CHAPITRE HE

Des tangenies., ,» des rayons de courbure, et des développées des | lignes Dbhrbes

764: Ex traitant des lignes courbes dans le livre I‘, nous avons.dà laisser incomplet tout ce qui exigeait des théories que nous ne pouvions pas encore exposer. Nous allons revenir ici sur ces lignes, et après avoir résolu les problèmes que présente la question des tangentes , nous nous occuperons des rayons de courbure et. des développées des lignes courbes.

765. DES TANGENTES. Il y a dans le livre [:: deux questions importantes que nous n'avons pas résolues, Fune est de mener la tangente à une courbe

PLNGTS

connuëé, par ün point donné sur cette courbe (54) , Pautre de trouver le point de contact d’une tangente et de la courbe qu’elle touche ; en supposant cette tangente menée par des considérations quelconques (108). La théorie des plans tangens aux surfaces gauches va nous donner le moyen de les résoudre toutes les deux.

766: PROBLÈME 1": Une ligne courbe quelconque , soumise ou non & la loi de continuité , étant donnée avec un de ses points , mener par ce point une tangente à cette courbe.

‘Imaginons que l’on mène deux droites quelconques dans PRE et que l'on prenne ces deux droites, et la courbe donnée , pour directrices d’une surface gauche : on saura mener par le point donné un plan tangent à cette surface (697). Mais ce plan contiendra la tangente cherchée ; si donc cette courbe est plane, l'intersection de son plan avec le plan tangent sera la tangente demandée.

Si cette même courbe n’est pas plane, on pourra mener deux nouvelles droites dans l’espace; on les prendra avec la courbe donnée pour directrices d’une nouvelle surface gauche; on menera par le point donné un plan tangent à cette surface, ce plan contiendra aussi la tangente demandée :

donc cette tangente sera l'intersection des deux plans tangens construits.

Cette belle solution est de M. Hachette.

767. Pour l’appliquer avec quelque facilité, on pourra, pour chaque surface gauche auxiliaire, substituer un plan directeur à l’une des directrices droites menées arbitrairement dans l’espace; les surfaces auxiliaires deviendront des conoïdes , et les constructions seront beaucoup plus simples. C’est ce qu’un exemple va développer.

768. Soit (ABC, A’B'C”) une courbe quelconque à laquelle on veut mener une tangente par le point (B, B").

Nous allons faire passer par cette courbe deux conoïdes auxiliaires, nous leur menerons des plans tangens, par la méthode exposée n° 330, et l'intersection de ces plans sera la tangente demandée.

Prenons la droite DE, située dans le plan vertical, pour directrice du premier conoïde, et supposons que sa génératrice se meuve parallèlement au plan horizontal. L’élément du conoïde, correspondant au point (B, B'), sera celui dont la projection horizontale est DB, et dont la projection. verticale est la droite D'B’, parallèle à la ligne de terre. Par cet dlément, menons un plan quelconque (GF, FD’); il coupera le conoïde suivant une courbe, et l’on sait qu'il le touchera au point où cette courbe et l'élément (DB, D'B") se rencontreront (245). On va voir que pour résoudre le problème proposé, il ne sera pas nécessaire d’avoir les deux projections de cette courbe.

Menons, au-dessus et'au-dessous de l’élément (DB, D'B'), une suitede plans horizontaux m'x', ny,0'z',p'w',ete.; ces plans couperontles surfaces du conoïde et du plan (GF, FD'}