Proposons-nous maintenant de rapporter

» Sur le développement obtenu,

une courbe quelconque BCDE, connue sur le cône donné. Soit C un point de cette courbe qu’on veuille avoir sur le développement, On meénera par Ce point la droite AC, projection horizontale de l'élément correspondant; cette droite déterminera un point (I, à) de la ligne (NIKH, nikh) ; on construira la longueur af de l'élément AC ; ensuite, on rapportera le point (I, i) en ÿ, sur la transformée 1ik'4/n! t”, puis en {”, sur Je cercle 4°’4"0 : par le point #’ on menera la droite A%", on prendra sur cetie droite A'C'= af, et le point C’ représentera le point C, sur le développement du cône donné.

On construira de la même manière les points S’, D', E, B’, S”, qui représentent S, D, E, B, S, et l'on aura la transformée S'C'D'E/LS” de BCDE.

636. Enfin, proposons-nous de mener par un point quelconque C’, de la transformée S'CD'E'BS", une tangente à cette courbe. Pour cela , nous

rapporterons d'abord ce point sur le cône donné. Or, l'élément A/C’ coupe

la courbe #”"K"6 en un point i’; si donc on rapporte ce point en ? sur

tik'h'n't", que l'on construise le point [', et qu'on rapporte ce dernier point en I, il est clair que le point (I, à) sera le correspondant de £', en

sorte qu'en menant la droite AIC , elle déterminera le point C correspondant de C’.

Connaissant les deux points (I, &) et C, il s'agira de mener par ces points des tangentes aux courbes respectives auxquelles ils appartiennent: La courbe BCDE étant une courbe donnée , on devra savoir mener sa tangente CX , et cette tangente sera la trace du plan tangent au cône suivant le point (LI, &). Par ce même point (I, i), on menera un plan tangent à la sphère ; il aura pour trace horizontale une droite VX, qui coupera CX en un point X; par ce point et par le point (I, &), on menera la droite (XI, xi), et cette droite sera la tangente en (TI, à) à la courbe (NIKH, rikh).

L'élément AI du cône donné étant un rayon de la sphère, et la tangente (XI, xi) étant dans le plan tangent correspondant, cet élément et cette tangente se couperont à angle droit ; donc le triangle projeté en CXI sera rectangle en (TL, :). Mais on sait (497) que pour avoir la tangente en C’, il suffit de construire l’angle en C de ce triangle; si donc on mène ÿ’x" perpendiculaire à A'C', et que l’on construise l’hypoténuse C'x' égale à Cx, la droite C'x' sera la tangente cherchée.

On pourra encore porter XI de Ten X’, on menera la droite X"7 tangente en # à la transformée #k'h'n't" (bo4); X'T sera la véritable longueur de (XI, xi) : en portant donc cette longueur de ?” en x’, il ne s'agira plus que de mener par les points C' et x’ la tangente x’C’. |

637. Exécution de l’épure. La sphère auxiliaire étant une des grandeurs les plus importantes de l’épure, on a supposé que la calotte ulgm de cette sphère existait dans l’espace, et l’on a déterminé, d'après cette supposition, les lignes pleines et ponctuées de la pl. 49.

Il est clair que l'intersection (NIKH, nikh) est entièrement vue sur le plan horizontal, et qu’elle n’a de vu, sur le plan vertical, que le seul arc (TIK , #4). Quant aux autres lignes de l’épure, il sera facile de déterminer leurs parties vues et cachées. Nous ferons seulement observer que la méridienne ulgm cesse d’être vue en #, et qu’elle ne recommence à être vue qu'au point où elle coupe le contour ad.

638. ProsrèmEz 3. Étant donné un hélicoïde développable, construire son développe- 7rené.

Soit (ABC, A’B'C") l’hélice arête de rebroussement de la surface donnée. D’après ce quon a vu n° 263, il sera facile de construire autant d’élémens de cette surface qu’on en voudra. Soit donc (AD, AD’), (EF, EF), (GH, G'H°), etc., quelques-uns de ces élémens