CHAPITRE PREMIER

Développement des surfaces.

620. Les surfaces développables sont fréquemment employées dans les arts à cause de la propriété, qui les caractérise, de pouvoir être déroulées sur un plan, sans éprouver ni déchirure ni duplicature (253).

D’après cela, la question de développer une surface développable, et de rapporter sur son développement les transformées des courbes qu’elle contient (426), est une question importante à laquelle il convient que nous nous arrêtions. On a déjà vu (430 et 440) comment elle se résout pour le cas du cylindre droit et pour le cas du cône droit; nous allons la résoudre dans d’autres cas plus compliqués, et nous exposerons, dans un problème général, les recherches qu’exige la solution complète du développement d’une surface développable donnée.

621. PROBLÈME 1°. Étant donnée une surface cylindrique quelconque, on demande de construire son développement , de rapporter sur ce développement une courbe connue sur la surface donnée, et de menerune tangente à lwtransformée de cette courbe, par un point choisi arbitrairement sur cette transformée.

Pour résoudre ce problème , nous remarquerons que dans le développement d'une surface cylindrique , tous les élémens de cette surface sont nécessairement parallèles entre eux; d’où il suit que toute ligne tracée sur un Cylindre, de manière qu’elle coupe perpendiculairement tous ses élémens , est une ligne droite dans le développement (430). Or, l’intersection d’une surface cylindrique, et d’un plan perpendiculaire à ses élémens, est

une courbe perpendiculaire à ces mêmes élémens ; donc cette courbe se transforme en une droite sur le développement de la surface cylindrique (*). k

622. Il suit de là que le développement demandé s’obtiendra en rectifiant cette courbe, et en menant par chacun de ses points des droites qui lui soient perpendiculaires; car chacune de ces droites sera un élément de la surface, et leur ensemble formera évidemment ce développement. D’après cela, il va être facile de résoudre la question proposée.

623. Soit (ABC, ['C’) l'intersection d’une surface cylindrique quelconque avec le plan horizontal, et (AD, A’E") l’un des élémens de cette surface. Pour obtenir son développement , nous menerons d’abord un plan quelconque (FG, GH), perpendiculaire aux élémens du cylindre, et nous chercherons son intersection avec ce cylindre. Pour cela, nous les couperons l’un et l’autre par des plans verticaux parallèles à AD; parce que ces plans , faciles à représenter, donneront des lignes droites pour sections avec le cylindre.

Le plan de construction AD, par exemple , coupera la surface cylindrique suivant les deux élémens (AE, A'E"), (CP, CP’), et le plan (FG, GH) suivant une droite passant par le point (D, D”). Pour avoir un second point de cette droite, on menera par un point quelconque H de la trace verticale GH, une horizontale (H'N, HN”), située dans le plan (GF, GH); elle percera le plan AD suivant le point (N, N’), et la droite (DE, D'E’), menée par ce point et par le point (D, D’), sera la droite cherchée. Au moyen des sections (AE, AE’), (CP, CP”) et (DE, D'E’), on déterminera les projections verticales P’ et E’, des points de l’intersection situés dans le plan auxiliaire AD , et ensuite, on les rapportera en projection horizontale en Pet E.

Une fois qu’on aura déterminé la direction D'N', de la projection verticale d’une section du plan (FG, GH) avec un plan auxiliaire AD, l'emploi des autres plans auxiliaires deviendra très simple. En effet, soit IK un de ces plans ; il coupera la surface cylindrique suivant les élémens (BK, B'L), (M, TM), et le plan (FG, GH) suivant la droite (KL, KL”), menée par le point (K, K”) parallèlement à (DE, D'E'), ce qui déterminera tout de suite Les points (L, L'), (M, M), de l'intersection cherchée(LPrM, L'Px'M).

(*) Dans Îles arts, on donne le nom d’arc droit aux lignes d’une surface développable qui se changent en hgnes droïtes sur le développement de cette surface.