CH. IV. CONSTRUCEION D'UN, POINT DONNÉ DE PLUSIEURS

de la nappe principale décrite par AEC, avec la riappé supplémentaire décrite par BgC.

691. En général, chaque point y, &, z, 7, correspondra à deux points de l'intersection cherchée, lun. situé au-dessus du plan ab, et Pautre situé au-dessous : c’est ce qui a lieu pour les points y et 3, auxquels correspondent les points (y,7) et (7,7), (2,3) et (z,2"). Mais il pourra se faire aussi qué les deux points tels que (y,y), (y ,:7"}, se réunissent: dans le plan ab, et dans ce cas le point y ne donnera qu’un seul point de l’intersection cherchée. Il pourra même arriver qu’un ou plusieurs des points obtenus, y, £, z, , ne fournissent aucun point de cette intersection; et c’est ce qui a lieu ,comnie on va le voir, pour les points k et L.

Effectivement, le point £ doit appartenir à l'intersection des nappes ArC£, BpCg ; mais il est projeté au. dehors de ces nappes: donc il ne peut correspondre à aucun point de la hgne suivant laquelle ces nappes se coupent. Il en est de même du point /, qui se trouve projeté au dehors des nappes BpCg , AECH.

Les cercles r£ et pq, nu et pq, ne s'étendant pas jusqu'aux droites £ et Z, suivant lesquelles leurs plans se coupent, on dit que les intersections de ces cercles sont ëmaginaires, et que les points # et Z, où se projetteraient ces intersections, si elles étaient réelles, c’est-à-dire si elles existaient, répondent à des parties des intersections des nappes ArC£et BpCg, BpCg et AECH, qui sont imaginaires. Sous ce rapport, les points y et z répondent à des parties réelles de l'intersection cherchée.

692. Si lon mène de nouvelles sphères auxiliaires, telles que mnrsuv, et que l’on classe avec soin les points qu’elles donneront pour chaque branche de la ligne d’intersection des deux surfaces dont AC et BC sont les axes, on pourra bientôt décrire facilement cette ligne. Voici les parties qui la composent : 1°. la branche (Cdyefi, ad' y e Nf'f"Le"y"d'a) d’intersection des nappes principales engendrées par BFC et AËC; 2°. la branche (Cm'ÿ, am'j'#'a) d'intersection des deux nappes supplémentaires CpBg, CrAs; 3°. la partie imaginaire projetée horizontalement en j&h'c'; 4°. la branche (c’z0'C, ab"z'c"2"L"a) d’intersection de la nappe principale engendrée par BFC avec Ia nappe supplémentaire CrAs; 5°, la branche (Ga’, ak'a"l'a); 6°. enfin, la partie imaginaire projetée horizontalement en a'u"1.

On trouvera de même que les eux surfaces dont AB et AC sont les axes, se coupent, 1°. suivant la branche (AgKefh, ag'e'f'f'e"g'&); 2°. suivant la branche (Aï"7, ak!" j'a);

EL / à

3°, suivant la partie imaginaire projetée horizontalement en z'o"o; 4°. suivant la branche (op', 0'gPp'q") ; 5°. suivant la partie imaginaire projetée horizontalement en p'r'As's"h.

Ces deux intersections se rencontreront en douze points, et si l’on détermine la ligne suivant laquelle se coupent les surfaces dont BA et BC sont les axes, on trouvera que cette ligne passe par ces douze points. Pour fes rendre bien apparens, on a mené par chacun d’eux un petit arc de l'intersection des surfaces décrites autour de BA et de BC.

* 693. Exécution de l’épure. Les arcs gKe, dye, ce, sont les seuls, des intersections des trois surfaces données, qui soient vus sur la projection horizontale. Comme ils contribuent beaucoup à donner l’idée de la situation de ces surfaces les unes par rapport aux autres , il était nécessaire que le dernier ce fût marqué sur l’épure. Il se construit comme Varc dye, dont nous nous sommes occupés.

Quant au contour des projections horizontales des mêmes surfaces, il est aisé de les déterminer et d’en distinguer les parties vues et cachées.

Nous avons marqué sur la projection verticale ceux, LMNOP de la nappe principale qu'engendre l’arc ADB, QQ'RR" de la nappe supplémentaire engendrée par l'arc AwB;

VXYZ de la nappe principale engendrée par AEC, et SS'TU de la nappe AtCr. Les con-

tours des nappes de la surface décrite autour de BC auraient trop fortement compliqué la figure : nous ne les avons pas décrits.

Les seuls arcs des intersections construites vus, en projection verticale, sont les arcs Mg'a, ag"O. Il est clair qu’ils touchent le contour LMNOP aux points M et O, où ils cessent d’être vus.

Nous avons tracé les arcs jkh'c’, a'u"i, vo"o, p'r'As's"h, qui répondent à des parties imaginaires des intersections demandées , au moyen de lignes ordinaires de construction.