CH. IV. CONSTRUCTION D'UN POINT DONNÉ DE PLUSIEURS

sons que la trace horizontale de cette surface est une ellipse dont le centre est le point E, où la droite (EF, EF”) perce le plan horizontal, et que le petit axe de cette ellipse est une droite IK perpendiculaire à EF et double de GH. Pour avoir les extrémités du grand axe, nous construirons les élémens de la surface cylindrique situés dans le plan EF : ces élémens seront deux droites parallèles à (EF ; EF”), et distans de cette droite de la longueur GH. Si donc on rabat le plan EF sur le plan horizontal, autour de sa trace EF, la droite (EF, EF’) se rabatira en EP , et si l’on mène NO perpendiculaire à EP , et qu'on prenne QO—QN=—GI, puis qu'on mène les droites OM, NL, parallèles à EP, ces droites seront évidemment les rabattemens des élémens en question, et les points L et M, où ces élémens percent le plan horizontal, détermineront le grand axe cherché LM.

Connaissant les quatre points 1, M, K, L, on décrira l’ellipse IMKL : elle sera la trace du cylindre droit correspondant à (EF, E’F'), et la représentation de ce cylindre sera facile à exécuter.

676. Lorsqu'on aura représenté les trois cylindres correspondans aux trois droites données, on cherchera les intersections de l’un d’entre eux avec les deux autres; ces intersections se rencontreront suivant certains points, et chacun de ces points sera une solution du problème proposé.

Au lieu d'appliquer ces constructions à un exemple, nous allons généraliser la question et chercher l’intersection de trois cylindres quelconques. Ce nouveau problème se résoudra comme celui qui nous occupe, et le choix des données favorables à l’épure sera un peu plus facile que dans ce dernier.

G7. Proszéme . Un point étant situé sur trois surfaces cylindriques données, on demande les intersections de ces surfaces et la position dece point.

Prenons pour traces horizontales des trois surfaces données les ellipses DEF, GHK, LMN, et soient (Pd, P'D"), (Pa, P'a’),(Pb, P'b'), les directions des élémens de ces surfaces : elles seront déterminées. Pour les désigner facilement, nommons A celle dont la ivace est DEF, et dont les élémens sont parallèles à (P4, P'D"); nommons B celle dont la trace est GHK, et dont lesélémens sont parallèles à (Pa, P'a/); enfin, nommonsC la troisième, dont la trace est LMN , et dont les élémens sont parallèles à (P&, P'b").

Ayant mené par un point quelconque (P, P’) de l’espace trois droites (P4, PD"),(Pa, Pa}, (Pb, P'£"), respectivement parallèles aux élémens des cylindres donnés, on construira les pointsd, a,b, où ces droites percent le plan horizontal, et l’on aura les directions da, db, ab, des traces des plans auxiliaires par lesquels il convient de couper ces cylindres (455) pour obteñir leurs intersections. |

678. Ces directions étant trouvées, on menera les droites OQ et O'Q',RS et R'S’, T'W et T'W, et l'on saura, premièrement, que le cylindre: A pénètre le cylindre B suivant

Cr

une courbe composée de deux branches fermées ; secondement, que le cylindre A coupele cylindre C suivant une branche unique d’arrachement; troisièmement enfin, que les cylindres Bet C se coupent aussi suivant une branche unique d’arrachement (464).

On construira ces intersections par les procédés que nous avons exposés (455—460), et l’on obtiendra, savoir : pour intersection de À et B, les lignes (TUVX, T'U'V'X') et GYZI, i' Y'Z'T'); pour intersection de A et C, la ligne (ielfohklmi, d'eTf'g'h'El'm'i); et enfin , pour intersection de B et C, la ligne (linopgrstl, l'a'n'o'p'q'r's'#l'). à

Connaissant ces trois intersections, les points (2, z'), (1, 1"), où elles se coupent toutes trois, seront déterminés. IL est aisé de voir que dans le cas pris pour exemple Île problème proposé aura deux solutions.

G79. Mais comme la complication de la figure peut empêcher de distinguer bien clairement les points où ces courbes se coupent , il sera bon de savoir vérifier si un point donné (:, i’)est en effet sur les trois cylindres donnés. Pour cela , on menera par ce point les trois élémens (Ei, E’7’),(Gi,G'2), (Mz, M'?’) ,et l’on remarquera qu’en supposant que le point (i,2’)soità la fois sur les trois surfaces À ,B, C, les trois plans menés par ces élémens, pris deux à deux, seront des plans auxiliaires : d’où l’on voit que les droites EG, EM, GM, menées par les points E,G, M,où ces mêmes élémens rencontrent les bases A,B,C, devront être (comme elles le sont véritablement) parallèles à da, db et ab. Le même moyen le vérification étant appliqué au point (I, 1”), on trouvera que les élémens (FI, F1), (HI, HP), (NI, N'1), percent le plan horizontal en trois points N,H,F, des cllipées A,B, C, et que les droites FH, FN, HN, sont parallèles à da, db, ab. Nous conclurons de là que les points (4, z’),({, 1’), sont bien les points demandés.

680. Exécution de l’épure. Quand on aura obtenu l’intersection de deux des trois cylindres donnés , on déterminera les parties de cette intersection qui seraient vues, si ces deux cylindres existaient seuls dans l’espace. Et comme l'introduction du troisième cylindre dans le système ne peut que cacher des parties vues, mais non pas rendre visibles des parties cachées, on connaîtra déjà beaucoup de ces dernières parties, et il ne s’agira plas que de distinguer parmi les arcs vus, de l'intersection de deux cylindres, les ui va de ces arcs cachés par le troisième.

La recherche de ces parties demandera de la sagacité. Toutefois, en faisant attention que pour quele troisième cylindre cache une partie de l'intersection des deux autres, il faut, ou que ce troisième cylindre soit au-dessus ou en avant de cette partie, ou qu’il la contienne , on sortira aisément des difficultés de cette recherche. En effet, le troisième cylindre coupant le premier et le second suivant des courbes trouvées, il sera toujours facile de savoir, par le moyen de ces courbes, comment il sera situé par rapport à une partie de l'intersection des deux autres, en sorte que la question sera ramenée à des considérations fort simples. C’est ce que l'application va achever d’éclaircir. Commençons par la projection horizontale.

681. nop est l'arc vu de l'intersection des surfaces B et C: cet arc ne sera pas caché par la surface À; car étant projeté au dehors de la projection de cette surface, il ne peut ni être see en elle, ni situé au-dessous d’elle.

L’arc mie de l'intersection de A et C serait vu, en faisant abstraction de la susface B; mais il est clair que le cylindre A est au-dessous de cette surface à partir du contour wr,