CHAP. II. SUR LES SPHÈRES

chée , en sorte que si l’on décrit des points E et E’ comme centres, avec la véritable grandeur de ce rayon, les cercles GHI, KLM, ces cercles donneront la représentation de cette sphère.

652. PROBLÈME 2. Déterminer la sphère inscrite dans un tétraèdre donné.

Conceyons par une arête de ce tétraèdre un plan qui divise en deux parties égales l'angle des deux faces qui se coupent suivant cette arête ; ce plan sera le lieu de tous les points de l’espace également distans de ces deux faces : donc il contiendra le centre de la sphère demandée. Il suit de là que si nous menons, par trois arêtes du tétraèdre, trois plans qui divisent en deux parties égales les angles correspondans à ces arêtes, ces plans se couperont suivant le centre de cette sphère ; d’où l’on voit qu'il sera facile de la déterminer.

653. Pour opérer avec facilité, prenons pour plan horizontal de projection une face ABC du tétraèdre, et choisissons pour plan vertical un plan perpendiculaire à l’arète AB.

Ayant représenté les quatre sommets (A, A”), (B, A”), (C, C”), (D, D", nous menerons la droite A'E, de manière que l’on ait D'A\'E — C'AÂ'E, et il est clair que le plan Â'E, perpendiculaire au plan vertical de projection , sera l’un des trois plans auxiliaires qui contiennent le centre cherché.

Il s'agira d'obtenir la droite intersection des deux autres.

Faisons passer par l’arête (BD, B'D’) le plan auxiliaire correspondant , et cherchons sa trace horizontale. Pour cela , rabattons le plan BD sur le plan horizontal; le point (D, D”) viendra s’abattre en un point d, et l'arête (BD, B'D”) en Bd. Prenons sur l’arête rabattue Bd un point c, et concevons par ce point un plan cg perpendiculaire à Bd. Si l’on relève Bd en (BD, B'D'), et que l’on imagine que le plan cg suive l’arête Bd dans son mouvement, ce plan viendra prendre une position (ab, cg), telle que la trace horizontale ab soit une perpendiculaire à Bd menée par le point g. Cela posé, rabattons le plan (ab, cg) sur le plan horizontal ; le point c viendra s’abattre en e; les points a et D, où la droite ab perce les faces (DBC, D'B'C') et AD’, ne changeront pas dans le mouvement ; ainsi, les intersections du plan dont il s’agit et de ces faces se rabattront suivant les droites ea, eb. Or, si lon mène par le point e la droite ef, qui divise l'angle aeb en deux parties égales, cette droite sera dans le plan auxiliaire mené par l'arête (BD, BD”) : mais cette droite, relevée dans l’espace,

Fig. 7.

Fig. 2.

Fig 2.

percera le plan horizontal en f; donc la droite Bf sera la trace du plan auxiliaire en question.

On trouvera de même la trace Ai du plan auxiliaire mené par 'arête (AD, A'D'). Les traces Bi, Ai, se couperont en un point é; qui donnera l'intersection des deux plans auxiliaires correspondans : et comme cette intersection (Di, D’) perce en (0, o') le plan auxiliaire Â’E, on en conclura que le centre de la sphère cherchée est en (0,0').

Connaissant le centre (0, 0°), la représentation de la sphère demandée ne donnera lieu à aucune difficulté.

654. ProszËmEe 3. Étant données trois sphères , on demande de construire, 1°. une sphère , d’un rayon connu, intérieurement tangente aux trois sphères données ; 2°. la plus petile sphère qui puisse toucher intérieurement ces trois sphères.

Occupons-nous d’abord de la première question, et supposons que la sphère demandée soit connue. IL est clair que le centre de cette sphère sera distant des centres des sphères données de longueurs respectivement égales à la somme du rayon de chacune d’elles et du rayon de la sphère demandée. Donc si lon construit trois sphères auxiliaires qui aient pour rayons ceux des sphères données, augmentés du rayon de la sphère demandée, le centre de cette dernière sera lintersection des trois sphères auxiliaires.

655. D’après cela, prenons pour plan horizontal de projection le plan des centres des trois sphères données; choisissons pour plan vertical un plan perpendiculaire à la droite menée par deux des centres de ces sphères, et soient (A, A”), (B, B’), (G, B”),les centres des mêmes sphères, et Aa, Bb, Cc, leurs rayons.

On augmentera ces rayons des quantités ad, be, cf, égales au rayon connu de la sphère demandée, et l’on décrira trois nouvelles sphères avec ces nouveaux rayons. Elles se: couperont suivant trois cercles verticaux gh, ik, (mm, d'n'm'n") , dont le dernier sera parallèle au plan vertical, et qui auront pour intersections les deux points (7, n°), (u,n"). En décrivant donc de ces deux points comme centres, avec le rayon n0—=ad, les deux sphères (4pg;rst), (pq, uvx),ees deux sphères résoudront la première question du prablse proposé.

656. Passons à la seconde question, et ayant pris pour plande la figure celui des centres des trois sphères données, soient À, B, G, ces centres , et AD , BE, CF, les rayons correspondans.

Nous remarquerons que si des points À et B, comme centres, on décrit deux arcs de cerclesayec desrayons AO, BO, égaux aux rayons AD, BE ,augmentés d’une même quantité arbitraire PO=Q0, les arcs décrits se couperont en deux points O etR, également distans des cercles À et B. En changeant donc la quantité arbitraire PO, pour avoir de nouveaux arcs, on obtiendra de nouveaux points , tels que O et R, et il est clair que’la suite de ces points formera une branche HGL d’hyperbole, partout également éloignée des cercles A et B (861). Or, si l'on imagineque cette hyperbole tourne autour de la droite AB, prise pour axe de évolution , elle décrira une nappe d’hyperholoïde de révo-