel que soit l'angle mém’, supposons le pointS dans l’intérieur de cet angle, et du côté de mm où se trouve le point £. La ligne £fétant menée par le point £perpendiculairément à ms, et la droite m's étant nécessairement dans l'angle Sm’+, puisqueles points S'et s sont placés symétriquement par rapport à AX, on aura évidemment mi > mé.

2° Cas. L’angle mtm’ étant toujours arbitraire, supposons le point S dans cet angle, à l'opposé dusommet par rapport à #m". Le-point projeté en S devant se rabattresur le demi-cercle #zyt, dont mé est le diamètre, 1} faudra: que la projection S de ce pointisoit située dans cedemi-cerele, ce qui exigera que l'angle Smt, ou son égal sm'£, soit. au plus un angle droit. Il s'ensuit que la, droite 4f, perpendiculaire à m's, coupera la ligne de terre mQ en un point. f qui sera à droite du point d’intersection # de r'# et de #Q. Or; lerpoint : étant sur la perpendiculaire à m'S, menée par le: point f, etcette perpendiculaire f#

étant évidemment au-delà {de la portion de droite f#, par rapport au point »’, on aura encore 7 i > mé. e

3° Cas. Supposons le point S situé au-dehors de l'angle quelconque m1m”, du même côté de #m que le sommet de cet angle. Le point S devant se trouver dans le demicercle mzyt, il faudra que l'angle Smét— sm't soit au plus égal à un droit. La droite tf, perpendiculaire à m's, sera donc à gauche de m’'£; d’où l’on voit que le point d’intersection & dem't, etde la ligne de terre, sera situé à droite du point f Mais puisque la ligne ff, perpendiculaire à m's, passe par le point £, la ligne 2 qui donne le point i, et qui est perpendiculaire à m'S, sera évidemment au-delà du point £, par rapport au point ”, ce qui donnera conséquemment mi >> m'é£.

4° Cas. Après avoir supposé le point S en dedans de l’angle mtm', et successivement du côté £ de mm’ et du côté opposé, puis en dehors de cet angle et du côté de #, il ne nous reste à examiner que le cas où le point s serait au-dehors de l'angle mém’, et à lopposé du sommet de cet angle par rapport à mm’. Ce cas ne peut exister, car le point S doit être situé en dedans du demi-cercle mzy£, et il serait au-dehors.

Donc, dans tous les cas possibles , on a m#'i > m'£t : ce qu’il fallait démontrer.

604. Les courbes auxiliaires p'OO'r, #00"4", se coupant en deux points O et O’, ilcorrespond à ces points deux plans orthogonaux STR, SVU, qui coupent la base TURV. Ces plans se coupent eux-mêmes suivant l’axe réel (SO”, S'o”),et il en résulte que tout plan perpendiculaire à cet axe coupe le cône suivant une ellipse. En effet , Paxe des pôles d’une

section perpendiculaire à (SO”, S'o”) est la droite que déterminent les points Oet O’, et ces points sont les pôles des diamètres conjugués rectangulaires de la section; or, supposons, 1°, qu’elle soit parabolique : les diamètres seraient des droites parallèles qui concourraient à l'infini avec l'élément de contact du cône et du plan tangent parallèle au plan coupant’; celui des deux pôles O et O’ qui correspondrait à ces diamètres serait donc sur cet élément, c’est-à-dire sur la ligne TURV; 2°. qu’elle soit hyperbolique : son axe réel serait une corde extérieure du cône ; donc celui des deux pôles O et O” qui correspondrait à cet axe serait dans l’intérieur de la base. Mais les deux pôles O et O’ ne sont ni sur TURV, ni en dedans de TURV; donc, etc.

605. Maintenant il est facile de prouver qu’un tel cône peut toujours être coupé suivant un cercle. Pour cela prenons la verticale (C, CS) pour l’axe du cône : suivant ce qui vient d’être démontré, ce cône aura pour intersection avec le plan horizontal une courhe elliptique. Supposons que le petit axe AB de cette courbe soit dans le plan vertical, et soit CD, perpendiculaire à AB, son demi-grand axe. La demi-ellipse ADB formera la moitié de la base du cône; il sera aplati dans le sens du plan CD; le plan AB le coupera suivant les élémens SA, SB, et si nous portons CD en CD)’, la droite SD’ sera, sur le plan vertical, le rabattement de la section CD autour de l’axe réel (C, CS).

Cela posé, prenons sur l'élément SB un point quelconque b,.et. nous allons faire voir qu’on peut mener par ce point une section circulaire. Par le point à menons une suite de plans, tels que &P, perpendiculaires au plan vertical, et opérons de la même manière sur chacun de ces plans. Déterminons le pointe milieu de bP ; imaginons que ce point soit le centre d’un demi-cercle situé dans le plan ®P , et construisons le rabattement Pmb de ce demi-cercle: son ordonnée en e, dans le plan vertical CD, sera égale à em. Menons par le

Fig. 2.

Fig. 5.

Fig. 3.

Fig. 6,

Fig. 4.

Fig.

point e l'horizontale en ;et prenons er — em ; il est clair que si le demi-cercle 8P appartenait à la surface du cône, le point », rabattement, autour de (C, CS), du point dece demicercle projeté en e, se trouverait sur SD’: donc la suite des points tels que » formera une courbe nxN , qui, si elle coupe SD’ en un point x, correspondant au point X de SC, déterminera une section circulaire DXQ.

Or, ab étant une horizontale, la courbe nxN passera par le point a, situé à droite de SD”, et lorsquele point esera en E sur la droite DE parallèle à SA , le point x sera à l'infini, à gauche de SD’, sur l'horizontale EG, qui sera Seat de la courhe : donc cette courbe

anxN coupera toujours SD". Donc, etc:

Donc tout cône qui a pour base une ellipse , une hyperhole ou une pb à est un cône à base circulaire.

606. Si le sommet du cône était à Pinfini, il y aurait à examiner plusieurs cas :

Premièrement, supposons qu'un cône présente une section elliptique, et que cette section demeure invariable pendant que le sommet s'éloigne à l'infini ; ce cône se changera en cylindre elliptique. Imaginons qu’un tel cylindre soit coupé par un plan perpendiculaire à sa direction; la section sera une ellipse ( 581 ) : prenons le plan de cette ellipse pour plan horizontal de projection, et prenons pour plan vertical un plan mené par le petit axe dela section perpendiculairement au plan horizontal. Il est clair que le cylindre dont il s’agit se trouvera représenté , ainsi que le cône du n° précédent, par sa trace horizontale ABD, dont nous ne représentons que la partie vue, et par ses traces verticales Aa, Bë. Or, si d’un point quelconque (B, b), de l'élément B2, comme centre, avec bm=—2CD, comme rayon, on décrit ParcmQ, cet arc viendra couper l'élément Aa en un point Q,et il est évident que si Pon coupe le cylindre par le plan 6Q, on aura pour section une ellipse dont les deux axes seront égaux à 2CD , c’est-à-dire une section circulaire.

Secondement , supposons que le cylindre soit hyperbolique; coupons-le. par un plan perpendiculaire à sa direction , et soit 7 An... pA'q l’hyperbole qu’on obtiendra pour section. Concevons , par laxe A’A, un plan vertical de projection, et imaginons qu’un cône dont mAn…. pA'q soit la base ait son sommet sur la verticale GC, correspondante au centre de cette base : si le sommet s'éloigne à linfini , le cône en question déviendra le cylindre proposé. Mais l'axe réel de ce cône scra toujours parallèle. au plan horizontal, et il est aisé de voir, r°. que le sommet s'étant élevé à une certaine hauteur, le cône, quel qu’il fût d’abord, se trouvera ensuite aplati dans le sens du plan AA’; 2°.que les plans des sections circulaires couperont le plan de projection AA” suivant des droites verticales; 3° que les rayons de ces sections seront de plus en plus grands; 4°. enfin, qu’ils seront infinis pour la position du sommet éloigné à infini , et qu’en conséquence les élémensdu eylindre ne seront autre chose que les sections circulaires de ce cylindre.

Troisièmement, si l’on suppose que le cylindre soit Ré on sera conduit au même résultat qué dans le cas précédent.

Il suit de là que tout cylindre à base qe noie ou Mdr ire n’est réellement qu'un cas particulier du cône à base circulaire, et qu’il peut être coupé par un plan suivant un cercle. |

607. Le cylindre hyperbolique pouvant être cblipé par un plan suivant des hyperboles composées, chacune, de deux droites parallèles éloignées d’une distance finie arbitraire,

. on voit que toutesles variétés possibles d’ellipses , d’hyperboles et de paraboles (884—888), se trouvent sur les cônes et cylindres qui ont pour bases des cercles.

On remarquera de plus, d’après tout ce qui précède, qu’on peut trouver sur un cône quelconque à base circulaire, 1°. toutes les paraboles possibles, puisqu'on y trouve la droite perpendiculaire à l’axe de la parabole, et celle qui se confond avec cet axe (526), c’est-à-dire, la parabole la plus ouverte et celle qui est la plus alongée; 2°. toutes les ellipses possibles ;car si l’on trace sur ce cône une suite de sections circulaires parallèles, et qu’on prenne sur ces sections des cordes égales à une ligne donnée, et perpendiculaires au

… plan principäl(52ao),on pourra mener par ces cordes des sections elliptiques qui, ayant la ligne donnée pour petit axe, soient comprises entre le cercle, d’une part, et la section composée de‘deux droites parallèles, menée par la corde située à l'infini, d’autre part, c’està-dire toutesles ellipses d’un petit axe donné, et d’une excentricité variable depuis zéro jusqu’à l'infini, 3. toutes les hyperboles dont les asymptotes comprendront un angle moindre que celui du cône.Mais on ny trouvera pas les autres hyperboles. La seule surface conique pour laquelle l'angle au sommet serait infiniment près de deux droits, pourrait donc offrir toutes les sections coniques possibles : cette surface est un plan.

608. THÉORÈMES ET PROBLÈMES sur les sections coniques. U n'y a peut-être pas de sujet qui aït plus exercé les savans que la théorie des sections coniques, aussi cette théorie comprend-elle un nombre immense de propriétés. Nous allons nous arrêter un moment à celles qui intéressent la Géométrie descriptive.

609. THÉORÈME 1*. Une ellipse ABA'B', ayant un de ses axes AA' égal au diamètre AA! d'un cercle ARA'R', des ordonnées PM et Pm, du cercle et de l'ellipse , correspondantes à une même abscisse CP, sont entre elles comme les axes de l'ellipse.

Effectivement, on a pour le cercle

PM = CM — CP — CA — CP, et pour l’ellipse (581) 14: M has (CA — CP ).

CA Ce qui donne APTE TT LEA CB es MORT ET e Ÿ

PM : Pm :: WCA — CP : à VOA — CP,

ou, ce qu'il fallait démontrer,

PM : Pm :: CA : CB.

Fig, r.

Fig r.

Il est évident que pour l’ellipse ADA'D', on aurait trouvé PM : Pm' :: CA : CD.

610. THÉORÈME 2. L’ellipse ABA'B' ayant encore pour l’un de ses axes le diamètre AA! du cercle ARAR’, les tangentes MT, mT, aux points M et m, du cercle et de l'ellipse, correspondans à la même abcisse CP, couperont l'axe commun AA en un méme point T.

Pour démontrer cette propriété, concevons que l’ellipse ABA'P’, supposée horizontale, soit la base d’un cylindre vertical, et faisons tourner le cercle ARA'R' jusqu'a ce que le point R’ soit sur l'élément du cylindre projeté en B'. Le plan mené par la position que le point R' aura prise, et par les points À et A”, coupera le cylindre suivant une section dont AA’ et R'R seront les axes ; donc cette section sera circulaire. Donc par cela seul que , dans le mouvement du cercle ARA’R'; le point R’ sera venu s'appliquer sur le cylindre, ce cercle tout entier se trouvera compris dans la surface dont ABA'B est la projection ; donc le point M, dans sa nouvelle position , se projettera en m : donc le plan mT, tangent en m à cette surface, contiendra les tangentes en M et m au cercle et à l'ellipse. Mais ce plan coupe la droite AA’, intersection du plan horizontal et de la section circulaire ARA'R/,-ramenée sur le cylindre, en un point T, qui appartient aux tangentes en question : donc, etc.

Si le diamètre AA’, au lieu d’être le grand axe de l’ellipse donnée, était son petit axe, comme dans le cas de l’ellipse ADA’D', on concevrait que le cylindre vertical passät par le cercle ARA'R"; on ferait tourner l'ellipse ADA'D' autour de AA’, jusqu’à ce que le point D’ se projetät en R'; on remarquerait que dans cette position le plan mené par la droite AA’, et par le point D' ramené au-dessus de R’, coupe le cylindre suivant une ellipse dont les axes sont égaux à AA’ et DD'; on en conclurait que, dans sa nouvelle position, cette ellipse coïncide avec le cylindre, etc., etc.

On appelle la droite PT, qui est sous la tangente mT ou MT ou w'T, la soutangente du point m ou M ou 7»#’, et on énonce le théorème qui nous occupe, en disant que le cercle ARAÂR' ef les ellipses ABAF’, ADAT’,

on , pour la méme abscisse, une méme soutangente.

611. THÉORÈME3. CA et CB étant les demi-axes d'une ellipse, toute droite TM, égale au demi-grand axe, qui s'appuiera d'un bout M sur cette ellipse, et de l'autre bout T, sur la direction B'CB du petit axe ,

aura au dehors de l'angle droitiB'CA , une partie RM, égale au demi-petit axe CB, ou, ce qui revient au même, en dedans de cet angle une partie RT, égale à l'excentricité.

En effet, du point T comme centre , avec TM comme rayon, décrivons le cercle «Mb, il aura pour diamètre le grand axe de l’ellipse , ce qui don-

ns DM : PM :: CA : CB;

mais les triangles MPR, MDT , étant semblables , on a DM : PM :: TM : RM:

d'où résulte

CA : CB :: TM = CA : RM:

ce qui exige qu’on ait CB — RM, ou la ligne RT égale à l’excentricite.

612. Scholie. Cette propriété fournit un procédé bien simple et bien commode pour décrire une ellipse. Le voici :

Étant données les directions MN, PQ, des axes, on prend un petit . papier abcd, dont le côté ab soit une ligne droite, on marque sur le bord de ce papier trois points À, B, C, tels que la Stinds AB soit l’excentricité, AC le demi-grand axe, ct BC, conséquemment, le demi-petit axe. Cela fait on donne au papier une suite de positions telles, que les points A etB, qui terminent l’excentricité, soient sur les lignes MN, PQ; pour chacune on marque la position correspondante du point C, et les positions successives de ce point décrivent l’ellipse dont MN et PQ sont les directions des axes, et AC, BC, les moitiés de ces mêmes axes.

613. rxéoREmE 4. BAD étant un demi-cercle ; PM , QN , etc., étant ses ordonnées perpendiculaires au diamètre BD, supposons qu’on ait rapporté ces ordonnées en Pm, Qn,etc., sur les droites Pm , Qn, etc., parallèles entre elles, et passant par les pieds des ordonnées PM, QN, etc. , la suite des points m , n, etc., déterminera une demi-ellipse BmnaN.

Pour démontrer cette proposition, prenons un point B’ sur le prolongement de BD , et menons par ce point les droites B'A”, B'a’, respectivement parallèles à PM età Pm; puis imaginons que B'A soit la projection du demi-cercle BAD sur un plan vertical 77’, perpendiculaire à BD. Portons B'M' en B'r#', B'N' en B'r', etc. : les droites mm ,n/n, etc., seront parallèles à BD ; d’où l’on voit que # lon fait passer par le demi-cercle (BAD, B'A”) un cylindre parallèle aux droites (Mm, Mr’), (Nn,N'n°) , etc., il coupera le plan B'a’ suivant une courbe (BmnaD, B'a'), qui aura pour projection horizontale la ligne en question. Or, la courbe (BmnaD , B'a') ne sera autre chose qu’une projection oblique du demicercle sur le plan Ba’; donc cette courbe sera une ellipse (589) : donc la ligne BmnaD, qui est sa projection horizontale, sera aussi une ellipse.

Fig. 7-

Fig. 6.

Fig, 6.

Fig. 4.

ILest clair que le cerele entier auquel appartient BAD, donnerait l’ellipse entière.

614. Et comme la projection de la tangente à une courbe est la tangente de la projection de cette courbe (*), on voit que le point T, de la tangente MT, sera lui-mêmesa projection oblique, et que Ty sera da tangente en m à la ligne BrnaD.

IL suit de là que lestangentes en Bet D, à cette ligne, sont les droites Bp, Dg, parallèles à Pm; que la tangente en a est la droite pg, parallèle à BD, et que Ca, CD, sont les demidiamètres conjugués égaux de la demi-ellipse BrenaD.

615. PROBLÈME 1*. Etant donnés un axe AA, et un point M d'une ellipse , trouver l'autre axe.

Supposons que l’axe donné soit le grand axe, et du point M comme centre, avec un rayon égal à la moitié CA de AA’, décrivons un arc r'; cet arc rencontrera en un point D la perpendiculaire BB’, élevée à AA' par le point C, et si l'on joint les points M et D par la droite MD, cette droite coupera le grand axe AA'en un point x, tel qu’en prenant CB=CB'=— Mr, BB sera le petit axe demandé (671).

Si l'axe donné AA était le petit axe, avec AC = + AA’, comme rayon, on décrirait, du point M comme centre, un arc rr'; cet arc rencontreraït en un point D la droite BB’, élevée perpendiculairement à AA’ par le point €, tel que CA = CÂ'; on menerait la droite MD, qui irait couper AA’ en un point æ, et BB'=2CB = 2Mx, serait le grand axe demandé.

616. ProszëèmE 2. Une surface conique à base circulaire et un plan étant donnés , détorminér leur äntersection en construisant plusieurs systèmes de ‘diamètres conjugués de cette intersection. |

On a vu précédemment (545—549) que TURV étant la base de la surface conique, (S , S") son sommet, et (AB, BD) Le plan coupant, il suffisait de mener par le sommet un plan (2'8,0S"), parallèle à (AB, BD), pour construire autant de systèmes de diamètres conjugués (ér, BD), (vu, BD), qu'on aura déterminé de systèmes de cordes polaires TR, VU, dont les pôles O ét O'soiént Sur 4’. Or, chaque système de diamètres conjugués donnera quatre points de la section, ét lés quatre tangentes correspondantes; on n’aura donc besoin que d’un petit nombre de cordes polaires , telles que TR et VU, pour déterminer l’intersection demandée, et il serait superflu de nous arrêter ici aux constructions à faire.

Si la section était hyperbolique ou parabolique, on opérérait comme il résulte des n°° 554—558, et 563—566.

Les mêmes constructions s'appliqueraient au cas où la trace TURV serait une section conique quelconque.

(*) Il est aisé de voir que les raisonnemens du n° 90 s’appliquent au cas des projections obliques comme à celui des projections orthogonales.

617. Proszèmr 3. Connaissant l'intersection elliptique d'un cône à base cérculaire et d'un plan, trouver les axes de cette intersection.

Soit TURV Ja base de la surface donnée; soit &'* l’axe des pôles de la section (537); PI. 6. enfin , soit s le rabattement de ce sommet autour de la trace à'>. Fig. 8.

Nous abaisserons du centre C de TURV la perpendiculaire Ce sur 4/0; par le point e nous menerons la tangente et, et nous abaïsserons par le point de contact # la perpendiculaire 40" sur Ce: le point O” sera le pôle intérieur dont tous les conjugués sont situés sur la droite ao (543). Ce pôle étant connu , nous prendrons arbitrairemeut un point © sur cette droite; par ce point nous menerons la tangente OV; nous déterminerons le point de contact V, et nous ferons passer par ce point, et par le point O”, la droite VO"O", qui ira couper en un point O’ l’axe »'». On sait que les points Oet O' seront deux pôles conjugués

à O"; qu’il correspondra à ces pôles un système de diamètres contents) et que l'angle OsO” sera celui de ces diamètres : si donc cet angle était droit, ces mêmes diamètres seraient les axes demandés. Elevons par Îe point s la perpendiculaire sd à sO’, et portons sO en sd, au moyen de l'arc Od; il est clair que si les points O et O’ correspondaient aux axes , le point d se trouverait en O sur la droite +»: donc si l’on prenä sur cette droite une suite de points tels que le point O; qu’on en déduise une autre suite de points tels que le point.d; que par ces points on mène une courbe auxiliaire adxmynz, cette courbe ira couper la droite +'v suivant deux pôles x et z qui correspondront aux axes demandés, et ces pôles étant connus, on en déduira facilement ces axes.

Il est aisé de voir que la courbe auxiliaire adxmynz a pour asymptote la droite sr’ perpendiculaire à se.

618. Il sera bien important de ne pas confondre les pôles x et z, qui se correspondent , avec le point y, où se coupent la courbe adxmyns et la droite »’*. Pour cela, il faudra opérer avec beaucoup d'ordre; prendre d’abord le point O à l'infini au-dessus de Ce; prendre les autres positions de ce point assez voisines les unes des autres; numéroter la suite des points tels que O, la suite des points tels que O”, et la suite des points tels que 4: alors on verra que le point y ne correspond , comme pôle, ni au point x, ni au point z; et Von reconnaîtra que ce point étant sur un arc yŸ, décrit du point s comme centre, il arrive que le point O étant en Y, le point d'est en y, sans pour cela que les points Y et y, analogues à d'et O, coincident en un seul.

Cette particularité tient à ce que lidée de rapporter le point O en à transforme la question à résoudre en une autre, qui n’est pasidentiqueavec la première, et qui a unesolution particulière qui n’appartient pas à celle-ci. Toutes les fois qu’on emploie des courbes auxiliaires, il faut, de crainte d’erreur, examiner sicette circonstance n’a pas lieu, c’est-àdire vérifier si effectivement les solutions obtenues satisfont au problème proposé. Ici il ne

s'agira que de reconnaitre que le point z est bien réellement le pôle conjugué du pôle x.

619. ProszèmE 4. Connaissant l'intersection d’un cylindre à base circulaire et d'un plan , trouver les axes de cette intersection.

On sait (571) que les droites Cp, CC, étant menées à angle droit par le centre C de la pi. 43. base circulaire, ces droites couperont la trace AB du plan coupant aux deux pôles @ et &, Fig. 2.

tels que les droites menées par ces pôles, et par le centre (c, c”) de la section, fassent entre elles un angle droit.

Donc, TURV étant la base du cylindre, AB étant la trace du plan coupant , et y étant le rabattement du centre de la section autour de AB, si l’on élève sur le milieu de Cy la perpendiculaire mn, qui rencontre AB en m, et que du point m, comme centre, avec mG comme rayon , on décrive le demi-cercle £Cy® , ce demi-cercle sera tel que les angles £Cy , £y® , soient tous deux droits; les points € et @ seront les péles correspondans aux axes de la section , et les droites &y, @y, seront le rabattement de ces axes.