CHAP. {. DÉVELOPPEMENT DES SURFACES

El sera facile de la décrire, dès qu'on aura construit un pri to suffisant de points tels que CEA PS PIB ME, My |

624. I s'agira ensuite d'obtenir la ligne (LPnM, LP M) dans sa véritable grandeur, afin de pouvoir la rectifier. Or, il suflira pour cela de rabattre son plan autour de l’une de ses traces GF ou GH. Supposons que ce soit autour de GF. Un point quelconque (L, L”) décrira un arc de cercle vertical LO, dont Le centre sera en K , et qui aura pour rayon l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont un côté sera l'horizontale LK, et l’autre côté la verticale /L’. En portant donc cette hypoténuse de K en O sur la droite LO, on obtiendra le point O, rabattement de (L, L”). D’après cela, il sera aisé d'obtenir la courbe OSQ, rabattement de (LP2M, L'P7'M), autour de GF. Le rabattement RTU de la même courbe, autour de la charnière GH, s’obtiendra par les mêmes moyens; et les deux courbes OSQ, RTU, dont une seule sera nécessaire | devront être parfaitement égales.

625. Maintenant, divisons la courbe OSQ en arcs VX, XY, YS, etc., VO, OZ, etc., assez petits pour qu’on puisse supposer, sans erreur sensible, qu'ils se confondent avec leurs cordes. Ensuite, ayant mené une droite quelconque g'q , portons, à partir d’un point y de cette droite, à la suite les unes des autres et d’un même côté, les parties VX, XY, YS, etc., en 9x, Æy, }s, etc. Puis, portons de l’autre côté les parties VO, OZ, etc., en vo, 0z, etc. La ligne indéfinie g'q présentera la rectification de [a courbe OSQ, dont la longueur est censée infinie lorsqu'on imagine qu’elle est formée par un fil qui se déroule de dessus lui-même pour donner gq'q.

Cela posé, élevons par chaque point », x, y, s, etc., v, 0, z, etc., de la droïte indéfinie g'q, des perpendiculaires à cette droite. Chacune d’elles représentera un élément du cylindre donné , en sorte que le plan:indéfini représentera le développement général de ce cylindre, et que la partie comprise entre les élémens indéfinis g'a', ga, représentera la partie qui correspond à une simple ciconvolution de la courbe OSQ.

626. Soit (ABC, FC’) la courbe dont on demande la transformée. Il faudra, pour obtenir cette transformée ; prendre la longueur de chiaque portion . d'élément (PC, P’C), (LB, LB), (ML, MT), etc, et. la porter , savoir : la première (PC, P'C) sur la droite ce, depuis le point s, qui représente le point V, ou, ce qui revient au même, qui représente le point (P,P”), jusqu'en C; la deuxième (LB, L’B") sur la droite ob, depuis le point o, qui représente le point O, ou, ce qui revient au même, le point (L, EL’), jusqu’en b ; et ainsi des autres. On décrira ensuite une courbe a'ibea, pas-

Aie

et

Fig. 1.

sant par les points obtenus, c, b,i, a', etc., et cette courbe sera la transformée de (ABC, I'C”.

Il est évident que cette transformée s'étend à l'infini par ses deux extrémités (432), et que la partie a'ca correspond à une circonvolution ‘de (ABC, FC’).

627. Il s'agira encore de mener une tangente à la courbe a/ca par un quelconque b de ses points. Pour cela on construira d’abord l’élément ob, qui contient ce point sur le développement; il sera facile d’en déduire le point (L, L’) de la courbe (LP2M, L'P'r'M"), lequel s'applique en o quand on rectifie cette courbe, et lorsqu'on connaîtra le point (L, L’) on menera l'élément (BL, BL"), qui déterminera le point (B, B'’), correspondant au point d. Par le point B on menera la droite BF, tangente en B à la trace ABC; on en déduira la tangente (FLW, F'L'W), à la courbe (LPrM, L'P'7'M") en (L, L’), ainsi que la tangente OF au rabattement OQS.

Les tangentes FB, (FL, F'L/), étant dans un- même plan, tangent au cylindre donné suivant l'élément (BL, B'L’), elles formeront avec cet élément un triangle (FLB, F’L/B"), qui ne variera pas dans le développement du cylindre. Or, ce triangle est rectangle en (L, L'), le côté (LB, L'B”) égale ob, le côté (FL, F'L”) égale FO; donc, si l’on porte FO de o en f, et que l’on mène fb, le triangle fob sera égal au triangle (FLB , F'L'B). Et comme l’angle (LBF, L'B'F’), de la tangente et de l'élément, ne varie pas quand on développe le cylindre (497), la droite fd sera la tangente cherchée.

On remarquera que la droite WU, menée par le point W”, où la tangente (FL, FL) perce le plan sr et par le point U, re de (L, L/), est tangente en U à la courbe RTU; et que la ligne W'U égale (LW, L'W.

628. Exécution de l'épure. Le plan (FG, GH) étant une des grandeurs les plus importantes de l’épure, on a supposé que ce plan existait dans l’'espace. Il est clair qu’il cache, en projection horizontale, toute la partie du cylindre située au-dessous de la section (LP7M, LPS et qu’en projection verticale, au contraire, c’est la partie du même cylindre, située

au-dessus dé cette section, qui se trouve cachée. D'après cela, il est aisé de RELPRERUE les lignes pleines et aidons de l’épure.

629. Pin Dr ER ie : Étant donnée une surface conique , on denlille d'en construire! le. Dnanent de rapporter sur ce développement une