CI. IV. CONSTRUCTION D'UN POINT DONNÉ DE PLUSIEURS

qu’il la pénètre suivant iYZI, et qu'il n’en sort que suivant la courbe TUVX, située au- PI. 54. delà de l'arc mie : donc cet arc tout entier est caché par la surface B, soit comme étant au-dessous d'elle, soit comme étant renfermé par elle.

Quant à l’are (TUV, T'U’V”), de l'intersection de A.et B, il est au-delà de la courbe Gielfghklmi , i'eVf'g'h'#l'm't), suivant laquelle se coupent À et C; donc il est au-dessus de la surface C; donc il ne peut être caché ‘par cette surface : donc enfin ilest vu, car il correspond à des élémens vus de A et B (465).

682. Pour la projection verticale, on remarquera qu’en faisant abstraction de la surface B, l'arc g’f 1’ de l'intersection de A et Cest vu: et comme les surfaces À et C n’entrent dans la surface B qu'à partir des arcs l'Z'Y”, #17", on en conclura que l'arc g'f l’'me cesse d’être vu qu’au point I.

Les mêmes considérations feront voir que les ares z A 1'Z'Y", le premier intersection de CetB , et le second intersection de À et B, ne cessent d’être vus ’ par linterposition des fées respectives À et C ,auxquelles ils nappartiennent pas, qu’à partir du point l’.

683. Pour rendre ce qui précède plus intelligible, nous ävons marquéen lignes mixtes les arcs des intersections demandées qui seraient vus, si l’on faisait abstraction de la surface à laquelle ils n’appartiennent pas. Ceux qui ne sont vus dans aucun cas sont d’ailleurs en lignes ponctuées, et ceux qui sont vus sur les trois surfaces sont en lignes pleines.

684. Avant de passer à un autre problème, nous ferons remarquer que lorsqu'un des points demandés n’est pas vu sur ,une projection , il est nécessairement l’intersection de trois arcs cachés. Ainsi, les trois points 1, z, z’, sont les intersections d’ares cachés, éI£ fle, ilZ, pour le premier; Yil, mie, nil, pour le second; et Y' 1, m'i'e', n'il', pour le troisième.

De même le point vu l’est l'intersection des arcs-vus V'Z'T', s' #1", 9/1’. Mais il est clair que ces arcs cessent d’être vus au point f', parce qu’ils appartiennent à des courbes qui entrent, à partir de ce point , dans la surface à laquelle elles n’appartiennent pas.

Nous ferons remarquer encore que si les ares TÜV, A£/, passent par les points I etc, ce ne peut être que par un hasard que les données présentent.

685, Proszème 5. Un ingénieur parcourant un pays de montagnes est muni d’une carte topographique sur laquelle sont exactement marquées les projections des différens points du terrain , et les cotes qui indiquent les hauteurs de ces points au-dessus d’une même surface de niveau. Il rencontreun point SATA qui n'est pas sur la carte. L'ingénieur ne porte avec lui d'autre instrwment qu’un graphomètre propre à mesurer les angles , et cet instrument est garni d’un fil-à-plomb.

On demande que; sans quitter la station , il construise sur la carte la position du point où ilest, et qu’il trouve la cote qui convient à ce point, c’est-à-dire sa hauteur au-dessus de la surface de niveau. |

« Parmi les points du terrain marqués d'hne manie précise sur la’ carte, et qui seront les plus voisins, l'ingénieur en distinguera trois, dont deux au moins ne soient pas à la même hauteur que lui; puis il observera les angles formés par la verticale et les rayons visuels dirigés à ces trois points, et d’après cette seule observation il pourra résoudre la question.

» En effet, nommons À , B, C, les trois points observés, dont il a les projections horizontales sur la carte, et dont il pourra construire les projections verticales au moyen de leurs cotes. Puisqu’il connaît l'angle formé par la verticale correspondante à la station, et par le rayon visuel dirigé au point A , il connait aussi l’angle formé par le même rayon et par la verticale élevée au point A : car en négligeant la courbure de la terre, ce qui est convenable, ces deux angles sont alternes internes, et par conséquent égaux. Si doncilconçoit une surface conique à base circulaire, dont le sommet soit au point À, dont l’axe soit vertical, et dont l’angle formé par l’axe et par la droite génératrice soit égal à l’angle observé, ce qui détermine complètement cette surface, elle passera par le rayon visuel dirigé au point À, et par conséquent par le point de la station : ainsi, il aura une première surface courbe déterminée, sur laquelle se trouvera le point demandé. En raisonnant pour les deux autres points B,C, comme pour le premier, le point demandé se trouvera encore sur deux autres surfaces coniques à bases circulaires, dont les axes seront verticaux, dont les sommets seront aux points B, C, et pour chacune desquelles angle formé par l’axe, et par la génératrice , sera égal à l’angle formé par la verticale et par le rayon visuel correspondant. Le point demandé sera donc en même temps sur trois surfaces coniques déterminées de forme et de position, et par conséquent dans leur intersection commune. Il ne s’agit donc plus que de construire; d’après les données de la question, les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces considérées deux à deux; les intersections de ces projections donneront les projections horizontale et verticale du point demandé ,et par conséquent la position de ce point sur la carte, et sa hauteur au-dessus ou au-dessous des points observés, ce qui déterminera sa cote.

» Cette solution doit en général produire huit points qui satisfont à la question ; mais il sera facile à l'observateur de distinguer parmi ces huit points, celui qui coïncide avecle point de la station. D’abord il pourra toujours s’assurer si le point de la station est au-dessus ou au-dessous du plan qui passe par les trois points observés. Supposons que ce plan soit au-dessus du plan des sommets des cônes ; il sera autorisé à négliger lesbranches desintersections des surfaces coniques qui existent au-dessous de ce plan; par là, le nombre des points possibles sera réduit à quatre. Ce serait la même chose, si le point de station était au contraire placé au-dessous du plan. Ensuite, parmi ces quatre points, s'ils existent tous , il reconnaîtra facilement celui dont la position, par rapport aux trois sommets, est la même que celle du point de la station ; par rapport aux points observés. »

Si l’on veut un exemple, on le trouvera dans la Géométrie descriptive de M. Monge, d’où ce problème est extrait.

686. Proszème 6. « Les circonstances étant les mêmes que dans la question précédente , avec cette seule différence que l'instrument n’est pas garni de fil-à-plomb., de manière que les angles avec la verticale ne puissent pas être mesurés , on demande encore que l'ingénieur, sans quitter la station, détermine sur la carte la position du point où ilest , etqu'il trouve la cote de ce point, c’est-à-dire son élévation au-dessus de la surface de niveau à laquelle tous les points de la carte sont rapportés.

» Après avoir choisi trois points du terrain qui soient marqués d’une manière précise sur la carte, et tels que le point de station ne soit pas avec eux dans le même plan, lingé-