CHAP. II. SUR LES SPHÈRES
lution à deux nappes (209), qui sera le lieu des centres de toutes les sphères à la fois tangentes aux sphères À et B.
Si l’on décrit de même , au moyen des centres À et C, une deuxième hyperbole IGM , elle déterminera une deuxième surface de révolution, qui sera le lieu des centres de toutes . les sphères à la fois tangentes aux sphères À et C. Mais ilest clair que cette surface de révolution coupera celle dont la génératrice est l’hyperbole HGL suivant une ligne courbe, qui sera le lieu des centres de toutes les sphères tangentes aux sphères données. EL comme le point G, intersection des génératrices HGL, IGM , appartient à cette ligne courbe, et se trouve, de tous les points de cette ligne , le plus rapproché des centres A , B, C, il s’ensuit que ce point est le centre de la sphère cherchée DEF.
On voit que cette solution donne également le cercle tangent intérieurement à trois autres, et la plus petite sphère tangente intérieurement à trois sphères.
657. Nous remarquerons en passant que les centres des sphères tangentes intérieure-
ment aux trois sphères A , B, C, doivent se trouver à la fois sur les trois surfaces de révolution dont les droites AB, AC , RC, sont les axes, et dont les branches d’hyperbole HGL, 1GM , KGN, sont les génératrices ; d’où il suit que ces trois surfaces, au lieu de se couper suivant des points, comme des surfaces quelconques, se coupent suivant une courbe. On peut en effet voir, fig. 3, pl. 52, que les points (n,»°),(n,n") sont à la fois sur les trois cercles gh, ik, 1m, qui appartiennent à ces surfaces, et qu’en faisant varier le paramètre ad=be=ef, on obtiendra de nouveaux points, tels que (7, n°) ,(#, n°), qui seront ‘encore sur les trois nappes d’hyperboloïdes à deux nappes dont il s’agit (655).
658. Si, au lieu de demander des sphères tangentes intérieurement aux sphères données, on demandait celles qui les touchent extérieurement , les solutions précédentes ne subiraient qu’une légère modification, d’après laquelle chaque branche HGL d’hyperbole se trouverait remplacée par l'autre branche de la même hyperbole.
659. Proszéme {. Quatre sphères étant données , trouver une cinquième sphère qui les touche toutes les quatre.
À deux des sphères données, il correspondra un hyperboloïde à deux nappes, lieu des centres de toutes les sphères tangentes à ces deux sphères (voyez le problème précédent); et cet hyperboloïde, qu’il sera facile de construire, contiendra le centre de la sphère demandée. D’après cela, il correspondra aux quatre sphères données six hyperholoïdes, qui se couperont suivant deux points, dont Pun sera le centre d’une sphère tangente intérieutement aux sphères données , et dont l’autre sera le centre de la sphère tangente extérieurement aux mêmes sphères. Or , les centres des sphères demandées étant trouvés, ces sphères s’ensuivront.
Pour indiquer comment on obtiendra ces centres, désignons par À, B,C, D, ceux dés sphères données, et nommons ces sphères elles-mêmes, par les mêmes Dites A,B,C, D. Il correspondra à la sphère À , et à chacune des trois autres, trois hyperboloïdes dont les axes se couperont en À. On cherchera, par le procédé exposé n° 489, l'intersection de lun de ces hyperholoïdes avec les deux autres, et l’on obtiendra deux courbes, qui se croiseront sur le premier hyperboloïde suivant les centres cherchés,
Si les trois hyperboloïdes choisis ne correspondaient pas à la même sphère A, au centre
Fig. 2.
LA
de laquelle se coupent leurs axes,on ne pourrait pas employer le procédé fort simple du n° 480. Et si l’on prenait arbitrairement les trois hyperboloïdes, parmi les six que donnent les quatre sphères, il se pourrait qu’ils ne correspondissent qu’à trois de ces sphères : dans ce cas, ils auraient des courbes pour intersections et non pas des points (657), et ils ne détermineraient pas les centres cherchés.
