CHAPITRE IV

Construction d'un point donné de plusieurs manières dans l'espace.

672. ProszÈème 1*. Trois plans A,B,C, étant donnés, et connaissant les distances m, n, P d'un point à, ces trois plans , construire la position de ce point.

ILest clair que si l’on mène deux plans & et a!, parallèles au plan À, et distans de ce plan de la longueur "», le point demandé sera sur l’un de ces plans. Si de même on mène deux plans D et b’, parallèles au plan B, et distans deice plan de la longueur 7, le même point demandé sera aussi sur l’un des plans à et D’. Or, les plans a et a', b et b', se couperont suivant quatre droites, faciles à déterminer ; qui contiendront évidemment le point

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cherché : mais ce point sera aussi sur deux plans c et €’, menés parallèlement au plan C, à des distances de ce plan égales à la longueur p; donc il sera l’un des huit points suivant lesquels les. deux plans c et c' coupéront les quatre droites intersections des plans a et a/ d’une à b et b’ d'autre part. 4 Ù

Aïnsi, le problème proposé présente huit solutions. Comme il sera facile de les obtenir, nous ne nous arréterons pas à leur construction. |

673. PROBLÈME 2. Trois points À, B, C, étant donnés, et connaissant

leurs distances m, n, p, à un quatrième point, on demande ce dernier point.

Il est évident que le point cherché sera sur trois sphères qui auront pour centres les points A, B, C, et pour rayons les distances », n, p, correspondantes à ces points ; donc il sera leur intersection commune. Or, deux de ces sphères se couperont suivant un cercle, et ce cercle aura deux points communs avec la troisième sphère; donc le problème proposé aura en général deux solutions. D’après ce qu’on a vu n° 655, il sera aisé de les construire.

Nous ferons observer que si la somme de deux quelconques des distances m, n, p, n'excédait pas l'éloignement des centres des sphères correspondantes, ces sphères ne se couperaient pas, et la question proposée se trouverait impossible.

674. PROBLÈME 5. Étant données trois lignes droites À, B, C, et les distances m, n, p, d'un point à ces lignes, on demande de construire la position de ce point.

Concevons qu’on mène dans l’espace une droite parallèle à la droite À, et distante de cette dernière d’une longueur m; puis imaginons qu’on fasse tourner la droite menée, autour de la droite À prise pour axe de révolution : il est clair que la droite mobile engendrera une surface cylindrique droite qui aura tous ses points à la distance mn de la droite A. Il y aura pareillement deux autres surfaces cylindriques droites qui, ayant les droites B et C'pour axes, contiendront tous les points de l’espace éloignés de ces axes des Ribuous respectives » et p; donc le point demandé sera à inter” section de trois surfaces cylindriques droites.

675. Soit (EF, E’F”) une des none droites données , et cH la aistat du point cherché à cette droite; il s'agira d’abord de représenter la surface cylindrique droite correspondante à (EF, EF”). Pour cela, nous remarque-