CIHAP. I. DÉVELOPPEMENT DES SURFACES

courbe donnée sur la surface tonique , et de mener une tangente à la transformée par un quelconque de ses points. |

Pour-cela, nous remarquerons que tous les élémens d’un cône se croisent sur son développement suivant le point où son sommet se trouve appliqué. Si donc on prenait sur les élémens de la surface donnée une suite de points également distans de son sommet, ils formeraient nécessairement sur cette surface une courbe particulière, qui jouirait de la propriété de se dérouler suivant un cercle sur le développement demandé. Or, ilest clair que cette courbe n’est autre chose que l'intersection d’un cône donné avec une sphère ayant son centre au sommet de ce cône.

630. Cela posé, concevons qu’on ait construit une telle courbe : il sera facile d’en déduire le développement de la surface donnée ; car il ne s'agira, pour cela, que de rapporter cette courbe sur un cercle d’un rayon déterminé, et toutes les droites menées par le centre de ce cercle, et par les points de sa circonférence , représenteront les élémens de cette surface et formeront son développement. Cest ce que l'application à un exemple va achever d’éclaircir. i

631. Soit (A, a) le centre de la surface conique donnée, soit BCDE sa trace horizontale, et soit am le rayon de la sphère par laquelle nous allons couper cette surface conique dans le but d'obtenir la courbe dont la transformée est circulaire.

Pour déterminer cette courbe, c'est-à-dire l'intersection (NIKH, z#}) du cône et de la sphère dont il s’agit, nous allons couper ces deux surfaces par des cônes droits verticaux dont les centres soient en (A, a). Ces cônes auront pour intersections, avec la sphère , des cercles, et avec le cône donné, des droites ; et les points communs des cercles et des droites, qui correspondront à un même cône auxiliaire, appartiendront à l’intersection cherchée.

Décrivons donc, du point À comme centre, un cercle quelconque CFE, que nous prendrons pour base d’un des cônes auxiliaires. En geénéral, ce cercle rencontrera la trace BCDE, du cône donné, en plusieurs points E et C, auxquels correspondront les projections horizontales AC, AE, des élémens d’intersection du cône donné et du cône auxiliaire. Le point F étant en projection verticale en f, la méridienne principale du cône sera la droite (AF , af); cette droite rencontrera la méridienne (LM, lgm) de la sphère en un point (G, g), etil est clair que le cercle (IGHL, gl) sera l’intersection de cette sphère et du cône auxiliaire. Mais ce cer-

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cle, et les élémens projetés horizontalement en AC et ÂAËE, se rencontreront suivant les points dont les projections horizontales sont en E et H ; si donc on met ces points en projection verticale sur la droite &, on aura deux points (H, k), (L, i), de l'intersection cherchée (NIKH, rüikh).

En menant de nouveaux cônes auxiliaires , on aura de nouveaux points, tels que (H, ), (E, à), et lon pourra décrire cette courbe.

632. Pour la tracer avec exactitude, il sera bon de construire plusieurs points singuliers qui correspondent aux contours des projections ire du cône et de la sphère.

Le point singulier qui correspond au contour (AB, ab), par exemple, sera dans le plan vertical AB ; 6r, en ramenant ce plan en AQ, le point (B, à) viendra en (Q, q), l'élément (AB, ab) viendra par conséquent en (AQ, ag), et comme la méridienne sphérique AB viendra en (LM, /gm), il s'ensuit que le point cherché se trouvera en (R, r). En ramenant donc le point (R, r) en (N, 7), ce dernier point sera celui où la projection verticale de la courbe (NIKH, zikh) touchera la droite ab. On déterminera pareïllement le point (K, #).

Les points singuliers qui correspondent au contour (LM, gm), de la sphère, se trouveront encore plus facilement , Car ils seront les intersections de la méridienne (LM, {gm), avec les élémens du cône donné situés dans le plan LM. (AS, as) est un de ces élémens ; 1l rencontre (LM, {gm)en. (T, é) : ainsr, sl t) est l’un de ces points. Il sera aisé de vérifier que l'autre est en (0, 0):

Il est clair que la nappe supérieure du cône contient une seconde branche de l'intersection qui nous occupe; mais nous ferons abstraction de cette. seconde branche.

633. Il s'agirait maintenant, pour avoir le développement demandé 1 de rapporter la courbe à FANS courbure (NIKH, z1khk) sur un arc de cercle #"k"n"0, décrit avec le rayon A'1”"= am ; mais, pour cela, il faut d’abord obtenir , par le moyen exposé n° 451 > une transformée de da courbe (NIKH, nikh), qui présente la véritable longueur de cette courbe.

On. développera donc le cylindre vertical TIKHNT. La trace TIKHNF ayant été rectifiée sur la droite T'T", et les. perpendiculaires T'£', 14!, K’X', etc., ayant été élevées par les points T', [”, K', etc. , correspondans à T, 1, K, etc., on portera sur ces perpendiculaires les hauteursdes points. (T, #), (E, à), (K, 4), etc. , au-dessus du plan horizontal, et la