CHAPITRE ET

Sur les Spheres.

650. P ROBLÈME 1*. Déterminer la sphère circonscrite à un tétraèdre donné.

Pour résoudre ce problème, nous remarquerons que chaque arête du tétraèdre donné est une corde de la sphère cherchée. Or, c’est une propriété générale des sphères, que tout plan perpendiculaire sur le milieu d’une de leurs cordes passe par leur centre. Il s'ensuit donc que si lon mène, par le milieu des trois arêtes du tétraèdre, trois plans perpendiculaires chacun à une de ces arêtes, ils se couperont suivant un point qui sera le centre de la sphère demandée.

651. D’après cela, il sera facile d'obtenir cette sphère. Prenons pour plan horizontal de projection un plan parallèle à l’une des faces du tétraèdre donné, et choisissons le plan vertical de manière qu’il soit parallèle à l'une des arêtes de ce solide. Cela posé, soient (A, A”), (B, B’), (C, C’yet (D, D, les quatre sommets du tétraèdre, et supposons que (A, A’) et (B, B') étant ceux par lesquels passe l’arête (AB,°A'B), parallele au plan vertical, les trois derniers (B, B'), (C, €) et (D, D”), soient ceux qui sont à la mème distance du plan horizontal.

Nous menerons deux plans verticaux ab, cd, respectivement perpendiculaires sur les milieux des deux côtés horizontaux (BC, B'C”), (BD, BD”). Ces deux plans se couperont suivant une verticale (E, EE”), qui contiendra le centre de la sphère cherchée. Nous menerons ensuite un plan f E’, perpendiculaire au côté (AB, A’B) parallèle au plan vertical, et ce nt contiendra le même centre; donc il coupera la droite (E, EE”) suivant un Lg (E, E”), qui ne sera autre chose que ce centre.

En joignant le point (E, E’) avec un quelconque des sommets (D, D’) du tétraedre.donné, on. obtiendra le rayon (ED , ED’) de la sphère cher-