CHAP. LI. PROBLÈMES DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

1°. Étant donnés trois angles plans , trouver les trois angles dièdres. 2°. Étant donnés deux angles plans et l'angle dièdre compris, trouver l'autre angle plan et les deux autres angles dièdres.

5°. Étant donnés deux angles plans et l’angle dièdre adjacent à l’un d’eux, trouver l’autre angle plan et les deux autres angles dièdres.

4°. Étant donnés un angle plan et deux angles dièdres, dont l’un soit adjacent, trouver les deux autres angles plans et l’autre angle dièdre.

5°. Étant donnés un angle plan et les deux angles dièdres adjacens, trouver les deux autres angles plans et l'angle dièdre compris.

6°. Enfin, étant donnés les trois angles dièdres , trouver les trois angles plans.

663. Mais nous allons montrer que par la considération de l’angle solide trièdre supplémentaire, ces six questions se réduisent à trois.

MABC étant un angle solide trièdre quelconque , élevons , par le sommet M, les droites Ma, Mb, Mc, respectivement perpendiculaires aux faces MAB, MAC , MBC.

On sait que deux droites mn, mp, perpendiculaires à deux plans MN , MP, font entre elles un angle 7mp supplément de NMP ;

Donc l'angle solide trièdre Mabc aura ses angles plans supplémentaires des angles dièdres de l'angle solide trièdre MABC.

Or, la droite Ma est perpendiculaire au plan AMB, et la droite Mb perpendiculaire au plan AMC; donc le plan aMb est perpendiculaire à la droite MA, intersection de AMB et de AMC.Et comme les plans aMc,0Mc, sont pareillement perpendiculaires aux arêtes respectives MB, MC, on en conclura que l’angle solide MABC a ses angles plans supplémentaires des angles dièdres de l’angle solide Mabc.

D'où l’on voit que les trois angles plans d'un de ces angles solides sont les supplémens des trois rie dièdres de l'autre. C'est ce qui fait donner à l’angle solide Mabc le nom d'angle solide supplémentaire de MABC : ce dernier est pareillement l'angle solide supplémentaire du premier (*).

664. Maintenant remarquons que les 1, 2° et 3° questions , précédem-

(*) Au lieu de cette dénomination, on emploie souvent celle de pyramide supplémentaire , parce qu’on appelle pyramides les angles solides tels que MABC. Comme on ne consi-

dère pas ici de quatrième face qui puisse servir de base à ces solides, nous avons préféré le nom d’angle solide à celui de pyramide,

ment posées (662), sont, par rapport aux angles plans, ce que les 6°, 5*et4', sont par rapport aux angles dièdres. Nous en conclurons que si l’on sait résoudre les trois premières, on saura résoudre les trois dernières au moyen de l'angle solide supplémentaire ; car ce qui est angle plan dans l'angle solide donné, deviendra angle dièdre dans l’angle solide supplémentaire , et réciproquement (663).

Il résults de là que pour résoudre les 4°, 5° et 6° questions, 1l faudra prendre les supplémens des trois angles donnés ; considérer les supplémens correspondans aux angles plans donnés, comme des angles dièdres, et ceux correspondans aux angles ue comme des angles plans ; appliquer les solutions des questions 3°, 2° et 1°, et construire les supplémens des angles trouvés : ces supplémens seront les angles demandés.

Il ne s agit donc plus que de résoudre graphiquement trois problèmes ÿ pour savoir construire lessolutions de toutes les questions de Trigonométrie sphérique. | |

665. PROBLÈME 1°". Etant donnés les trois angles plans d'un angle solide trièdre, trouver ses trois angles dièdres (*).

Soient AOB , BOC, COD, les trois angles plans donnés. Imaginons que Je premier AOB, et le dernier COD , prennent au-dessus du plan BOC un mouvement de rotation , autour des droites respectives BO , CO, pour venir former l'angle solide en question. Il est clair que les deux droites mobiles AO , DO, décriront dans ce mouvement deux demi-surfaces coniques droites qui auront un élément commun, et que c’est quand les droites AO , DO, coincideront entre elles, suivant cet élément, que l'angle solide sera formé. Or, si l’on prend OF —OE, les points F et E seront tels qu'ils se réunironi dans la formation de l’angle solide ; mais le point F décrira un arc de cercle (FT, FKT), dont le plan sera perpendiculaire à la charnière OB ; le point E décrira un autre arc de cercle (EI, ELI”), dont le plan EI sera perpendiculaire à OC : donc ces points se réuniront suivant le point de l’espace projeté horizontalement en I et verticalement en l’et [”. Donc l'angle solide sera formé, 1°. par le plan BOC; 2° par le plan mené par BO et par le point (L, 1’); 3°. enfin, par le plan mené par CO et par le point (, l”).

Maintenant il ne s'agira plus que de mener les droites GI’, HF"; elles

(*) On sait que pour que l'angle demandé soit possible, il faut que les trois angles plans soient ensemble moindres que quatre angles droits, et quele plus grand soit plus petitque la somme des deux autres.

CITAP. IIT. PROBLÈMES DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 259

détermineront deux angles IGF', IHF”, qui seront les deux angles demandés Pr. 55. correspondans aux arêtes BO et CO. En effet , le plan GI est perpendiculaire Fe: *

à l’arète BO ; donc c’est dans ce plan que se mesure l'angle des deux faces qui passent par BO : mais ce plan coupe la face BOC suivant G[/, et la face AOB relevée suivant Gl'; donc cet angle égale IGT’. De même, le plan HI étant perpendiculaire à OC coupe les faces de l'angle solide qui ont OC pour intersection.suivant deux droites HI, HE", qui font entre elles l'angle IH!” de ces faces.

666. Il ne restera donc plus à déterminer que l’angle des deux faces AOB, COD.

Pour l'obtenir, on prendra AO = OD , et l'on remarquera qu'après la - formation de l'angle solide , les points A c D sont réunis, et que les droites AB et DC, respectivement LYS TEA à AO et DO, doivent mesurer l'angle cherché. Or , si l’on conçoit par ces deux droites un plan, il coupera la face BOC suivant BC, et l'angle trièdre suivant un triangle dont AB , BC, CD, seront les côtés ; si donc on décrit, des points Bet C comme centres, les arcs AK, DK, on formera ce triangle , et l'angle CKB sera le troisième angle demandé. |

667. PROBLÈME 2. Étant donnés deux angles plans d'un angle solide trièdre et l'angle dièdre compris , on demande l'autre angle plan et les deux autres angles diedres.

Soient AOB , BOC, les deux angles plans donnés, et BE étant une droite perpendiculaire à OB, soit EBE/ un angle égal à l'angle dièdre donné.

+ On imaginera que le plan AOB tourne autour de BO , jusqu'à ce qu'il fasse avec BOC l'angle donné E’BE, et il est clair qu'alors les trois arêtes BO, CO, AO, formeront l'angle solide. Dans le mouvement, le point A, où la droite BE prolongée coupe AO, décrira un arc de cercle (AE, ADE), ét viendra s'arrêter en (E, E’). Si donc on conçoit une droite, menée par (E , E’) et par le point O , l'angle de cette droite et de OC sera le troisième angle plan demandé. D’après cela , il sera aisé de le rabattre et d'avoir sa véritable grandeur. En effet, le point (E, E’) décrira un arc de cercle dont le plan EG sera pérpétidieulaire : à la charnière OC : or, si l’on rabat ce plan autour de sa trace EG, le point (E, E/) viendra en E”, en sorte qu’en décrivant, du point C comme centre, l'arc E'FG, on aura l'arc (EG, E'FG) décrit par le point (E, E") en se rabattant : mais il est clair que le point G sera le rabattement de(E, E"); donc l'angle COG sera l'angle plan demandé.

Fig. 4.

PA SR Connaissant les trois angles plans AOB , BOC, COG., les deux autres an- Hg4s gles inconnus s’obtiendront par la solution du problème précédent.

668. Exécution de l'épure. Pour que la fig. 5 ne soit pas semblable à la fig. 3, nous avons tracé la ligne OG, qui forme l'angle demandé COG , au moyen de lignes mixtes.

669. PROBLÈME 3. Etant donnés deux angles plans d'un angle solide trièdre , et l'angle ae adjacent à l'un d'eux , trouver l'autre angle plan et les Ho autres angles dièdres.

Soit AOB, BOC, les deux angles plans donnés , et la droite AB ayant été menée perpendiculairement à AO, soit B'AB l'angle dièdre donné, supposé adjacent à AOB.

Nous concevrons un plan par les droites AO, (AB, AB’), et ce sera évidemment celui du troisième angle plan demandé. Nous imaginerons ensuite que l'angle BOC tourne autour de l’arête OB ; la droite OC engendr era , dans le mouvement de cet angle, une surface conique droite qui coupera en général le plan mené par AO et par (AB, AB”) suivant deux droites : or, il est évident que chacun des angles de ces droites et de la ligne AO sera l'angle plan cherché ; d’où l’on voit que le problème proposé présente deux solutions.

Pour les obtenir , il s'agira donc de déterminer les intersections du plan mené par AO, et par (AB, AB), avec le cône décrit par la droite CO , et de construire les angles que formeront ces intersections avec la ligne AO. Or, si l’on coupe ces deux surfaces par le plan CD, mené perpendiculairement à BO par le point B, où se coupent AB et BO , on obtiendra pour sections, premièrement, avec le cône, le cercle (CD, CFG) décrit par le point C autour du point B ; secondement, avec le plan, la droite menée par le point D et par le point qui se projette horizontalement en B et verticalement en Bet B”, laquelle droite se rabat autour de CD en DB”. Ces sections (CD , DB”), (Cp, DFG), se couperont en deux points F et G ; et les angles des droites menées par ces points et par le point O, avec sr droite AO, seront les angles cherchés. Si donc on faitattention que les points F et G sont à une distance OC du point O, et qu'ils sont éloignés du point D des distances DF et DG, on vérra qu’en décrivant du point D comme centre, avec les rayons DF et DG, les arcs FMI, GNK, puis du point O comme centre, avec le rayon OC, l’arc CLKI, ce dernier coupera Les deux premiers en deux points Let K, qui donneront les angles plans cherchés DOI, DOK.