CHAPITRE IT

Des enveloppes et de leurs arêtes de rebroussement.

746. Nous avons vu , Hiv. IT, chap. 1v, que lorsqu'une surface, constante ou variable de forme , se meut en restant assujettie à une loi donnée, deux positions consécutives de cette surface se coupent suivant une courbe appelée caractéristique ; que l'ensemble des caractéristiques forme une surface particulière qui touche les positions de 14 surface mobile , chacune, suivant une caractéristique, et qu'on donne le nom d’enveloppées aux positions de la surface génératrice , et celui d’enveloppe à la surface engendrée.

Nous avons vu aussi que deux caractéristiques consécutives se touchent ou se coupent en un point, et que la suite des points de contact ou d’intersection , des positions successives de la caractéristique, forme sur l'enveloppe une courbe remarquable, appelée aréte de rebroussement , qui touche ces positions, et qui se trouve formée par leurs contacts successifs, comme l'enveloppe résulte des contacts successifs des positions de l’enveloppée. Enfin, nous avons vu que cette arête divise la surface enveloppe en deux nappes, et nous ayons reconnu que ces deux nappes présentaient réellement, sur les hélicoïdes développables (264), un véritable rebroussement , suivant l’arête par laquelle elles se joignent.

747. Il s'agit actuellement de prouver que la dénomination d’aréte de rebroussement est juste , c'est-à-dire qu’une telle arête réunit toujours deux nappes par un vrai rebroussement.

Concevons d’abord qu'il s'agisse d’une surface développable, et considérons un.arc À de l’arête qui réunit les deux nappes de cette surface.

-Certaïnes positions E, E’, E", E”..., de la caractérisiique se rencontreront deux à deux suivant les points de l'arc À : nommons ces points k, Kk,K", k!,..., et supposons que le premier soit l'intersection de E avec E/, le second celle de E’ et E”, et ainsi de suite. Cela posé, imaginons par le point XÆ, une droite p perpendiculaire au plan des élémens. E et E/, par le point #’ une droite p', perpendiculaire au plan des élémens E’et E”, et ainsi de suite. Toutes les droites p, p', p”, etc., formeront une

PI. 6o.

Fig. 7.

surface, normale à la surface donnée suivant l'arc A; or, les droites E,E/,E"..., tangentes à l'arc À, séront en général tout entières d’un même côté de cet arc : donc la surface développable n’entrera pas dans la surface normale ; donc les deux nappes qui la forment présenteront, suivant l’arc À, un AE rebroussement.

748. Concevons maintenant qu'il s'agisse d’une enveloppe quelconque; et menons par les points de l’arête suivant laquelle se réunissent les deux nappes des tangentes aux caractéristiques : ces tangentes toucheront aussi cette arète; donc elles formeront une surface développable (260). Donc, d’après ce qui vient d’être démontré, l’arête suivant laquelle se réuniront les deux nappes de l'enveloppe donnée sera une véritable arête de rebroussement de la surface développable. Mais chaque nappe de cette surface sera tangente à une nappe de la surface enveloppe ; donc puisque les nappes de la surface développable offrent un rebroussement, celles de l'enveloppe donnée en présenteront pareillement un. Donc enfin, la dénomination d’arête de rebroussement est tout-à-fait exacte.

749: Quoique les démonstrations précédentes aient toute la rigueur possible, le rebrous: sement produit par la génération d’une surface enveloppe, que l’on peut imaginer décrite par le mouvement desa caractéristique, est toujours une espèce de phénomène géométrique dont on se rend difficilement compte. D’après cela , il ne sera pas inutile de faire connaître quelques surfaces qui présentent des arêtes de rebroussement.

Nous choisirons nos exemples parmi les surfaces engendrées par le mouvement d’une sphère constante de rayon, dont le centre suit une courbe plane et horizontale. Ces surfaces sont du nombre de celles qu’on appelle surfaces des canaux.

790. Soit ABC une courbe horizontale située dans le plan de la figure. Prenons cette

courbe pour directrice du centre d’une sphère dont le rayon soit DE. Ilest évident que deux positions consécutives de La sphère mobile se couperont suivant un de ses grands cercles, et que le plan de ce cercle sera vertical et aura pour projection une droite normale à la courbe ABC.

D’après cela, si nous menons à cette courbe une suite de normales telles que DQ, et que nous prenions, de part et d'autre de ABC, les longueurs DE, DP, égales au rayon de la sphère mobile, la partie PE, de chacune de ces uormales, sera la projection d’une car actéz ristique. Si donc on construit de la même manière d’autres projections SM, TI,ZW;, pq} ca, XN, KY , etc., des caractéristiques, et qu'on mène les lignes KUE, LMNO , ces Heure seront les contours de la projection de l’enveloppe.

751. Soit QFGH la développée de ABC, et concevons par cette développée un cylin dre vertical. Chaque plan IT, d'une caractéristique, touchera le cylindre QFGH suivant un élément vertical = de ce RReLe ,et en général le plan de la caractéristique IT ,etcelui de la caractéristique consécutive, se croiseront suivant l’élément m1. Mais cescaractéristiques, situées sur une même enveloppée sphérique, se couperont ou se toucheront en deux points