CH. IV. CONSTRUCTION D'UN POINT DONNÉ DE PLUSIEURS

nieur mesurera les trois angles que forment entre eux les rayons visuels dirigés à ces trois points; et au moyen de cette seule observation, il sera en état de résoudre la question.

» Eneffet, si nous nommons À, B,C, les trois points observés, et si on les suppose joints par les trois droites AB, BC, CA, l'ingénieur aura les projections horizontales de ces droites tracées sur la carte; de plus, au moyen des cotes des trois points, ilaura les différences de hauteur des extrémités de ces droites; il pourra donc avoir la grandeur de chacune d’elles.

» Cela posé, si dans un plan quelconque, mené par AB, on conçoit un triangle rectangle BAD, construit sur AB comme base, et dont l’angle en À soit le complément de Pangle sous lequel le côté AB a été observé, Pangle en D sera égal à l’angle observé, et la circonférence de cercle décrite par les trois points A, B,D, jouira de la propriété que si d’un point quelconque W, de Parc ADB, on mène deux droites aux points A et B, l'angle en W qu’elles comprendront entre elles , sera égal à l’angle observé. Si donc on concoit que le plan du cercle tourne autour de AB comme charnière, l'arc ADB engendrera une surface de révolution dont tous les points jouiront de la même propriété; c’est-à-dire que si d’un point quelconque de la surface on mène deux droites aux points A et B, ces droites formeront entre elles un angle égal à l'angle observé. Or, il est évident que les points de cette surface de révolution sont les seuls qui jouissent de cette propriété; donc la surface passera par le point de la station. Si l’on raisonne de la même manière pour les deux autres droites BC, CA , on aura deux autres surfaces de révolution, sur chacune desquelles se trouvera le point de la station; ce point sera donc en même temps sur trois surfaces de révolution différentes, déterminées de forme et de position; il sera donc un point de leur intersection commune. »

687. Chacune de ces surfaces aura deux nappes distinctes, l’une engendrée par Parc ADB, capable d’un des angles observés , et autre engendrée par l'arc AwB, capable du supplément'de cet angle. Or, généralement, chaque nappe d’une de ces surfaces de révolution peut être coupée par une nappe. de lune des deux autres surfaces suivant deux branches de courbe ; donc la ligne d’intersection de deux de ces surfaces est en général composée de huit branches. Mais une de ces branches peut couper une nappe de la troisième surface en quatre points; donc les deux nappes de cette dernière surface peuvent rencontrer les huit branches de l’intersection en soixante-quatre points.

Tous ces points ne satisfont pas à la question proposée : en effet, l'arc AwB n'étant pas capable d’un des angles donnés, mais bien du supplément de cet angle, la nappe de surface qu'ilengendre, et que nous appellerons nappe supplémentaire , ne peut contenir le point demandé. D’après cela, chacune des surfaces données n’a qu’une nappe qui puisse conduire à la solution cherchée, ce qui réduit le nombre des branches de courbe, qui peuvent contenir le point à construire, à deux; et le nombre des solutions du problème, à huit.

De ces huit solutions, quatre seront d’un côté du plan des trois points donnés, et les quatre autres du côté opposé, en sorte que l’observateur , qui saura toujours de quel côté de ce plan il se trouve placé, n’aura véritablement que quatre points d’intersection à construire. Et parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement celui qui sera situé, par rapport aux points À, B, C, de la même manière que celui de la station, par rapport aux points du terrain qu’il a observés.

PLIb5

688. Pour appliquer ce qui précède, prenons pour plan horizontal le plan des:trois points donnés, et pour plan vertical un plan perpendiculaire à une droite menée par deux de ces points.

Soient donc (A, a), (B, b), (G, a), ces trois points, et ADB, AEC, BFC, les trois arcs horizontaux capables des angles observés. Nous concevrons que ces arcs tournent respectivement autour des cordes AB, AC, CB, qui les soutendent, et ils engendreront les surfaces de révolution ADBG, AECH, BFCI, dont il s’agit de construire les poiits. d’intersection.

Cherchons la ligne suivant laquelle se coupent les deux surfaces dont AC et BG sont les axes. D’après ce qu’on a vu précédemment (489) ,il conviendra pour cela de couper ces deux surfaces par des sphères concentriques dont le centre soit en (G, a). Une quelconque mnrsuy, de ces sphères, coupera ces deux surfaces suivant deux cercles qui auront pour intersection des points de la ligne cherchée. Or, ces cercles se projet horizontälement en xs et nu , et le dernier se projettera DCR RE QUE en 7 y: u'y"; d'où lon voit qu'ils se couperont TA les points (y, y’) et (y y").

En menant de nouvelles sphères Co men à la sphère mnrsus on obtiendra de nouveaux points, tels que (y, y’), ( U ; y"), et lon en déduira Pintersection (Cdef, JNey d'a...ad'y"e"Zf").

On construira ss même l'intersection (Agef, f'e'g'a...ag'e"f"), des deux surfaces dont AB et AC sont les axes. Cette intersection coupera la ligne (Cdef,f'Ve'ÿ d'a. ..ad'y"e"Zf") suivant les points (2,e”), (e, e"),(f, f), (F,f"), entre lesquels il ne s'agira plus que de reconnaître le point de la station : ce qui, comme nous lPavons déjà dit, sera toujours facile.

689. Si nous nous étions seulement proposé de construire cette station, nous n’aurions déterminé que les parties des projections verticales des intersections Cdef, Agef, situées du côté du plan ab où elle se trouve, et nous'n’aurions même eu besoin que de lune des projections verticales f/Véy'd'a.. .ad'y"e"2f", f'eg'a...ag'e"f'; cax ayant les projections horizontales e et:f des points diestb , une seule des lignes f"Ve'y'd'a. .ad'y'e"Zf"; f'ég'a...ag'e"f", suffit pour déterminer leurs projections verticales’, f',.e/, pe

Maïs nous avons voulu représenter les:intersections complètes de la.surface‘engendrée par la circonférence entière AËCr, avec les surfaces engendrées par les: circonférences ADBw, BF Co:

6go. La même sphère mnrsuv, qui nous a donné les points.d’intersection: des nappes décrites par les ares BFC, AEG, donne des points de: toutes les branches de l’intersection complète. En effet, cette sphère coupe la surface AECH suivant les deux. cercles nur, et la surface BFCI suivant les deux cercles xs, pg; ces quatre cercles: sont daris/quatre plans, quise rencontrent suivant quatre droïtes, projetées horizontalement.en quatrepoints y, k, et L:' Le premier yest la projection de deux points (y, y”), (7, y"),de l'intersectiomides nappes principales; le second # , appartenant à l'intersection des plans des cercles #4,pq, correspond à la projection horizontale de lintersection des nappes supplémentaires décrites par les arcs ArC, BqC; le troisième z appartient à l’intersection dela miappe principale,

décrite par Parc BIC;.avec la nappe supplémentaire décrite par l’arc:AyG ;, enfin. le quatrième /, qui est sur l’intersection des plans-des cercles nu, pq; correspond-à l'intersection