CHAP. I. DÉVELOPPEMENT DES SURFACES

et, afin de moins embrouiller la figure, ne projetons, sur les plans de projection, que les PI. 50. portions de ces mêmes élémens qui appartiennent à la nappe inférieure de l’héliçoïde.

639. Nous remarquerons d’abord que les positions successives (E, E’),(G, G'}, (I, l')ete., d’un point quelconque (D, D’) de la génératrice, forment une hélice (DEGI..., D'E'G'1’..), qui a même axe et même pas que (ABC, A’B'C’). En effet, la génératrice ayant toujours la même inclinaison, les longueurs (DA, D'A”), (EF, EF"), (GH, G'H'), etc., comprises entre le point décrivant et le point de contact de lhélice, se projetteront suivant les lignes égales DA, EF, GH, IK, etc., ce qui fait voir que la projection horizontale DEGI ..…, de la ligne décrite, sera la circonférence d’un cercle dont le centre est en ©. D’un autre côté, il est évident que les points (E, E”), (G, G’), (1, 1”), etc., sont élevés au-dessus du point (D, D") de hauteurs égales à celles de leurs correspondans (F, F”), (H, H”’), (K, K’), etc., au-dessus du point (A, A”): maïs ces dernières sont proportionnelles aux arcs AF, AH,

AK, etc. (110); ces arcs sont proportionnels aux arcs ED, GD, ID , etc.; donc les hauteurs des points (E,E”), (G, G’), (1, 1’), etc., au-dessus du point (D, D’), sont proportionnelles aux arcs ED, GD, ID , etc. : ce qw’il fallait démontrer.

640. Maintenant je dis que toute hélice (DEG.., D'E’G’...), située sur la surface donnée , se change en un cercle sur le développement de cette surface. Pour le prouver , supposons que les arcs DE, EG, GI, IL, etc., soient égaux et infiniment petits : les portions de surfaces projetées en DEFAD, EGHFE, GIKHG, etc., seront planes et parfaitement égales entre elles ; donc lorsqu'on les rapportera à côté les unes des autres, en d'e’f’a’d', PI. 50 eghf'e ,'g1khg, etc., pour avoir le développement demandé, elles formeront une Le courbe d'ég'il'..., qui aura en tous ses points une même courbure. Donc la ligne Fig. # de'g'il...,qui représentera, sur le développement, lhélice (DEG..., D'E'G’...), sera la circonférence d’un cercle.

641. Et comme une autre circonférence PQRS..., qui représenterait une autre hélice de la surface, couperait les droites d'a’, ef”, g'h", i'&’',etc., en des points P,Q, R, S.,etc., évidemment tels qu’on ait d'P—eQ—£$R—=?S, etc., il s'ensuit que toutes ces circonférences seront concentriques.

642. Cela posé, considérons sur la surface donnée les deux hélices (DEG..., D'E'G'.), PL 50. (ABC, A’B'C'), et un élément quelconque (LB, L’B"), qui ne sera autre chose que la tangente en un point (B, B’) de l’hélice (ABC, A’B’C”). Menons par le point (L, L') la tangente (LM, L'N’) à l’hélice (DEG..., D'E’G"...) (112). Il est clair que le plan tangent à la surface donnée, suivant l’élément (LB, L'B’), aura pour trace horizontale la droite MN : et comme la droite LB se trouve, dans la figure, parallèle à la ligne de terre, la droite MN, nécessairement perpendiculaire à LB, sera perpendiculaire à ND”, et la trace verticale de ce plan seradla droite N'L’. Or , conceyons qu’on ait développé lhélicoïde sur le plan tangent (NN’, N'L”) : les élémens infiniment petits ux, yz, des hélices (DEG..., D'EG’...), (ABC..., A'BC'...), n'auront pas changé dans Le développement, et se trouveront appartenir aux circonférences qui représenteront ces hélices; d’où il faut conclure que les tangentes (ML, N'L’), (LB, L'B”), détermineront le centre commun de ces circonférences, et par suite, ainsi qu’on va le voir, le développement demandé,

Exécutons ces constructions, et pour cela, rabattons le plan (NN”, N'L”) autour de NN’ sur le plan horizontal. Le point (L, L’) viendra s’abattre en Z, le point (B, B") en 6, la

PI, 5o.

PI. 5r.

Fig. 2.

ligne (NL, N'L") en N/, et les se (ML, N'L”), (NB, N'B'), respectivement tangentes aux hélices (DEG...., D’ EG: ), (ABC...,A'B'C'...),en (L, L') et (B;'B'}, viendront s'abattre én M et N Ces Sd Bétteinens M et No, seront, comme nous venons de ledire, les tangentes en / et b, aux circonférences qui représenteront les hélices (DEG..., D'E'G...), (ABC, A’B'C’); donc, si l’on élève par le point Z, o perpendiculaire à M4, et par le point b, bo perpendiculaire à No, le point o sera le centre de ces circonférences, et leurs rayons seront les droites Zo et Bo.

643. Prenons donc un point o’ sur un plan, et décrivons de ce point comme centre, avec les rayons 0'7 = 67, ob —0b, les circonférences d'ég'l'..…., d'fh#... Ensuite, portons les arcs DE, DG:, etc. , de D" en E”, de D” en G”, ete., sur une droite D"G"; et ajpat élevé par les points E”, G”, etc., les droites E"E”, GG", etc. , perpendiculaires à D"G", portons sur ces perpendiculaires les hauteurs respectives E"E", G"G”, etc., des points (E, E”),(G,G”), au-dessus du plan horizontal : il est clair que n droite D'E”G”... sera [a transformée de l’hélice (DEG. .., D'E'G”...). D’après cela, si Pon porte les lignes D'E", E°G”, ete, de d’ en e’, de e’ en g', etc., sur la circonférence d'égl'..., ét qu’on mène par les points d', €’, g', à’, l'..., correspondans à (D, D’), (E, E’}, (G, G'), (EF; ?), (L, L')..., des droites d'a’, ef ,g"h",vk",lb"...,lafigure.. .l'i'g'éd'af'h'E D... sera le développement de la partie de Phéligoïde donné projetée sur le plan horizontal en .…… « LIGEDAFEKB. ..

644. Si lon veut obtenir le développement de la portion de la nappe supérieure qui est comprise entre les élémens (DA, D'À”), (LB, L'B’), et qui est terminée au cylindre vertical DEGIL, il ne s'agira que de prolonger les droites d'a, lb’, jasqu’aux points r et £, où elles coupent la circonférence d'e'g'il...,et la portion ra f’h'k'b'tsr, du plan de la figure, sera le dév eloppement cherché.

GG£. On voit, par ce qui vient d’être dit, que lorsqu'on développe la surface donnée, larête de rebroussement (ABC , A'B'C”) se plie sur le cercle a’ fH'K..., suivant une infinité de circonvolutions de ce cercle ; que les élémens de cette surface deviennent des tangentes au même cercle; que le développement demandé s'applique sur le plan d'/'£ tout entier, à la réserve de l’aire enfermée par la circonférénce a bu, et que chaque nappe couvre ce plan un nombre infini de fois.

646. Une courbe quelconque étant donnée sur lhélicoïde, il sera facile de rapporter cette courbe sur le développement obtenu, et de mener une tangente à sa transformée : nous ne nous arrêterons pas aux constructions qu’il faudrait faire pour cela.

647. Il suit dé ce qui précède Hp si l’on donne à un morceau de carton, inextensible et éminemment flexible, la forme d'e'g' à l'b'k"h'f'a'd", et qu’on plie l'arc 4’ X'b' de ce carton sur unarc d’hélice (AHB, A'H'B"),le carton adérk avec la surface développabledonnée.

Nous déduirons de là un moyen très commode d’exécuter un modèle d’héliçoïde : on construira une hélice sur un cylindre, et l’on déterminera le développement #fydte , a«grrÿeta, de deux portions correspondantes des deux nappes de la surface développable dont cette hélice serait l’arête de rebroussement ; on découpera, dans un morceau de carton trèsmince et très flexible, deux pièces, lune NA à l'aire «6d'eta , autre égale à Paire apr ele; on disposera ces pièces comme elles le sont dans la figure, et en les passant autour du cylindré, de manière qu’elles se courbent dans des sens opposés, et que l'arc «êr, qui leur est

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commun, coïncide avec l’hélice tracée sur le cylindre, chacune d'elles formera la portion d’une nappe de l’hélicoide correspondante à celle que formera l’autre pièce sur Pautre nappe. D’où l’on voit que l’ensemble des deux pièces de carton dont il s’agit donnera le modèle exact d’un hélicoïde et de son arête de rebroussement.

648. En général, en passant un morceau de carton a6ydx\e0a terminé à deux arcs de cercles concentriques as, 6yddr\ , autour d’un cylindre droit quelconque, en tendant l'arc «fe sur ce cylindre, et en laissant d’ailleurs le carton (supposé flexible et inextensible) parfaitement libre, il formera une portion d’hélicoïde , mais dont larête de rebroussement sera d'ordinaire sur un cylindre plus petit que le cylindre employé.

En effet , les tensions exercées aux extrémités de l’arc intérieur «te devront le faire coïncider avec la plus courte ligne qu’on puisse mener entre ces extrémités sur la surface du cylindre ; or, l’hélice est cette plus courte ligne, car elle a pour transformée une ligne droite sur le développement du même cylindre : donc l’arc «9e se pliera sur le cylindre suivant une hélice. D’un autre côté, deux charnières consécutives quelconques , suivant lesquelles le carton aura subi sa flexion , feront le même angle entre elles, et seront situées de la même manière par rapport à pee du cylindre, parce que tous les points de l’hélice «Be étant placés pareïllement, par rapport au cylindre et par rapport à la surface du carton , il ne pourra rien arriver de particulier à aucun d’eux, Donc les élémens de larête de rebroussement, sur lesquels toutes ces charnières se couperont deux à deux, feront le même angle avec l’axe du cylindre, et en seront à des distances égales ; donc cette arête de rebroussement sera une hélice : donc, etc.

Maiñntenant remarquons que l’on pourra incliner plus où moins l’are «0e1sur le cylindre

donné, et nous verrons qu’à chaque inclinaison il correspond, un hélicoïde particulier.

Pour chaque hélicoiïde, l’angle des caractéristiques, et de l'arc «8e, sera constant; mais il variera d’un hélicoïde à un autre: or, si cet angle est nul, elles seront toutes tangentes à l’hélice aës, et cette hélice sera par CHÉedESpUS l’arête de Lee es At RS Il est dr que pour toutes les autres valeurs du même angle, V'arête de rebroussement sera située dans Vintérieur du cylindre donné ; que st cet angle est droit, le pas de l’hélice «fe sera nul, qu’elle se réduira à un cercle , et que l'hélicoïde sera un cône droit. Nous ne parlerons pas des lignes pleines.et eyes de l’épure; on voit assez comment

on doit la dessiner.

649. ProsLÈME GÉNÉRAL. Une surface Hat dire quelconque étant donnée , cônstruire son développement. her

On ne peut indiquer de méthode générale pour résoudre ce problème qu'é'éempruntant le secours de l'Analyse. D’après cela, nous nous contenterons de faire-observer que dans .chaque cas particulier où l’on connaît, sur une surface donnée ; uñé courbe. dont la transformée est connue sur le développement de cette surface, il est toujours possible d’obte. nir ce développement par des opérations graphiques.

En effet, on pourra mener sur la surface donnée autant délémens qu on en voudra , et Von pourra déterminer leurs angles avec la courbe dont la transformée est connue, Et comme ces angles ne varient pas lorsque on développe la surface, il ne s’agira que de rapporter, sur la transformée de cette courbe, le point où elle est rencontrée par chaque élé-

's LE

Fig. 1

ment; et au moyen de l'angle de cet élément avec la transformée , on construira a droite suivant laquelle il s'applique sur le développement. La même opération étant faite pour un nombre suflisant d’élémens , on aura ce développement.

AAA AAA AA AAA RAIN PARA RAA RAA AA AAA AAA AAA RAR AN AAA AAA ANA AAA ANS AAA AAA ANT AN PAPAS