CH. II. DES ENVELOPPES ET DE LEURS/ARÊTES DE REBRO

de l’arèête de rebroussement , lesquels points seront nécessairement sur le même élément 7, et se projeteront par conséquent en #2. Nous: poserons donc en principe que les points de l’arête de rebroussement ne seront autre chose que ceux suivant lesquels les caractéristiques SM, TI, ZW;etc., touchent le cylindre QFGH.

752. Et comme il'ya des caractéristiques, telles que PE; qui ne s'étendent pas jusqu’à ce cylindre, c’est-à-dire jusqu’à lélément de contact Q, ces caractéristiques ne présenteront pas de points: de l’arête derebroussement. Il est visible en et quechacune d’elles ne coupe ni celle qui la précède, ni celle qui la suit. :

753. Pour bien concevoir la forme de cette arêté, IMSpiR ons que l'enveloppe soit produite par sa caractéristique; c’est-à-dire par le mouvement d’un cercle dont le centre suive la courbe ABC, dont le plan soit toujours normal à cette courbe, et dont le rayon soit égal à DE. Supposons que ce cercle marche dans le sens ABC; il est clair que parmi les positions de la caractéristique mobile, la première qui donnéra quelque point de l’arête de rebroussement sera celle dont la projection SM touche la développée QFGH en un point M, tel que VM égale le rayon donné DE. Il est clair également que cette position ne donnera qu’un point de cette arête, que les positions suivantes en donneront deux, jusqu’à la position XN qui n’en donnera qu'un, et qu’enfin , toutes les autres positions n’en donneront plus.

Nous conclurons de là que l’arête de rebroussement formée par les contacts successifs de la caractéristique, et du cylindre QFGH, sé compose de deux branches, qui ont pour projection commune une ligne MmGnN.

754: Chacune des caractéristiques comprises entre SM'et XN est divisée par l’arête de rebroussement en deux parties, l’une T2 qui appartient à l’une des nappes de la surface; autre #21 qui appartient à l’autre nappe. D’où l’on voit que l’une de ces nappes a pour contour de sa projection les lignes KUE,, LM, NO, et la projection MmGnN de larête de rebroussement; et l’autre nappe, cette même projection MmGnN, et la partie N9 WM du contour LMNO.

755. Au lieu d’assujettir la génératrice PDE à suivre la courbe ABC, on peut encore imaginer que le plan QUE, qui la contient, soit seulement assujetti à rouler , sans glisser, sur le cylindre QFGH; car la génératrice prendra, dans les deux cas, absolument le même mouvement.

Concevons que toutes les verticales qui composent le plan QDE soient autant de charnières, et imaginons, 1°. qu'il senroule sur le cylindre QFG, en se pliant successivement autour des charnières verticales , jusqu’à ce que le cercle générateur aït pris la position MmGU; 2°. que la partie enroulée MmG de ce cercle se déroule, à partir du point M, pour occuper successivement les positions Gml, GiW, Gr, Gna, GnN; 3°. enfin, que le plan mobile; ainsi plié sur UGrN, reprenne son mouvement, en continuant de s’enrouler sur QFGH, c’est-à-dire en se déroulant d’autour de GNH. Dans ces mouvemens, la partie mobile du cercle PE décrira la même surface que si le plan PQE était rigide; car la partie enroulée ne pourra changer en rien le mouvement de la partie non enroulée : donc le cercle PE engendrera lenveloppe.

796. Mais il est clair ds la partie PR, du cercle PE, s’'appliquera sur le cylindre QF GH suivant tous les points où les caractéristiques le touchent , ou ; ce qui revient au même,

Fig. +,

Fig, 1

suivant les points dé larête de rebroussement, : done cette-aréte: n'est: autre chose que Ja partie PR du cercle PE, enroulée d’abord)en Mn, et ensuiteen GnN; sur lecylinidre FGH: D’après cela , on doit concevoir, parfaitement, la forme de l'arète:de:rebroussement ;et l’on remarquera tes a elle-même deux points derebroussement;projétés en1G.l!. +0.

757. IL est bien facile d’ailleurs de,prouver, pour cet exemple particulier, que Parêète projetée, en MmGnN, est une véritable) arête.de rebroussemént:Enveflet',- chaque point! de la, partie PR de la caractéristique décrit évidemment-une développante /rm0 de QEFGH;, laquelle développante présente deux points "1 etin de-rébroussement;lon,/les Jranches+# no, appartiennent à la.gr ande nappe de l’enveloppe; et la branche en: à la-petite ‘d'où Fon voit que ces deux nappes sont normalessuivant larête de rébroussément à:la surface cylin: drique QFGH. 54 | ol

7158. Nous: ferons, obsex yer en, <a que Fenveloppe dont nous venons denous occuper présente une ligne singulière, poojete) en. Gx, pivént laquelle se coupent des parties de

sa nappe principale. db |

759. Examinonsunautre exemple, , pr is, encore:dans lé genre de surfaces -qu’on appelle sprfregs des ,canaux..Spit, ABC larspirale déseloppante d’un:cercle DBE , et concevons qu'une sphère, dont le rayon soit FG;,,se meuyede manière que-son centre suive toujours la spirale ABC. Il est clair que deux positions consécutives de cette surface se couperont suivant un cercle GH, dontle centre F sera sur ABC, et dont le plan , normal à cette directrice , sera vertical, et tangent au,cylindre.qui aurait pour base DBE et pour élémens deswerticales:

760. Il suit de là que si lon fait mouvoir le cercle GH., de manièrequ'l:satisfasseconstamment à la condition d’avoir son centre sur: ABC, et.son plan normalàicette:courbe; ilengendrera l'enveloppe dont nous nous occupons: or, deux positions consécutives du plan: GH de la caractéristique se couperont suivantun élément D du cylindre DBE ; d’où l’on voit que larête de rebroussement de l'enveloppe sera nécessairement surice cylindre. Etsi:Pon conçoit que les. verticales qui.composent le plan DG: soient autant de charnières; et.qu'on enroule ce plan sur le cylindre DBE, il est évident que dans le mouvement /qu'éprouvera la caractéristique GH, elle ne: quittera pas la surface de l’enyeloppe; et:qu'elle viendra s'appliquer surJé cylindre DBE suivant une courbe; projetée horizontalèment.en 1BL, qui sera l’arête de rebroussement:, . L«

7161. Mais chaque point de la san de engendre une spirale Los GKLM qui vient rencontrer enun point L le.cylindre DBE , et dont. les deux branches. GKL, LM, sont normales à ce cylindre en ce point, D’après ax M “1Lest évident.que l'enveloppe a deux nappes, l’une composée des branches GQL, RS, AFB, OV, NHI,,etc:; des spirales horizontales de la surface, et l’autre, desbranches LM:, ST, BC, VX, 1QO'; etc., des mêmes spirales; que: ces deux, nappes viennent se toucher suivant l’arête-de-rebroussement IBL, et qu’elles sont l’une et l’autre normales au cylindre DBL suivant les points déccetteratète,

762 Il semble que nous aurions pu choisir, pour, familiariser le lecteur avec! les arètes de HAE, un exemple plus usuel-que les deux précédens ;e’est celni d’unelsurface conique. En effet, un cône est enveloppe d’un plan mobile suivant. une certaine-loigases élémens sont les caractéristiques de cette enveloppe, et son sommet, quiest Je lieu.desintersections consécutiyes ou des contacts consécutifs-des élémens, estunetarête déebroussement. Maïs quoique le sommet d’un cône,présente quelque analogié.ayeetles-arêtes de