CHAPITRE PREMIER

Des Surfaces gauches.

694. Nos avons examiné, Chap. IIE, liv. IT, les deux principaux genres des surfaces gauches ; mais comme nous n’étions pas encore familiarisés avec les plans tangens et avec les intersections de surfaces, nous avons dù nous borner à la partie la plus élémentaire de la matière que nous traitions : aussi nous sommes-nous contentés d'indiquer sommairement (242) les générations des surfaces gauches dont nous ne pouvions pas nous occuper. Nous allons compléter ici la théorie de ces surfaces, et nous commencerons par démontrer deux théorèmes qui nous conduiront à la solution générale du problème du plan tangent.

605. THÉORÈME 1°*. Si deux surfaces gauches S et 2 ont un même plan directeur, un élément E commun, et deux plans tangens communs dont les points de contact m et m' soient sur l'élément E, ces deux surfaces seront tangentes entre elles tout le long de cet élément.

Pour démontrer cette propriété, concevons par les points de contact m et rm’ deux plans sécans quelconques P et P'. Ces plans couperont la surface S suivant deux courbes d êt d’, et la surface Z suivant deux autres courbes d'et d'. Imaginons que l’on prenne pour directrices de la première surface S , les Lignes d'et d’, et pour directricés de la seconde Z les lignes d'et d'. Les deux surfaces étant tangentes entre elles en met m', elles auront deux facettes communes, que nous nommerons aussi m1 et m° : or, la facette m, soit qu’elle appartienne à la surface S , soit qu’elle appartienne à la surface 2, ne pourra être coupée par le plan P que suivant un élément linéaire unique k, qui appartiendra tout-à-la-fois aux

deux courbes-d et d'; d’où il suit que ces courbes seront tangentes entre elles en m. On peut démontrer de même que les lignes d’ et d’ se toucheront suivant un élément linéaire #’ de la facette »’. Et si l'on se figure que la génératrice de la surface S se meuve sur les courbes d et d’, prises pour directrices , il est clair qu’'auprès de l'élément E, cette génératrice s'appuiera sur les lignes infiniment petites À et 4! : et comme ces lignes appartiennent aux courbes d' et d', tout aussi bien qu'aux courbes d et d', la zoné de la surface gauche, engendrée proche de l'élément E, sera commune aux surfaces S et 2; donc, etc.

606. THÉORÈME 2. Quelles que soient deux surfaces gauches S et Z, lorsqu'elles ont un élément commun E, et trois plans tangens communs dont les points de contact m, m', m", sont sur cet élément , elles sont tangentes entre elles tout le long du même élément.

La démonstration de ce théorème est tout-à-fait analogue à celle du théorème précédent, |

Concevons par les points #, m, m', trois plans sécans quelconques P , P', P". Soient d, d', d”, les courbes suivant lesquelles ils couperont la surface S, et d', d”’, d", les courbes suivant. lesquelles ils couperont da surface Z, Ces deux surfaces étant tangentes entre elles en m1, met mn, il est facile de voir que les courbes d et d\, d' et d', d''et d", se toucheront deux à deux suivant des lignes infiniment petites X, 4’ et À". Cela posé, faisons mouvoir la génératrice de la surface S sur les lignes d, d! et d”, prises pour nouvelles directrices; il est clair qu’auprès de l’élément E cette génératrice s’appuiera sur les lignes Æ, X' et #” : et comme ces lignes appartiennent tout-à-la-fois aux courbes d'et d'\, d' et d”, d' et d”, la zone de surface engendrée le long de l'élément L sera commune aux deux surfaces S et Z; donc, etc.

697. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant donné une surface gauche quebconque et un point d'un de ses élémens , on demande le plan tangent à la surface en ce point.

Pour résoudre ce problème, on menera par l'élément K, qui pro «8 le pomt de contact donné , trois plans quelconques P, P’, P';-on construira les courbes d’intersection de ces plans avec la surface gauche; on déterminera les points m, m', m", où l'élément K coupera ces courbes, et ces points seront ceux où les plat P, P', P", seront tangens à la surface donnée (245).

CHAP. TI. DES SURFACES GAUCIES. d75

Si donc l'on mène par les points m7, m', m', dans les plans respectifs P, P', P’, trois lignes droites quelconques, et que lon prenne ces lignes pour directrices d’un hyperboloïde à uné nappe , cet hyperboloïde: touchera la surface donnée tout le long. de l'élément K (696). D'où Fon voït que pour avoir le plan tangent demandé , il ne s'agira que de mener par le point de contact donné un plan tangent à lhyperboloïde : question que l'on sait résoudre (326).

Cette solution, puremént graphique, s'applique eomme on le voit à toute espèce de surface gauche ; même à celles dont les générations seraient inconnues , pourvu que lon ait un nombre suffisant de leurs élémens.

698. Si la surface donnée avait un plan directeur , c'est-à-dire si ses élémens étaient paralleles à un même plan , la solution précédente pourrait être simplifiée ; parce qu'au lieu de prendre l’hyperboloïde à une nappe pour surface auxiliaire, on pourrait, ainsi qu'on va le voir, employer le paraboloïde hyperbolique.

Par l'élément K, concevons que lon ait mené deux plans quelconques P et P’, et imaginons que l’on ait construit les points m et m', où ils toucheront la surface gauche. Par ces points et dans les plans.respectifs P et P”, on menera deux droites quelconques, et si l’on prend ces droites pour directrices d’une paraboloïde hyperbolique qui ait pour plan directeur celui de la surface donnée, le paraboloïde et cette surface se toucheront tout le long de l'élément K (695) : si donc on mène par le point de contact donné un plan tangent à ce paraboloïde (317), ce plan sera le plan demandé.

Ces constructions seront beaucoup plus faciles que dans le cas général, mais elles seront encore d’un emploi fort pénible.

699. Dans les cas usuels, on peut choisir un ou plusieurs des plans de construction P, P’, P'’, de manière que leurs points de contact me, m', m", soient immédiatement connus , et'les solutions précédentes se trouvent par là considérablement simplifiées. C'est ce que va nous montrer l'examen qui nous réste à faire des différens genres de surfaces gauches aie sont employées dans les arts.

700. DES SURFACES GAUCHES qui ont un plan directeur et deux surfaces directrices. Concevons qu’une droite se meuve en restant toujours parallèle à un plan donné et en touchant constamment deux surfaces

données , elle engendrera dans son mouvement une surface gauche; car, à moins qu'il n’y ait entre le plan directeur et les surfaces directrices des relations particulières, deux positions consécutives de la génératrice ne seront pas dans un même plan (214). |

701. Le plan directeur et les deux surfaces directrices étant représentés, il sera toujours facile de construire autant d’élémens qu’on en voudra de la surface gauche déterminée par ce plan et par ces deux surfaces. En effet, si l’on mène des plans parallèles au plan directeur, et qu’on cherche les intersections de ces plans et des deux surfaces directrices, il ne s'agira plus que de mener des droites (voyez la Note 6) tangentes respectivement à deux intersections comprises dans le même plan, et ces droites seront les élémens de la surface.

702. Chacun de ces élémens touchera chaque surface directrice suivant un point, et la suite des points de contact des élémens formera, sur les deux surfaces directrices , deux lignes qui seront les courbes de contact de ces surfaces et de la surface gauche. Ces deux lignes, substituées aux surfaces directrices , pourraient servir de directrices linéaires à la surface engendrée : mais comme on ne sait pas mener, par des méthodes simples, des tangentes aux courbes de contact (499), ces directrices linéaires n'auraient aucun avantage sur les surfaces directrices, et elles ne seraient même pas propres à la détermination du plan tangent; tandis qu'il se construit aisément, ainsi qu'on va le voir, au moyen de ces surfaces.

703. PROBLÈME 1*. Étant donnée une surface gauche du genre de celles qui ont un plan directeur et deux surfaces directrices , avec un élement de cette surface et un point de cet élément , construire le plan tangent correspondant à ce point.

Pour cela on menera, par les points où cet élément touchera les deux surfaces directrices , des plans tangens à ces surfaces ; par les mêmes points, on menera des droïtes quelconques dans ces plans, et ces droites seront les directrices d’un paraboloïde hyperbolique tangent à la surface donnée tout le long de l'élément donné (695), en sorte que la recherche du’plan tangent demandé sera ramenée au problème du n° 317.

704. Si la surface donnée avait pour directrices une surface et une courbe , au lieu de deux surfaces , c’est-à-dire si l’une des surfaces directrices se réduisait à une ligne , le plan tangent s'obtiendrait de même,

CHAP. I. DES SURFACES GAUCHES. 27b

au moyen d’un paraboloïde auxiliaire , et les directrices de ce paraboloïde ne seraient pas plus difficiles à déterminer que dans le cas de deux surfaces directrices. En effet, l'élément passant par le point de contact toucherait la surface directrice en un point, et la directrice linéaire en un autre point ; et comme il suffit que le paraboloïde auxiliaire touche la surface donnée en deux points, pour qu'il la touche au point de contact donné (695), on choisirait pour ses directrices , 1°. une droite menée arbitrairement par le premier point, dans le plan tangent correspondant de la surface directrice ; 2°. la tangente à la directrice linéaire menée par le second point.

705. On voit donc par là que, soit que la surface donnée ait une surface et une courbe ou deux surfaces pour directrices, on peut toujours choisir le paraboloïde auxiliaire parmi une ïinfinité d’autres ; puisque l’une de ses directrices, au moins, se trouve menée par un point dans un plan tangent connu, et dans une direction de ce plan entièrement arbitraire. Cette propriété est d’un assez grand avantage, parce qu'on se détermine pour le choix qui conduit aux constructions les plus simples.

Tout ce qui précède va être éclairci par la solution du problème suivant.

106. Proszème 2. Étant donnée la surface gauche qui a pour plan directeur le plan horizontal de projection , et pour directrices, 1°. la courbe (C\H, C'T'H'T"); 2°. Z& sphère dont le centre esten (A, À’), et dont le rayon est (AB, A'B"),on demande, premièrement, de représenter cette surface; secondement , de construire le plan tangent en un point de l’un de ses élémens. x

D’après ce qu’on a vu précédemment (156), il faudra, pour représenter la surface donnée, construire ses traces, les contours de ses projections, ses lignes singulières, et un nombre suffisant de ses élémens.

707. Pour cela, on commencera par choisir sur la directrice linéaire (CIH, C'T'H1"), un certain nombre de points (C, C’), (D; D’), (E, E’), etc.; par ces points, on menera des plans parallèles au plan directeur , c’est-à-dire horizontaux ; ils couperont la sphère directrice suivant des cercles , et en menant par les points (C,C’), (D, D”), (E, E”), etc. , des tangentes à ces cercles, ces tangentes seront les élémens cherchés. Suivons ces consiructions pour le point (D, D’).

Le plan horizontal mené par ce point aura pour trace verticale la ligne D'm", parallèle à la ligne de terre; et comme cette trace sera la projection de tout ce qui sera contenu dans ce plan, elle sera nécessairement la projection verticale de l'élément cherché. Le plan D’ coupera la sphère directrice suivant un cercle (omp, o'p'),; facile à déterminer ;

dJe

pr

276 TAVRE VI. COMPLÉMENT.

par le point D on menera la‘tangente D, à da projection .omp -de-cescerele;set/la-draite (Dm, D'yn'), tangente à la sphère:en (72, m'), sera évidemment l’élément demandé,

Le même plan horizontal D’ coupera la directrice linéaire (CIH, CTH'I"), en un second point (G, G’), qui, avec le cercle (omp, o‘p'), déterminera un second élément (Gr, G'n’) de la surface gauche. Cet élément et l'élément (D, D'm), étant situés danse mème plan, se couperont en un certain point (7, n°).

En prenant sur la directrice‘kinéaire de nouveaux points, ssur esquelson:opéreraicomme on vient d'opérer sur le point (D, D"), on obtiendra «de nouveaux élémens.de la-sunface gauche; ét:si l’on fait attention que le même plan horizontal D'x contient deux de ces élémens, on verra. que.cette surface est composée dedeux parties,-qui se coupent suivant une courbe (Ag, k's'h").

708. Cette courbe est une courbe singulière de la surface donnée; élle est, comme on le voit, l'intersection de’la partie deila surface qui-correspond àParc1'Cl"deda directrice, avec la partie qui correspond à larc J'H'I". Elle divise cette surface :en deux nappes,ret il importe qu’elle soit exactement représentée, pour qu’on-sente bien comment.ces .denx nappes sont.disposées l'une;par rapportà l'autre.

709. Pour rendre la représentation la plus complète possible, on aura soin .dé construire les élémens extrêmes (Cz,C'2"), (Hg, H'2°), (LA, l'X°), (LA, 12"), parce qu’ils appartiennent aux contours des projections de la surface donnée. Il-est clair que-ces contours sont, pour la projection verticale , les deux droites 1‘4°,1"%", et pourdaprojection horizontale, 1°. les deux droites Cy, Hz; 2°. la courbe £Ak, qui touche les{projectionsshonizontales de tous les élémens de la :surface représentée.

IL est remarquable que le plan tangent en un point d’un élément qui sert de contour touche la surface gauche tout le long de cet élément. Cest le cas examiné n° 334.

710. L’épure ne peut présenter aucune trace; car les parties indiquées des élémens ne rencontrent pas le plan horizontal, el leurs intersections avec le plan vertical sont au dehors du cadre.

Pour bien faire sentir la disposition de la surface engendrée, par rapport à la sphère directrice, il sera bon de décrire la courbe (sx, ##/x"h"), qui.est le lieu des points tels que (rm, m'), où les élémens de la surface gauche touchent la surface sphérique.

711. Enfin, nous ferons observer que la surface en question présente-encore deux autres nappes, qui sont produites par une génératrice toujours située en arrière de la sphère directrice. Pour que la figure ne soit pas trop compliquée, nous ferons abstraction ‘de ces deux dernières nappes.

712. Passons 'actuèllément-à la construction du plan tangent.Soit (KM, K'M') un élément-de la surface, ét (M, M”) un-point de-cet’élément par lequel on «lemande desmener le plan tangent. 1

Le plan’horizontal mené par Pélément (KM ,K'M'):coupe da-sphère directrice suivant le cercle (ace, a'e') , et le point de contact (a , a’), de ce cercle et dé élément. (KM,/K{M'), est celui où ce même élément ‘touche la sphère directrice; donc ce point (a ,ra)vet le point (K,'K”) commun à:la directricellinéaire et’à la droite (KM,K/M'), sontceuxspar lesquéls'il’s’agit de-mener les directrices du paräbéloïde hyperbolique auxiliaire: (704):

Celle qui correspondra au pôint (K,K°) sera la‘roite (KL, KL), tangente-en(K, K°) à

ladirectrice linéaire; et quant.à la seconde ,, ce, sera une droite prise à volonté dans le plan tangent à la sphère.en (a, a’).

Pour obtenir cette seconde directrice, menons, d’abord le plan tangent en (&, a"). Cela exigera que nous rabattions le méridien Aa en AB, parallèlement au plan ‘ertical: le point.(a, a") viendra se rabattre en (e, «”). et la tangente à la méridienne (AB, wB'e's) ,en (e, e’),ssera la.droïte-(e2,e/2") qui perce Je-plan horizontal en (7, 7’). Or, lorsqu'on ramenera;le plan AB en Aa ,-le point (7,7) viendra en g; donc la tangente en (a, a’), à la méridienne Aa, perce le plan horizontal en g. Mais le plan tangent passe par cette tan gente ; donc il a pour trace une droite menée par le point q ; et comme il est perpendiculaire,au qlan méridien ,-cette,droiteest nécessairement :la perpendiculaire 40 , élevée perle point 4 sur la droite Aa.

Connaissant la trace horizontale 40 du’plan tangent à la sphère, il ne sera pas nécessaire de chercher sa trace verticale. On prendra sur la droite 90 un point. (b, b");:on.menera parce point et. par le point:(«,;a°).une droite (ab,.ab"),.et cette droite pourra être,choisie pour la deuxième directrice du-paraboloïde.

M ne.sagira donc:plus, pour avoir.le plan tangent en (M, M')à la surface donnée, que demener,par le point (M, M').du paraboloïde dont (KL, K'L), et (æb, ab") sont les direeirices, Let.dont la génératrice-est horizontale, un plan tangent à ce ‘paraboloïde (315). Pour cela, .on emarquera.que la droitef (2L, DL") est l'élément du paraboloïde , situé d:as leplan ‘horizontal; on menera :par :le point (M, M”) des droites (MN ,M'N’), (MO, M'O');srespectivement parallèles aux directrices (KL,:K'L'), (ab , ab’); elles déterminexont.un,plan,parallèle:à ces directrices; ce plan:contiendra l'élément dela seconde génération-qui passe par de point (M, M°); il'aura pour trace horizontale-a droite NO, et xl coupera: par conséquent l'élément (L, 4'L') suivant le point :P. Maisil ne peut, couper cetsélément.que ‘suivant le ‘point où ce-même élément.est ‘touché par-l’élément de la :seconde-génération; donc:le point P appartient à ce.dernier élément : donc ilappartient au plan tangent demandé.

Ænmenant donc:par lespoint P:la droite PQ ; parallèle à: KM , cette droite sera la trace horizontale de; ce plan, et il.sera facile d’en déduire sa trace verticale (*).

-Nous,appliquerons-souvent dans la Coupe des pierres.et dans-:la Charpente ,.cette con-struction simple;et commode du plan tangen t aux surfaces gauches:qui:ont:un plan directeur -et-des:surfaces directrices.

m8. Exécution de l’épure. Nous n'avons pas supposé que‘le plan ‘tangent demandé existât dans l’espace, et C’est pour cela (56) que nous avons ‘indiqué sa trace PQ au

(*) S'il s’agissait d’avoir le plan tangent en un point (7, n°) de/la lignemultiple (Ang,%3"h"), on voit que ce-point-étantà la fois sur deux-élémens.de la surface, les constructions précédentes conduiraient à deux solutions. : ji at

On soit aussi que, si L'on: connaissait denx courbes sur la surface donnée, l’une située sur la nappe 8 CH, l’autre. située, sur Ja nappe.khgR ; et toutes deux passant ;parun point (», n°) de la ligne multiple (Ang, h'g/hi"),des tangentes,à ces.courhes,seraient , l’une,dansle plan tangent.à la première nappe, l'autre dans le plan tangent, h.la.seconde et que l’ensemble.des;deux.tangentes,déterminerait.un plan coupant, quigne serait tangent ni à l’une ni à l’autre nappe, et qui par.conséquent ne toucherait.pas la surface.

moyen de lignes mixtes. Par suite de ce qu’il n’est pas censé exister , la détermination des parties vues et cachées de l’épure ne présente aucune difficulté : en conséquence nous ne nous y arrêterons pas, et nous ferons seulement une observation. #1

C’est qu’en projection verticale , la courbe singulière (Ag, 'g'") divise chaque élément de la surface gauche en deux parties, l’une vue, l'autre cachée , et que cette courbe jouit de la même propriété en projection horizontale , relativement aux élémens qui sont audessus du plan B'H’. Il est d’ailleurs évident que, sur cette dernière projection, les rrdsé élémens sont tous cachés.

714. Des SURFACES GAUCHES dont la génératrice touche constamment trois surfaces données. Concevons dans l’espace une telle surface gauche et ses trois surfaces directrices, et désignons ces dernières par les noms de première directrice, deuxième directrice , et troisième directrice.

Cela posé, montrons d’abord comment on pourrait construire les élémens de la surface donnée, et pour cela, imaginons qu’on veuille avoir l'élément parallèle à un plan donné. On concevra que ce plan soit le plan directeur d’une surface gauche auxiliaire ayant pour directrices deux des trois surfaces directrices données, par exemple, la première et la seconde. Cette surface auxiliaire coupera la troisième directrice suivant une courbe; et je dis que si l’on mène parallèlement au plan donné une tangente à cette courbe (*), cette tangente sera Pélément cherché. En effet, la surface auxiliaire aura un élément passant par le point de contact de cette tangente ;, puisque ce point sera sur l'intersection de cette surface et de la troisième directrice, et ces deux droites, l'élément et la tangente, seront parallèles à un même plan : de plus, elles seront dans le plan tangent à la surface auxiliaire; donc elles coincideront entre ‘elles. Mais par cela seul que la tangente en question touchera une courbe située sur la troisième surface dire ctrice, elle sera tangente à cette surface; d’un autre côté, elle touche la première et la seconde surfaces directrices ; puisqu'elle coincide avec un élément de la surface auxiliaire : donc, etc.

Il suit de là qu’en se donnant une suite de plans, on pourra déterminer les élémens parallèles à chacun d’eux, et parvenir à représenter la surface gauche dont il s’agit (248).

715. Lorsque lune des trois surfaces directrices est une surface développable, il est assez facile de construire les élémens de la surface gauche engendrée; parce qu’un plan tangent quelconque à cette surface développable la touche tout le long d’un de ses élémens, et coupe les deux autres surfaces directrices, chacune suivant une courbe, en sorte que si l’on mène une droite tangente à ces deux courbes (Note 6), cette droite est dans le plan tangent à la surface développable ; ; elle rencontre par conséquent l'élément de contact : d’où il suit qu’elle est tangente aux trois surfaces directrices, c’est-à-dire qu eue est un des élémens de la surface ARR

(*) Pour mener parallèlement à un plan donné P une tangente à une courbe connue ; il faudra faire une projection auxiliaire @ de cette courbe, sur un plan P’ perpendiculaire au plan P : il est clair que Ja tangente cherchée aura pour projection, sur le plan P’, une droite d' parallèle à l’intersection des plans P et P’, et tangente à la courbe 4; or cette droite d sera facile à déterminer (122), et la tangente demandée s ’ensuivra.

El cst d’ailleurs assez aisé de voir que l’intersection de la surface auxiliaire, et % la troisième directrice, est uue courbe à laquelle on sait mener des tangentes par le procédé du n° 495.

716. Si cette surface avait pour directrices une ligne et deux surfaces, ou deux surfaces et une ligne, les opérations que nous venons d'indiquer pour construire les élémens deviendraient beaucoup plus simples. On en va voir tout à l'heure un exemple.

717. Comme chaque élément d’une surface gauche engendrée par le mouvement d’une droite qui s'appuie constamment sur trois surfaces , touche chacune de ces surfaces en un point, la suite des points de contact des différens élémens forme sur ces surfaces trois courbes, suivant lesquelles elles sont touchées par la surface engendrée. 11 serait facile de déterminer ces courbes, et l’on pourrait ensuite les prendre pour directrices de la surface gauche: mais ce serait sans avantage bien sensible ; parce qu’on n’a pas de méthode simple pour leur mener des tangentes (499).

Sachant représenter les surfaces dont nous nous occupons, la question importante à résoudre est celle du plan tangent. Nous allons indiquer un moyen très commode de le construire.

718. Proszèmr 1*. Étant donnée une surface gauche du genre de celles qui ont pour directrices trois surfaces, avec un de ses élémens et un point de cet élément, on demande le plan tangent à la surface en ce point.

L'élément sur lequel est le point de contact touchera les surfaces directrices en trois points; par ces points on menera des plans respectivement tangens à ces surfaces, et ces plans toucheront aussi la surface gauche. Or, si l’on mène dans ces trois plans, et par leurs trois points de contact, trois droites quelconques; il est clair que lhyperboloïde à une nappe dont elles seront les directrices aura trois plans tangens communs ayec la surface gauche; que les trois points de contact de ces plans seront sur l’élément donné, et que, par conséquent, l’hyperboloïde touchera la surface donnée tout le long de cet élément (696). En menant donc par le point donné un plan tangent à l’hyperboloïde auxiliaire, on aura le plan tangent à la surface gauche.

Si une ou plusieurs des surfaces directrices se trouvent remplacées par des lignes données, auxquelles on sache mener directement des tangentes, la construction du plan tangent deviendra encore plus simple ; parce que l’hyperboloïde aura pour directrices les droites tangentes à ces lignes menées par les points où elles seront rencontrées par lélément sur lequel est le point de contact.

L'application qui suit va achever d’éclaircir cette solution.

19. ProszÈèmEe 2. On demande , 1°. de représenter la surface gauche produite par le mouvement d'une droite assujettie à toucher constamment une surface cylindrique donnée et deux courbes données ; 2°. de mener un plan tangent à cetie surface gauche par un point donné sur un de ses élémens.

Choisissons pour plan horizontal un plan perpendiculaire à la surface cylindrique directrice de la surface donnée , et soient (AB, A’B"), (CD, C'D”), les deux directrices linéaires de cette surface, et EFG la trace horizontale du cylindre vertical qui lui sert de troisième directrice. Nous commencerons par représenter la surface donnée; et pour cela, nous MeEnerons une suite de plans verticaux AC, HI, LM, etc. , tangens à la surface cylindrique directrice : chacun d’eux coupera les directrices linéaires en deux points (A, A”) et (C, C’), (H, H') et (1,1), Œ, D) et (M, M”), etc.; et les droites indéfinies (AC, AC’),

(HE, HT), (EM, L'M), ete, qui joindront les points correspondans; seront évidem: ment des élémens de la surface donnée, puisqu'elles toucheront à la fois les trois direci trices. ;

Si lon construit ainsi un nombre suflisant d’élémens (AC'; A’C"), (HI, HT); (EM, L’M), etc., on aura la représentation de la surface donnée , et il est clair que le cercle EFG;, que touchent les droites AC; HF, LM, etc., sera le contour de la projection: horizontale.

En projection! verticale , les élémens A'C', HT, L'M'; etc., détermineront par leurs in terséctions successives une courbe pyris, qui sera le contour de la projection: verticale de la surface gauche, Dans exemple particulier que nous avons choisi , ce eontour offre un point 7 de rebroussement.

720: Passons à la construction du plan tangent. Soit P la projection horizontale deson point de contact: ce point sera sur un élément projêté horizontalement en JK ; etverticalement en J'K’; donc la projection verticale de ce point sera le point P’, situé sur la verticale (P, PP”). NAT ,

L'élément (JK ,J/K’), qui contient le point de contact, touchera les directrices linéaires suivant les points (J, J”) et (K, K"), et la directrice cylindrique suivant le point (a, 4). Par les deux premiers nous menerons les droites (JQ, 3'Q”), (KR, K'R”), respectivement tangentes aux courbes (AB, A"B"), (CD , C'D”), et elles seront, comme on Pa vu précédemment (718), deux des trois directrices de lhyperhboloïde auxiliaire. Pour avoir la troisième, nous menerons par le point (a, a!) une droite quelconque (aS, a'S'), qui soit dans le plan vertical aJ. Et comme ce plan est tangent en (a, a”) à la surface directrice, il s'ensuit que lhyperboloïde à une nappe dont (JQ, J'Q"), (as, 45), (KR, K’R”), sont les trois directrices, est tangent à la surface donnée suivant les trois points (J, J'), («&, a’), (K, K’), du même élément (JK , J'K’); et que, par conséquent, le plan cherché, tangent en (P, P”) à cette surface, sera le plan tangent au même poïnt de Phyperboloide. D’après cela , et d’après ce qu'on a vu n° 326, il sera facile de construire ce plan.

721. Exécution de l’épure. Nous n'avons représenté que la portion de surface limitée aux directrices linéaires et aux élémens (AC, A’C’), (BD, BD’). |

La surface directrice étant une des données de l’épure, on a indiqué sa trace horizontale EFG par une ligne pleine, et les contours iw, #x, de sa projection verticale, aussi par: des lignes pleines, si ce n’est dans les parties où ils se trouvent cachés par la surface gauche. |

Pour déterminer les parties vues et cachées des élémens ; examrinons celui dont les projections sont NO, N'O'’: Il est clair que la partie Nô de sa projection horizontale ne peut être cachée par rien; ainsi elle doit être pleine. La partie F doit être pleine aussi; car les points de l'élément (NO, N°0”), projetés en b, ce, d,etc., sont au-dessus des points des élémiens (AC, AC’), (HI, HT’), (JK, J'K’), etc., projetés aux mêmes points, b,c, d, éte. Par des considérations semblables, on verra que les points de élément (NO, N'O'), projetés entre F et À, sont auzdessous des élémens (BD, B'D'}, (EU, T'U’), ete, et lon en conelura que la partie FA de NO doit être ponctuée. Quant à la partie 2O, il est évident qu’elle est vue.

La projection vérticalé NO’ fie présentera pas plus de difficulté. On reconnaîtra d'abord queles parties N°2, m0", sont Vues. Dés constructions fort aisées feront voir énsuite que la

partie de (NO, N'O°), projetée en 19, passe en arrière des élémens A’C’, HT’,J’K’, LM’, Pi. 57.

et qu’elle est par conséquent cachée. Enfin on reconnaîtra que la partie projetée en qm, étant en avant des élémens BD’, T'U’, etc., est nécessairement vue.

IL faudra encore faire attention, pour la projection verticale, qu'il pourra y avoir des élémens cachés en partie par le cylindre EFG.

Quant à la courbe pgris, elle sera vue lorsqu'elle touchera des projections d’élémens, vues d'un côté du point de contact, et elle sera cachée lorsque ces projections ne seront vues ni d’un côté de leur point de contact, ni de l'autre côté.

722. Des SURFACES GAUCHES qui forment les filets des vis. Lies surfaces qui forment les filets des vis appartiennent tout-à-la-fois à deux genres de surfaces gauches.

Dans lun, le mouvement de la droite génératrice est déterminé par la condition que cette droite s’appuie constamment sur une directrice linéaire , et qu’elle la rencontre toujours sous le même angle, sans cesser d’ailleurs de toucher une deuxième directrice quelconque.

Dans l’autre, la génératrice a deux directrices quelconques, et son mouvement est déterminé par la condition que la partie de cette génératrice, comprise entre les deux directrices, soit d’une longueur constante.

723. L'examen de ces deux genres de surfaces nous conduirait trop loin, et serait dénué d'intérêt : nous nous bornerons à considérer Pespèce qui leur est commune, et qu’on emploie dans la construction des vis.

Ce qui caractérise cette espèce, c’est que les directrices sont toujours une hélice et son axe, et que la génératrice rencontre l’axe de Phélice sous un angle constant, ou, ce qui revientau même , comme on va le voir (726), que la partie de cette génératrice, comprise entre les directrices, est d’une longueur constante. Nous donnerons aux surfaces de cette espèce, le nom d’Aéliçoides gauches. On démontrera plus loin, n° 726, que ces surfaces appartiennent à la famille des surfaces gauches, et au n° 729, qu’elles sont coupées, ainsi que les hélicoides développables, par des cylindres concentriques à celui qui contient Fhélice directrice, suivant des hélices de même pas. Les problèmes qui suivent vont faire connaître les propriétés des hélicoïdes gauches.

7124. PROBLÈME 1*. Étant données une hélice et une droite qui s’ appuie sur cette hélice et sur son axe, représenter l’héliçoide gauche dont cette droite, mobile sans que la partie comprise entre l'axe et l’hélice varie de longueur , est la génératrice.

Soit IK l'axe vertical de l’hélice donnée; À BCD la projection de cette hélice sur un plan parallèle à son axe; À, B,C, D, etc., les projections des points suivant lesquels elle est coupée par un plan miené par IK., parallèlement au plan vertical de projection; aA, BC, D, etc., les parties antérieures de cette hélice, et AB, CD , etc., ses parties postérieures.

Enfin, soit «LM une droite menée par le point a de lhélice aABC ; et par le point L de l'axe IK, de manière que la distance comprise entre ces points soit la longueur constante donnée.

725. Il est bien clair qui si la droite aLM se meut sur l’hélice aABC, et sur Vaxe IK, de manière que la longueur projetée en aL soit constante, deux positions consécutives de

282 ut BIVRE WI; COMPLÉMENT:

cette droite ne seront pas dans le même plan; ainsi la surface donnée sera HA une trial gauche. »3 726. Ilest clair aussi que les pointsa, b,A ,c;etc., de Vhélices étant épolément Mais deVaxe IK , et la longueur projetée en’ al, étant constante, comme on l'a supposé; Pangle projeté en aLkK sera aussi constant , et réciproquement. M! HD ENEES 727. De ce que l'angle aLK sera constant, il s'ensuit que lorsque la a hairdee élevera, le long de l'axe IK , d’une certaine hauteur, le point suivant lequel elles PRES sur l’hélice , et tous ses autres points, s’éleveront à la même hauteur: : | | D’après cela, il est évident que si Pon prend sur l’hélice 4ABC, une série de points b, A, c, d,e,f,etc., élevés au-dessus du point .« des hauteurs verticales, 27, 37, 4x 57, etc.; sur Paxe IK une autre série de points m,n,0,p,q;, r, etc. | élevés respectivement au-dessus du point L des mêmes hauteurs 7, 27, 3%. etc., et qu'on mène les droitestbm,

cn, do, ep, fq, grs etc. ; par les points: de l’hélice et de son axe également élevés au-dessus

des points respectifs a et L, ces droites seront des élémens de l’hélicoïde.

728. Les projections cr, do, ep, fq, gr, hs, de ceux de ces élémens qui passentpar les points c,d,e,f,g,h, détermineront une courbe 440, qui touche et laisse d’un même côté les projections de tous.les élémens qui passent par Päre AB, Cétte courbe est conséquemment un des contours de la projection de la surface. Il est facile‘de voir quevses parties gk et g0 s’étendront à l'infini, et qu’elles auront pour asymptotes les projections des élémens qui passent par les points A et B. |

De même, les projections &U ,jV, EX, [Y , m2, nW, des élémens qui s'appuient sur arc BC, détermineront une courbe n'xU, égale à 4gO, mais située en sens contraire, et telle que les branches infinies gA et xd'U auront une asymptote commune. D’où l’on peut conclure que le contour de la projection JERtIeNS" de l’hélicoïde est composé d’une infinité de branches infinies AgO , Uxn’, o’p'g", rs", etc., égales entreelles disposées régulièrement à droite et à gauche de l'axe TK, et Re chacune est conjugée avec ses voisines au moyen de deux asymptotés.

729. L’angleaLK de la génératrice aLM et.de l’ase IK étant pri constant (126) 4 on voit clairement que tous les points de cette génératrice engendreront des hélices;.que ces hélices auront toutes le même pas, et que les rayons de HAL bases seront égaux aux distances respectives de l’axeIK aux points générateurs. C’est-à-dire qu ’elles seront les sections de l'héligoide.et des cylindres à bases circulaires qui ont IK pour axe.

7130. Il résulte de là un moyen fort simple de mener par un point quelconque S, d’un éléments de la surface gauche ,;un plan tangent à cette surface. En effet ; la distance du point S à l’axe TK sera connue ,;et cette distance sera le rayon d’une hélice située sur'cette surface, et ayant lemême pas quelhélice «ABC: cette hélice, correspondante au points, sera par conséquent déterminée ,'et lon pourra mener sa tangente en S; or, le plantqui passera parcelte tangente, et par l’élémént gs, sera le plan tangent cherché. * 1: 0

731. Lorsque le point a ,de lagénératrice aLM , aura parcouru une demi-révolution de Phélice directrice 4ABC, cette génératrice passera par un point g, qui sera dans le plan du point a et de l'axe IK, et il est clair que les deux positions grS , «LM, seront dans ce même plan : d’où ilsuit qu’elles se rencontreront.en un certain point 4!. Prenons La"égal à La”; il est évident que le point &” sera celui-qui, après une demi-révolution de «LM, se

trouveraen a! surgrS. Imaginons maintenant que la génératrice LM, lorsqu'elle sera parvenue en rS, continue son mouvement, il.est évident que le point a”, arrivé en a’, décrira hélice a b'c'd'e'f'g', déjà décrité par le point 4’, done les portions de surfaces respectivement engendrées par les ns LM, La,de la générairiée, se coupent suivant la courbe singulière « b' LL |

Onpeut remarquer demême que les deux RE K. ël a étant distans, sur. l’hélice directrice, d’une révolution.et demie, les élémens 4'2"S", aLM, qui leur cor respondent, prolongés suflisamment, se rencontreraient en un point; qu’il en serait ainsi, si les deux points £' et a étaient distans de deux révolutions et demie, de trois révolutions et demie, etc, et que, par conséquent, les mêmes portions de surfaces, dont LM ét La prolongéesi indéfi niment sont Îles génératrices, ‘se coupent suiyant une infinité d’hélices, qui ont pour rayons la distance du point a” à l’axe IK, le double de cette distance, son triple, son quadruple, ete.

732. Si l’on demande l’hélice qu’engendre le point 4’, laquelle est l’une de ces intersections, il ne s'agira pour la construire que de prendie sur l’hélice directrice une suite de points a et g, b et A,c et 2, etc., situés deux à deux dans un plan passant par l'axe IK , et de mener par ces points LE A He aLetgS, bm et AT , cn et üU ,etc.; ces élémens se couperont suivant les points de la courbe a bé d'ef'éh', qui sera l pr gjeétion + ver Fos de l’hélice demandée,

Cette hélice a b'cd'e f2', ainsi que toutes celles qu'on peut tracer sur Thélicoïde, asa projection tangente en deux points à chacun des contours Uxx”’, Ogh , o’p'g", ete, et ces points sont ceux suivant lesquels hélice passe de la partie antérieure de la surface à sa partie postérieure. gob j1

133. Exécution de l’épure. Nous n'avons employé qu'une seule pr ojection pour représentér Phéligoïde gauche donné, parce que les constructions à indiquer étaient extrèmement simples , et parce qu'ayant des lignes bien connues, Paxe IK et Phélice «ABC, pour fixer nos idées , il était facile de suppléer par la pensée à tout ce que devait montrer Ja projection hor RARE

‘ Cependant pour rappeler cette projection, nous avons décrit sur l’épure le cercle a6.. ydkCa , qui nous à servi pour construire hélice «ABC.

Les arcs yd, de, «€, etc., sont égaux éntré eux, et au douzième de la circonférence «5. yd:Üu. On en déduit aisément les points (æ, a), (6, 0), ete., de lhélice directrice , ét F élémens aLM, bmN etc., sensuivent (727).

Lhélice MNOPQ.. ayant même pas que l’hélice abcd.…., es différences de ‘hauteurs des points M, N, O,P, etc. , sont les mêmes que pour les points &, b, c, d, etc., cé qui sert à déterminer les points N ,Q,P, etc., sur les Elémens bmN , cnO, doP, etc. | dès que le point M. est donné. TUE 2 IP à

Afin que les lignes de épars ne/préséntassent pas trop de confusion, nous noussommes bornés à représenter da portion le surface décrite par la partie de la génératrice comprise entre a et M.

734. Ilest évidentquelesarcs antérieurs abA , Bijklm'n'C, Dz , de l'hélice directrice sont

yus , ainsi que les parties Acdi", C£”, des arcs postérieurs AcdefchB , CF"L'g"D. Quant aux parties à ‘efgh, k'k'g", des mêmes arcs postérieurs, elles sont derrière te surface engendrée; ainsi elles sont cachées, |

LH

Fig. 1.

Les arcs OPQRST et cdefgh, des hélices MNOPQ..., abAcdef..:, sont sur des parties

opposées de la surface gauche; d’où il faut conclure que l'arc cdefzh étant en arrière du plan vertical IKD , Pare OPQRST est en avant de ce même plan. On verra de même que les arcs UVXYZW, ra”, sont sur des parties postérieures de lhélicoïde, et qu'en conséquence les lignes UVX}', r'a”, sont cachées.

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur la distinction des lignes vues et cachées: de Fépure; ce qui précède suffit pour que cette distinction se fasse aisément,

735. Proszèwe 2. Représenter la surface d’une vis à files triangulaire.

Concevyons dansl’espace un cylindre droit, et imaginons qu’un triangle isoscèle soit construit au dehors de ce cylindre, dans un de ses plans méridiens, et de manière que la base du triangle coincideavec un élément du cylindre. Cela posé, figurons-nous que le plan méridien prenneun mouvement uniforme de rotation autour de l’axedu cylindre, et que, pendant unerévolution de ce mouvement, le triangle, par un mouvement uniforme de translation, avance dans le sens de l'axe de rotation d’une longueur égale à la base; on sait queles côtés égaux de ce triangle décriront, par la combinaison de ces deux mouvemens, la surface d’une vis à filet triangulaire.

Mais ilest clair que le sommet de ce même triangle engendrera une hélice, et que les côtés générateurs s’appuyeront sur cette hélice et sur son axe, en faisant toujours le même angle avec cet axe ; donc la surface d’une vis à filet triangulaire est de l’espèce des hélicoides

gauches.

736. Soit donc ABCDEF la projection verticale d’une hélice à base circulaire dont ry soit l'axe, et soit ar et ad les directions des deux côtés égaux du triangle générateur d’une vis: les droites ab, ad, rencontreront, sous des angles égaux, l’axe ry de l’hélice ABCDEF.

Or, pour pouvoir représenter la surface engendrée par les lignes ar et ad, il faudra d’abord savoir construire leurs positions diverses. Prenons sur l’hélice donnée un point quelconque g, et cherchons les positions des génératrices qui correspondent à ce point. Pour cela, nous remarquerons que le point g4 est au-dessous du point a, dans le sens de l'axe ry, d’une certaine hauteur ; nous porterons cette hauteur de ren s sur l’axe ry; nous menerons la droite gs, et cette droite sera la position prise par la génératrice ar, lorsque le point a sera venu en g; car on sait (727) que tous les points de cette génératrice s'élèvent, d’une même hauteur , d’une de ses positions à une autre.

Quant à la position gp, correspondante au point g, que prendra la génératrice ad, on pourra la déterminer par la condition que l'angle de gp avec ry, égale celui de la même ligne ry avec gs.

737. En construisant de même plusieurs élémens ar, vx, mo, gs, tu, de la surface de la vis, on en déduira le contour zco, correspondant à la portion de surface à laquelle appartiendront ces élémens. Ce contour sera tangent à l'arc Bztq de lhélice donnée, et à l’'axery de cette hélice. |

Le contour /r sera déterminé , de la même manière, par un nombre suflisant de positions de ad. |

788, Lorsque le point & aura parcouru une révolution entière de l’hélice donnée, ï sera en a” dans le plan méridien ary : les droites génératrices ab, ad, seront en a'det a'w,

dans le même plan que ab et ad; par conséquent adet a'd, se couperont en un point d, de l’arête rentrante de la vis.

Si l’on mène par le point g une parallèle à ry, elle coupera l’arc CD de l’hélice donnée en un point g/, tel qu’en menant les droites g'p, g'p', respectivement parallèles à gs et gp, on aura de nouveaux élémens gp, g'p', de la surface de la vis, dont le premier q’p rencontrera gp en un point p, de Parête rentrante dont il s’agit. On pourra, en construisant ainsi de nouveaux points de cette arèête, la décrire entièrement; mais comme c’est une hélice de même pas que l’hélice donnée, on pourra aussi la construire directement dès qu’on connaîtra un de ses points d.

7139. Quoique les vis offrent d'ordinaire une arête rentrante bcdefghi, il serait possible d’en construire qui n’en offrissent pas, et celle dont nous nous occupons serait justement dans ce cas, si la base d , du triangle générateur abd , coincidait avec l'axe ry de l’hélice donnée : c’est-à-dire si le rayon du cylindre donné se trouvait nul.

Pour le prouver, soit (BEF, abcdefzhi), une hélice à base circulaire dont la droite verticale (A , rs) soit l’axe, et menons par cet axe un plan quelconque #"f" : ce plan coupera une même révolution de lhélice donnée en deux points (7°, m),(f”, f). Cela posé, imaginons que le plan m'f" prenne un mouvement de rotation autour de l’axe (A, rs), et qu’il emporte avec lui la droite (m'f', mf), continuellement assujettie à toucher l’hélice (BEF, abcd. ..) suivant deux points opposés de la même révolution : je dis que cette droite engendrera une vis sans arête rentrante.

Nous savons d’abord que la surface produite sera de l'espèce de celle des vis; car la droite génératrice touchera constamment une hélice et son axe, en faisant toujours le même angle avec cet axe (723). De plus, on peut remarquer qu’en supposant que la droite génératrice se meuve en descendant , le point (7, m’) se trouvera en (f,f’), au bout d’une demi-révolution du plan méridien , en sorte que la génératrice se trouvera en af: mais si l’on considère à la fois les droites mf et af comme génératrices, on verra clairement que la partie #7 de mf, et la partie {fde af, décrivent la même portion de surface ; donc la surface qui nous occupe est la même que si l’on faisait mouvoir le triangle £f4 le long de l'axe (À, rs) et de l’hélice (BEF, abcd...).

Ainsi, la droite fm engendre bien la surface entière und vis (735) ; et comme le contour vxy , d’une portion quelconque de cette surface, ne présente pas d’angle rentrant, il est clair que cette vis n’aura pas d’arète rentrante.

740. Pour bien donner l'idée du solide qui la forme , coupons-la par le plan horizontal A'B4 on aura pour section la courbe (BCAD , A’B'), qui ne sera autre chose qu’un arc d’une sorte despirale (*) soumise à la loi de continuité : et si l’on imagine que le point (B, B’) de cette section se meuve sur l’hélice (BEF, abcd...), en emportant avec lui la section horizontale (BCADB, AB’), dont le point (A, A”) soit toujours sur (A, rs), cette section engendrera le solide de la vis.

1. Nous ferons encore observer que si l’on supprimait celles des parties de l’hélicoïde q P P C

(*} Cette spirale est caractérisée par la propriété que, pour chacun de ses points, le rayon vecteur AM est

proportionnel à l’angle PAM de ce rayon et de la ligne fixe PAx. On la connaît sous le nom de spirale d’Archimède.

Fig. 2.

ere

ce

représenté pl. 58, qui sont extérieures au cylindre dans lequel est hélice &/b'e/d'e Pia la surface obtenue formerait une vis sans arête rentrante. stress vthas Si l’on prolongeait convenablement la draje génératrice «LM, les ration dénmufatis qui se terminent aux arcs d’hélice Wo‘f'S'r', abAc, viendraient se rencontrer suivant une nouvelle hélice, qui serait l’arête saillante d’une vis dont lhélice &'b'e ds, serait: l'arête rentrante : dans ce cas, le dessus et le dessous du filet triangulaire appartiendraient au même hélicoide. En général, ce dessus et ce dessous appartiennent} à des héliçoïdes différens. TT) SSI ON , 142. Exécution de la figure 1, pl. Be. Nous n’avons représenté que lb porta vues : des arêtes saillante et rentrante £ la vis. Ces parties AaymgtzBj, Ca ID, EF, ‘pour Parète saillante; c, de, fg, hi, pour l’arête rentrante, se terminent aux points où elles touchent, les nr D/n, zc, hE, fC, dA , des projections de la sur face. | ie. ahù date) Nous avons supposé que le filet de la vis ne se prolongeait pas au-delà des ares bc et, hi de larête rentrante, en sorte qu’au-dessus du premier , et au-dessous du second, on voit le cylindre que revêt ce filet. | 743. Exécution de la figure 2, pl. 59. Les arcs abcdeB', mn, op, ds Fhélion Es 4 sont supposés sur la partie antérieure. du cylindre BEF, et ïl s’ensuit que ces res sontyus jusqu'aux points où ils touchent les contours de la surface, lesquels sont vus aussi (150). . Toutes les projections des élémens qui aboutissent sur les ares d’hélice vus se trouvent nécessairement vues, et celles qui aboutissent sur des arcs d’hélice cachés se trouvent nécessairement cachées. Les points de séparation des parties vues et cachées se trouvent. d’ailleurs sur les contours. Quant à l’axe (A ;rs), il se trouve évidemment composé de parties égales alternativement vues et cachées. | |